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I2 Geometría, MAT1102 1S 2008

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 5 2008, 10:29 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\begin{center}<br />\noindent MAT1102 - Geometría\\<br />Interrogación 2 - Lunes 5 de Mayo de 2008 \end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item <br />\begin{enumerate}<br />\item Resuelva la ecuación \[ (1-\tan x)(1+\sin{2x})=1+\tan x .\]<br />\item Demuestre la identidad \[ \text{Arctan}x=2\text{Arctan}\left(\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}\right). \]<br />\end{enumerate}<br />\item<br />\begin{enumerate}<br />\item Demuestre que si $z_1$, $z_2$ son complejos cualesquiera y si \[ a = z_1+z_2; \ b = \omega z_1 + \omega^2 z_2;\ c = \omega^2 z_1 + \omega^4 z_2,\]<br />donde $\omega\not= 1$ es una raíz cúbica de la unidad, entonces\[ a^3+b^3+c^3=3(z_1^3+z_2^3) \]<br />\item Encuentre todos los complejos que satisfacen la ecuación $(z+1)^5=z^5$ y demuestre que ellos son colineales.<br />\end{enumerate}<br />\item <br />\begin{enumerate}<br />\item Sea $u=\dfrac{az+b}{cz+d}$ donde $a$, $b$, $c$ y $d$ son reales. Demuestre que<br />\[ u-\overline{u}=\dfrac{(ad-bc}{\|cz+d\|^2}(z-\overline{z}),\]<br />y deduzca que si $ad-bc>0$, entonces las partes imaginarias de $z$ y $u$ tienen el mismo signo.<br />\item Los puntos $P(z)$ y $Q(t)$ (siendo $z$ y $t$ complejos) son tales que siempre se verifica que $t=(3+i)\dfrac{z}{z-1}$. Determine la ecuación del lugar geométrico que describe el punto $Q$ cuando el punto $P$ recorre la circunferencia de ecuación $\|z\|=2$.<br />\end{enumerate}<br />\item<br />\begin{enumerate}<br />\item Encuentre el área y el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos $A(2,3,1)$, $B(5,2,3)$ y $C(3,6,-1)$ del espacio.<br />\item Sea $ABCD$ un paralelogramo y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$ y $CD$, respectivamente. Usando vectores geométricos (vectores flecha) demuestre que los segmentos $DM$ y $BN$ cortan a la diagonal $AC$ en puntos $P$ y $Q$ que trisecan a la diagonal y calcule además las razones $\dfrac{DP}{PM}$ y $\dfrac{NQ}{QB}$.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br />$ PD: La mar de diversión. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 02:16 PM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	en la 1 estas seguro que es $TEX: \[<br />2\sin 2x<br />\]<br />$ ?? ya que si fuese solo $TEX: \[<br />\sin 2x<br />\]<br />$ se haria mucho mas facil de lo que voy a hacer xD $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \left( {1 - \tan x} \right)\left( {1 + 2\sin 2x} \right) = 1 + \tan x \hfill \\<br /> 1 + 2\sin 2x = \frac{{1 + \tan x}}<br />{{1 - \tan x}} \hfill \\<br /> 1 + 2\sin 2x = \tan \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right) \hfill \\<br /> 1 + 2\sin 2x = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right)}}<br />{{\cos \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right)}} \hfill \\<br /> \cos \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right) + 2\sin 2x \cdot \cos \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> como:\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{{\sin \left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}<br />{2} \hfill \\<br /> entonces \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \cos \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right) + \sin \left( {3x + \frac{\pi }<br />{4}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }<br />{4} - x} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right) \hfill \\<br /> \frac{{\sqrt 2 }}<br />{2}\left( {\cos x - \sin x} \right) + \frac{{\sqrt 2 }}<br />{2}\left( {\sin 3x + \cos 3x} \right) + \frac{{\sqrt 2 }}<br />{2}\left( {\sin x - \cos x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}<br />{2}\left( {\sin x + \cos x} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \sin 3x - \sin x + \cos 3x - \cos x = 0 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> conociendo: \hfill \\<br /> \sin \alpha - \sin \beta = 2\sin \left( {\frac{{\alpha - \beta }}<br />{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\alpha + \beta }}<br />{2}} \right) \hfill \\<br /> \cos \alpha - \cos \beta = - 2\sin \left( {\frac{{\alpha - \beta }}<br />{2}} \right)\sin \left( {\frac{{\alpha + \beta }}<br />{2}} \right) \hfill \\<br /> entonces \hfill \\<br /> 2\sin \left( {\frac{{3x - x}}<br />{2}} \right)\cos \left( {\frac{{3x + x}}<br />{2}} \right) - 2\sin \left( {\frac{{3x - x}}<br />{2}} \right)\sin \left( {\frac{{3x + x}}<br />{2}} \right) = 0 \hfill \\<br /> \sin x\cos 2x - \sin x\sin 2x = 0 \hfill \\<br /> \sin x\left( {\cos 2x - \sin 2x} \right) = 0 \hfill \\<br /> \sin x\left( {\cos 2x - \cos \left( {\frac{\pi }<br />{2} - 2x} \right)} \right) = 0 \hfill \\<br /> \sin x\left( {\sin \frac{\pi }<br />{4} \cdot \sin \left( {2x - \frac{\pi }<br />{4}} \right)} \right) = 0 \hfill \\<br /> \sin x \cdot \sin \left( {2x - \frac{\pi }<br />{4}} \right) = 0 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> finaaaaaaaaaaaaaalmente: \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \sin x_1 = 0 \Leftrightarrow x_1 = k\pi ;\forall k \in \mathbb{Z} \hfill \\<br /> \sin \left( {2x_2 - \frac{\pi }<br />{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x_2 - \frac{\pi }<br />{4} = k\pi \Leftrightarrow x_2 = \frac{\pi }<br />{8} + \frac{{k\pi }}<br />{2};\forall k \in \mathbb{Z} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \therefore \boxed{x_1 = k\pi \wedge x_2 = \frac{\pi }<br />{8} + \frac{{k\pi }}<br />{2}}\forall k \in \mathbb{Z} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ me di muchas vueltas? xD saludos -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 02:34 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(naxoobkn @ Jun 7 2008, 02:06 PM) en la 1 estas seguro que es $TEX: \[<br />2\sin 2x<br />\]<br />$ ?? ya que si fuese solo $TEX: \[<br />\sin 2x<br />\]<br />$ se haria mucho mas facil de lo que voy a hacer xD $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \left( {1 - \tan x} \right)\left( {1 + 2\sin 2x} \right) = 1 + \tan x \hfill \\<br /> 1 + 2\sin 2x = \frac{{1 + \tan x}}<br />{{1 - \tan x}} \hfill \\<br /> 1 + 2\sin 2x = \tan \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right) \hfill \\<br /> 1 + 2\sin 2x = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right)}}<br />{{\cos \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right)}} \hfill \\<br /> \cos \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right) + 2\sin 2x \cdot \cos \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> como:\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{{\sin \left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}<br />{2} \hfill \\<br /> entonces \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \cos \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right) + \sin \left( {3x + \frac{\pi }<br />{4}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }<br />{4} - x} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }<br />{4} + x} \right) \hfill \\<br /> \frac{{\sqrt 2 }}<br />{2}\left( {\cos x - \sin x} \right) + \frac{{\sqrt 2 }}<br />{2}\left( {\sin 3x + \cos 3x} \right) + \frac{{\sqrt 2 }}<br />{2}\left( {\sin x - \cos x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}<br />{2}\left( {\sin x + \cos x} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \sin 3x - \sin x + \cos 3x - \cos x = 0 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> conociendo: \hfill \\<br /> \sin \alpha - \sin \beta = 2\sin \left( {\frac{{\alpha - \beta }}<br />{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\alpha + \beta }}<br />{2}} \right) \hfill \\<br /> \cos \alpha - \cos \beta = - 2\sin \left( {\frac{{\alpha - \beta }}<br />{2}} \right)\sin \left( {\frac{{\alpha + \beta }}<br />{2}} \right) \hfill \\<br /> entonces \hfill \\<br /> 2\sin \left( {\frac{{3x - x}}<br />{2}} \right)\cos \left( {\frac{{3x + x}}<br />{2}} \right) - 2\sin \left( {\frac{{3x - x}}<br />{2}} \right)\sin \left( {\frac{{3x + x}}<br />{2}} \right) = 0 \hfill \\<br /> \sin x\cos 2x - \sin x\sin 2x = 0 \hfill \\<br /> \sin x\left( {\cos 2x - \sin 2x} \right) = 0 \hfill \\<br /> \sin x\left( {\cos 2x - \cos \left( {\frac{\pi }<br />{2} - 2x} \right)} \right) = 0 \hfill \\<br /> \sin x\left( {\sin \frac{\pi }<br />{4} \cdot \sin \left( {2x - \frac{\pi }<br />{4}} \right)} \right) = 0 \hfill \\<br /> \sin x \cdot \sin \left( {2x - \frac{\pi }<br />{4}} \right) = 0 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> finaaaaaaaaaaaaaalmente: \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \sin x_1 = 0 \Leftrightarrow x_1 = k\pi ;\forall k \in \mathbb{Z} \hfill \\<br /> \sin \left( {2x_2 - \frac{\pi }<br />{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x_2 - \frac{\pi }<br />{4} = k\pi \Leftrightarrow x_2 = \frac{\pi }<br />{8} + \frac{{k\pi }}<br />{2};\forall k \in \mathbb{Z} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \therefore \boxed{x_1 = k\pi \wedge x_2 = \frac{\pi }<br />{8} + \frac{{k\pi }}<br />{2}}\forall k \in \mathbb{Z} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ me di muchas vueltas? xD saludos Toda la razón xd. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 02:41 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Abu-Khalil @ Jun 7 2008, 03:24 PM) Toda la razón xd. jajaj ya entonces aca va la otra solucion: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \left( {1 - \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 1 + \tan x \hfill \\<br /> 1 + \sin 2x = \frac{{1 + \frac{{\sin x}}<br />{{\cos x}}}}<br />{{1 - \frac{{\sin x}}<br />{{\cos x}}}} \hfill \\<br /> \sin ^2 x + 2\sin x\cos x + \cos ^2 x = \frac{{\sin x + \cos x}}<br />{{\cos x - \sin x}} \hfill \\<br /> \sin x + \cos x = \frac{1}<br />{{\cos x - \sin x}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \cos ^2 x - \sin ^2 x = 1 \hfill \\<br /> \cos 2x = 1 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> 2x = 2k\pi \hfill \\<br /> \boxed{x = k\pi }\forall k \in \mathbb{Z} \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 02:54 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(naxoobkn @ Jun 7 2008, 02:31 PM) jajaj ya entonces aca va la otra solucion: $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \left( {1 - \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 1 + \tan x \hfill \\<br /> 1 + \sin 2x = \frac{{1 + \frac{{\sin x}}<br />{{\cos x}}}}<br />{{1 - \frac{{\sin x}}<br />{{\cos x}}}} \hfill \\<br /> \sin ^2 x + 2\sin x\cos x + \cos ^2 x = \frac{{\sin x + \cos x}}<br />{{\cos x - \sin x}} \hfill \\<br /> \sin x + \cos x = \frac{1}<br />{{\cos x - \sin x}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \cos ^2 x - \sin ^2 x = 1 \hfill \\<br /> \cos 2x = 1 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> 2x = 2k\pi \hfill \\<br /> \boxed{x = k\pi }\forall k \in \mathbb{Z} \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ Cuidado con las simplificaciones, perdiste soluciones. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

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