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> Aprendiendo Inducción
tt14123
mensaje Mar 14 2006, 04:27 PM
Publicado: #1


Dios Matemático
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TEX: Saludos icecream.gif

TEX: Aqui va una breve explicacion de lo que es la famosa TEX: Induccion Matematica:

TEX: \noindent Primero que nada hay que saber que la Induccion Matematica es un metodo que se ocupa en la demostracion de formulas. Este metodo se basa en la idea de que si la formula se pude realizar para un cierto ``$n$", entonces tiene que ser valida para ``$n+1$", si esto se cumple, entonces la fomula es valida para cualquier valor.

TEX: Paso 1:

TEX: Primero hay que verificar la formula para el $1^{er}$ valor.

TEX: Paso 2:(Hip\'otesis Inductiva)

TEX: \noindent En este paso se define la formula como cierta para todo ``$n = k$"; es decir, se plantea nuestra hipotesis y se toma como cierta.

TEX: Paso 3:(Demostracion)

TEX: \noindent En este paso se busca demostrar que la formula es cierta para todo \mbox{``$n=k+1$"}, pero hay que tener cuidado; en este caso no se parte tomando la formula como cierta para $n = k+1$, sino que hay que tratar de llegar a formula.<br />En este paso se utiliza la hipotesis inductiva para llegar al resultado.

TEX: Ejemplo:

TEX: Demostrar la formula:

TEX: $\displaystyle x^n-1 = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+.........+x^2+x+1) = (x-1)\left(\sum_{i=0}^{n-1}x^i\right)$

TEX: Paso 1:

TEX: n = 1

TEX: $\displaystyle x^1-1 = x-1 = (x-1)(1) = (x-1)\left(\sum_{i=0}^{0}x^i\right) = (x-1)\left(\sum_{i=0}^{1-1}x^i\right)$

TEX: Paso 2:

TEX: $n = k$

TEX: $\displaystyle x^k-1 = (x-1)\left(\sum_{i=0}^{k-1}x^i\right)$

TEX: Paso 3:

TEX: $n = k+1$

TEX: \begin{equation*}<br />\begin{aligned}<br />x^{k+1}-1 &= x^kx-1\\ <br />&= x^k-1+(x-1)x^k\\<br />&= (x-1)\left(\sum_{i=0}^{k-1}x^i\right)+(x-1)x^k\\<br />&= (x-1)\left(\sum_{i=0}^{k-1}x^i+x^k\right)\\<br />&= (x-1)\left(\sum_{i=0}^{k}x^i\right)<br />\end{aligned}<br />\end{equation*}<br />

TEX: Con lo que la formula queda demostrada

victory.gif victory.gif
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Corecrasher
mensaje Mar 14 2006, 07:08 PM
Publicado: #2





Invitado






Buena guia, tal vez tambien seria bueno postear la generalizacion de TEX: $x_1^n-x_2^n$
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Guía Rojo
mensaje Mar 19 2006, 07:57 PM
Publicado: #3


Dios Matemático Supremo
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Con respecto a la generalización pedida por Corecrasher... pondré lo mío...

Caso TEX: $n=1$

TEX: $\left(x-y\right)\mid \left(x^1-y^1\right)$

Se cumple...

Hipótesis de inducción: TEX: Para alg\'un $k\in N$ se cumple que $\left(x-y\right)\mid \left(x^k-y^k\right)$

Por demostrar que: TEX: $\left(x-y\right)\mid \left(x^{k+1}-y^{k+1}\right)$

Por la hipótesis sabemos que existe un polinomio TEX: $p(x,y)$ tal que:
TEX: $p(x,y)\cdot (x-y)=x^k-y^k$

TEX: $p(x,y)\cdot (x-y)+y^k=x^k$

TEX: $x\cdot p(x,y)-y\cdot p(x,y)+y^k=x^k$

TEX: $x\left[x\cdot p(x,y)-y\cdot p(x,y)+y^k\right]=x^{k+1}$

TEX: $x^2\cdot p(x,y)-xy\cdot p(x,y)+xy^k=x^{k+1}$

TEX: $x^2\cdot p(x,y)-xy\cdot p(x,y)+xy^k-y^{k+1}=x^{k+1}-y^{k+1}$

TEX: $x\cdot p(x,y)\cdot \left(x-y\right)+y^k\left(x-y\right)=x^{k+1}-y^{k+1}$

TEX: $\left(x-y\right)\cdot \left(x\cdot p(x,y)+y^k\right)=x^{k+1}-y^{k+1}$

TEX: $\Longrightarrow (x-y)\mid \left(x^{k+1}-y^{k+1}\right)$

Demostrando lo pedido...

Y probando la generalización pedida por Corecrasher... harhar.gif

Saludos...


--------------------
Bachiller en Ciencias
(ex) Estudiante de Medicina
Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática

Pontificia Universidad Católica de Chile



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pancho1901
mensaje Jul 22 2009, 05:09 PM
Publicado: #4


Matemático
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bastante bueno...gracias
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