90 bolitas, Resuelto por Zeus Opciones

[Rurouni Kenshin]

Suerte

[Shevchenja]

2 preguntas
Difieren, en ¿la suma total de las bolitas? y la segunda pregunta, es: Pueden diferir mas de 4 y 8 unidades? o la idea es tratar que no difieran a eso?


Eso.... voy a suponer que pueden diferir mas de 4 y 8 y tratar de demostrar por que siempre dos estan en esas unidades, aunque no entendí mucho :S

[ZeuS]

De los 90 numeros, establezcamos los siguientes conjuntos, cuyos elementos (bolitas) al tomarlos de forma consecutiva, difieren en 4:

Con 23 bolitas.

Con 23 bolitas.

Con 22 bolitas.

Con 22 bolitas.

Supongamos que a cado uno de los 4 conjuntos, las personas extraen 8 bolitas, entonces en total tendriamos que 32 personas extraen 32 bolitas, lo cual contradice que 33 personas deban extraer una bolita cada una, por lo tanto, en al menos un conjunto al menos 9 personas sacaran una bolita cada una.

Pensemos en el conjunto en el cual se extraen las 9 bolitas, este conjunto se denominara como , de acuerdo a lo anterior, podemos distinguir cuatro casos, por los cuatro conjuntos.

Caso I

, con 23 elementos, comenzando con un elemento impar.

Supongamos que tomamos los 9 elementos tal que su diferencia no pueda ser ni ni , pero sea la optima, es decir 12, ya que con esa diferencia podemos obtener el subconjunto mas grande de tal que no se cumpla la diferencia de y .

Luego el subconjunto de formado con las condiciones anteriores, llamado , es:



Pero estos son elementos, lo cual contradice que debamos tomar bolitas, por lo tanto, al menos dos personas extraen una bolita cada una tal que su diferencia es u .
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Caso II

, con 23 elementos, comenzando con un numero par.

Haciendo el conjunto , que es el optimo tal que no se cumplan las diferencias, tenemos que:



Pero estos son 8 elementos, lo cual contradice que debamos tomar 9 elementos, por lo tanto hay dos personas que extraen dos bolitas cada una, tal que su diferencia es u .
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Caso III

, con 22 elementos, comenzando con un numero impar.

Tenemos que el conjunto , para este caso es:



Pero este conjunto tambien posee 8 elementos, luego la conclusion es directa.
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Caso IV

, con 22 elementos, comenzando con un numerp par.

El conjunto , entonces es:



Este conjunto posee 8 elementos, como se deben extraer 9, entonces la conclusion es directa.

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Para finalizar, llegamos a que poniendonos en cualquiera de los cuatro casos, analizando cada uno de los conjuntos del principio, siempre llegamos a una contradiccion. Por lo tanto, siempre se tiene que dos personas, sin importar de que conjunto, sacan bolitas cuya diferencia es u .

[Luffy]

Muy buena la solución de ZeuS, nada que decir, nos vamos a resueltos