Primera Prueba Parcial, P. de Bachillerato - Foro fmat.cl

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Primera Prueba Parcial, P. de Bachillerato, entretenida xD

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 11 2008, 11:13 AM Publicado: #1
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Primera Prueba de Matematicas I}} \hfill \\<br /> {\text{Programa de Bachillerato}}{\text{. Universidad de Chile}} \hfill \\<br /> {\text{30 de Abril 2008}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Tiempo: 2 horas}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{1}}{\text{. Elije 2 de los siguientes problemas y resuelvalos:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{a) Demuestra que:}} \hfill \\<br /> \sum\limits_{k = 0}^{\text{7}} {\left( {\sqrt 5 } \right)^{7 - k} \left( {\sqrt 4 } \right)^k } = 369\left( {\sqrt 5 + \sqrt 4 } \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \left( {{\text{Ayuda: 5}}^{\text{4}} = 624 \wedge 4^4 = 256,{\text{ }}625 - 256 = 369} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{b) Calcula el valor de la suma:}} \hfill \\<br /> \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left( { - 1} \right)^k \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> n \\<br /> {k + 1} \\<br /><br /> \end{array} } \right)} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{c) Considera }}x \in \mathbb{R},{\text{ }}x \ne 1.{\text{ Demuestra que para cualquier valor de }}n \in \mathbb{N}{\text{ se cumple}} \hfill \\<br /> {\text{que:}} \hfill \\<br /> \left( {{\text{1}} + x} \right)\left( {{\text{1}} + x^2 } \right)\left( {{\text{1}} + x^{2^2 } } \right)\left( {{\text{1}} + x^{2^3 } } \right)\left( {{\text{1}} + x^{2^4 } } \right)...\left( {{\text{1}} + x^{2^{n - 1} } } \right) = \frac{{x^{2^n } - 1}}<br />{{x - 1}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Elije entre 2 y 2'}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{2}}{\text{. Encuentra el infimo y el supremo de:}} \hfill \\<br /> A = \left\{ {\frac{{{\text{2}}n - 3}}<br />{{1 - n}}/n \in \mathbb{N}} \right\}{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{Demuestra que tus hallazgos son correctos}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{2'}}{\text{. Considera los numeros }}a \wedge \varepsilon {\text{ tales que 0 < }}\varepsilon < a \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{a) Demuestra que }}0 \notin A = \left\{ {x \in \mathbb{R}/\left\| {x - a} \right\| < \varepsilon } \right\} \hfill \\<br /> {\text{b) Demuestra que si }}\left\| {x - a} \right\| < \varepsilon ,{\text{ entonces:}} \hfill \\<br /> \left\| {\frac{{\text{1}}}<br />{x} - \frac{1}<br />{a}} \right\| < \frac{\varepsilon }<br />{{a\left( {a - \varepsilon } \right)}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> 3.{\text{ Considere las funciones }}f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}{\text{ definidas por }}f(x) = \left\| {x - 1} \right\| \wedge g(x) = - x + 5. \hfill \\<br /> {\text{Encuentra todos los }}x \in \mathbb{R}{\text{ tales que:}} \hfill \\<br /> f(x) \leqslant g(x) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> 4.{\text{ Un juego se juega con monedas y un dado}}{\text{. Primero lanzas el dado y luego lanzas}} \hfill \\<br /> {\text{tantas monedas como marca el dado}}{\text{. Ganas si obtienes tres caras o mas}}{\text{. Determina}} \hfill \\<br /> {\text{de cuantas maneras distintas se puede ganar el juego}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ uuf me canso escribirla encontre entretenida la prueba, pero al parecer fue corta cabezas, igual estaban los nervios de que esta es la primera prueba de las que de verdad valen. ya hay varias soluciones de algunas preguntas en el foro, solo hay que buscarlas saludos me falto un detallito: en la 2, n es distinto de 1 Mensaje modificado por naxoobkn* el May 11 2008, 03:23 PM -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 11 2008, 01:06 PM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	CITA(naxoobkn @ May 11 2008, 11:07 AM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{b) Calcula el valor de la suma:}} \hfill \\<br /> \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\left( { - 1} \right)^k \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> n \\<br /> {k + 1} \\<br /><br /> \end{array} } \right)}<br />\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: $$\sum\limits_{k\,=\,0}^{n-1}{(-1)^{k}\binom n{k+1}}=-\sum\limits_{k\,=\,1}^{n}{(-1)^{k}\binom nk}=1.$$$ CITA(naxoobkn @ May 11 2008, 11:07 AM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}{\text{c) Considera }}x \in \mathbb{R},{\text{ }}x \ne 1.{\text{ Demuestra que para cualquier valor de }}n \in \mathbb{N}{\text{ se cumple}} \hfill \\<br /> {\text{que:}} \hfill \\<br /> \left( {{\text{1}} + x} \right)\left( {{\text{1}} + x^2 } \right)\left( {{\text{1}} + x^{2^2 } } \right)\left( {{\text{1}} + x^{2^3 } } \right)\left( {{\text{1}} + x^{2^4 } } \right)...\left( {{\text{1}} + x^{2^{n - 1} } } \right) = \frac{{x^{2^n } - 1}}<br />{{x - 1}}\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: $$\prod\limits_{k\,=\,0}^{n-1}{\left( 1+x^{2^{k}} \right)}=\prod\limits_{k\,=\,0}^{n-1}{\frac{x^{2^{k+1}}-1}{x^{2^{k}}-1}}=\frac{x^{2n}-1}{x-1}.\quad\blacksquare$$$

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 11 2008, 01:28 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Jajajajajajajaja, como siempre con las fechas mal expuestas -> Es 30 de Abril 2008... Krizalid, en la segunda pregunta seguramente esperaban una demostración por Inducción... Saludos Mensaje modificado por neo shykerex el May 11 2008, 03:47 PM -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 11 2008, 01:43 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Tal vez, pero nunca se mencionó la forma que debía emplearse para demostrar lo pedido.

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 11 2008, 03:17 PM Publicado: #5
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(neo shykerex @ May 11 2008, 02:22 PM) Jajajajajajajaja, como siempre con las fechas mal expuestas -> Es 30 de Abril 2008... Krizalid, la segunda pregunta seguramente pedían demostrarla por Inducción... Saludos jajaja xD verdad xD era del 2008 y nop, no pedian que fuese por induccion, aunque igual no entiendo lo que hizo, no nos han enseñado eso en todo caso Krizalid igual tienes un pequeño error de tipeo al final ah y hagan la 2'.b) yo la encontre muy dificil, a ver si alguien tiene una bonita demostracion Mensaje modificado por naxoobkn el May 11 2008, 03:20 PM -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 11 2008, 04:29 PM Publicado: #6
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	CITA(naxoobkn @ May 11 2008, 03:11 PM) en todo caso Krizalid igual tienes un pequeño error de tipeo al final Ya está editado.

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 11 2008, 05:01 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	La pregunta 2', parte b $TEX: $$0 < \varepsilon < a$$$ $TEX: $$\left\| {x - a} \right\| < \varepsilon \Leftrightarrow - \varepsilon < x - a < \varepsilon $$$ $TEX: $$ - \varepsilon < x - a < \varepsilon / + a$$$ $TEX: $$a - \varepsilon < x < a + \varepsilon $$$ $TEX: $$\left\| {\frac{1}{x} - \frac{1}{a}} \right\| = \left\| {\frac{{a - x}}{{xa}}} \right\| = \frac{{\left\| {a - x} \right\|}}{{\left\| {xa} \right\|}}$$$ $TEX: $$\left\| {a - x} \right\| = \left\| {x - a} \right\|$$$ $TEX: $$\frac{{\left\| {a - x} \right\|}}{{\left\| {xa} \right\|}} = \frac{{\left\| {x - a} \right\|}}{{xa}} < \frac{\varepsilon }{{xa}}$$$ $TEX: $$a - \varepsilon < x/\left( {} \right)^{ - 1} $$$ $TEX: $$\frac{1}{{a - \varepsilon }} > \frac{1}{x}/ \times \frac{1}{a}$$$ $TEX: $$\frac{1}{{a\left( {a - \varepsilon } \right)}} > \frac{1}{{xa}}$$$ $TEX: $$\frac{\varepsilon }{{xa}} < \frac{\varepsilon }{{a\left( {a - \varepsilon } \right)}}$$$ $TEX: $$\therefore \left\| {\frac{1}{x} - \frac{1}{a}} \right\| < \frac{\varepsilon }{{a\left( {a - \varepsilon } \right)}}$$$ -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 6 2008, 12:39 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> x^{2^i } - 1 = \left( {x^{2^{i - 1} } + 1} \right)\left( {x^{2^{i - 1} } - 1} \right) \hfill \\<br /> {\text{Luego aplicamos esta identidad }}n - 1{\text{ veces a }}x^{2^n } - 1 \hfill \\<br /> x^{2^n } - 1 = \left( {x - 1} \right)\prod\limits_{k = 0}^{k = n - 1} {\left( {x^{2^k } + 1} \right)} \Rightarrow \prod\limits_{k = 0}^{k = n - 1} {\left( {x^{2^k } + 1} \right)} = \frac{{x^{2^n } - 1}}<br />{{\left( {x - 1} \right)}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Un caso particular, donde se desarrolla la misma idea que la solución de Krizalid y la que expuse recién. CITA(jorgeston @ Jul 26 2007, 11:52 AM) Pregunta 6 Propuesto por Kenshin $TEX: \noindent El valor num\'erico de $$\mathcal{A}=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1$$ equivale<br />a\\<br />\begin{itemize}<br />\item[$a)$] $2^8$<br />\item[$b)$] $2^{16}$<br />\item[$c)$] $2^{32}$<br />\item[$d)$] $2^{64}$<br />\item[$e)$] Otro valor.<br />\\<br />\end{itemize}$ Salu2 CITA(Manuel71 @ Jul 26 2007, 11:56 AM) $TEX: $(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1$\\<br />$(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1$\\<br />$(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1$\\<br />$(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1$\\<br />$(2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1$\\<br />$(2^{32}-1)(2^{32}+1)+1$\\<br />$(2^{64}-1)+1$\\<br />$2^{64}$\\<br />\\<br />Alternativa D$ CITA(caf_tito @ Jul 26 2007, 11:57 AM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> A = \left( {2 + 1} \right)\left( {2^2 + 1} \right)\left( {2^4 + 1} \right)\left( {2^8 + 1} \right)\left( {2^{16} + 1} \right)\left( {2^{32} + 1} \right) + 1 \hfill \\<br /> \left( {a + 1} \right) = \frac{{\left( {a^2 - 1} \right)}}<br />{{a - 1}} \hfill \\<br /> A = \frac{{\left( {2^2 - 1} \right)}}<br />{{2 - 1}}\frac{{\left( {2^4 - 1} \right)}}<br />{{2^2 - 1}}\frac{{\left( {2^8 - 1} \right)}}<br />{{2^4 - 1}}\frac{{\left( {2^{16} - 1} \right)}}<br />{{2^8 - 1}}\frac{{\left( {2^{32} - 1} \right)}}<br />{{2^{16} - 1}}\frac{{\left( {2^{64} - 1} \right)}}<br />{{2^{32} - 1}} + 1 \hfill \\<br /> A = \frac{{2^{64} - 1}}<br />{{2 - 1}} + 1 \hfill \\<br /> A = 2^{64} - 1 + 1 \hfill \\<br /> A = 2^{64} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Alternativa D --------------------

xubilo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 12 2009, 01:44 AM Publicado: #9
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 11-April 09 Miembro Nº: 47.793 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	vaaaaaleeeeeeeeeee

XxDragon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2012, 02:34 PM Publicado: #10
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 9-July 10 Miembro Nº: 73.919 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(naxoobkn @ May 11 2008, 01:13 PM) $TEX: \[\sum_{k=0}^{7}(\sqrt{5})^{7-k}(\sqrt{4})^{k}=369(\sqrt{5}+\sqrt{4})\]$ CodeCogsEqn.gif ( 4.82k ) Número de descargas: 0 CodeCogsEqn__1_.gif ( 2.71k ) Número de descargas: 0 $TEX: \[\sum_{k=0}^{7}(\sqrt{5})^{7-k}(\sqrt{4})^{k} = \sqrt{5}(5^{3} +5^{2}\cdot 4 +5\cdot 4^{2} +4^{3}) +\sqrt{4}(5^{3} +5^{2}\cdot 4 +5\cdot 4^{2} +4^{3})\]$ $TEX: \[\sum_{k=0}^{7}(\sqrt{5})^{7-k}(\sqrt{4})^{k} = (5^{3} +5^{2}\cdot 4 +5\cdot 4^{2} +4^{3})(\sqrt{5} +\sqrt{4})\]$ $TEX: \[\sum_{k=0}^{7}(\sqrt{5})^{7-k}(\sqrt{4})^{k} = \left [ (5^{2}(5 +4) +4^{2}(5+4) \right ](\sqrt{5} +\sqrt{4})\]$ $TEX: \[\sum_{k=0}^{7}(\sqrt{5})^{7-k}(\sqrt{4})^{k} = \left [ (5^{2}+4^{2})(5+4) \right ](\sqrt{5} +\sqrt{4})\]$ Por la ayuda: $TEX: \[5^{4}-4^{4}=(5^{2}+4^{2})(5+4)(5-4)=369\]$ $TEX: \[\therefore \sum_{k=0}^{7}(\sqrt{5})^{7-k}(\sqrt{4})^{k} = 369(\sqrt{5} +\sqrt{4})\]$ Q.e.D. No estoy aún muy familiarizado con las demostraciones, pero creo que me salió (un poquito muy larga, pero salió xD). Gracias por la prueba!!! --------------------

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