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Uno dificil, Resuelto por †Alucard† [medio]

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 26 2006, 12:37 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent Para un numero real $x$, sea $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero que es menor o igual a $x$. Probar que\\<br />$$\left\lfloor\frac{(n-1)!}{n(n+1)}\right\rfloor$$\\<br />es par para todo entero positivo $n$.$ Fuente: APMO 2004 Saludos y suerte(la necesitaran ) -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2006, 08:05 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	Primero evaluamos $TEX: \[<br />\left\lfloor {\frac{{(n - 1)!}}<br />{{n(n + 1)}}} \right\rfloor <br />\]$ para $TEX: $n=1,2,3,4$$ , y en todos los casos obtenemos el valor 0, que es par. Ahora, para $TEX: $n\ge 5$$ , distinguimos tres casos: Caso I: n es primo Si n es primo, por Teorema de Wilson tenemos $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> (n - 1)! \equiv n - 1\;(\bmod \;n) \hfill \\<br /> (n - 1)! = nk + n - 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ para algún k entero, que debe ser par, puesto que $TEX: $(n-1)!$$ y $TEX: $n-1$$ lo son. Entonces tenemos $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{{(n - 1)!}}<br />{{n(n + 1)}} = \frac{{(n - 2)!}}<br />{n}\left( {\frac{{n - 1}}<br />{{n + 1}}} \right) = \frac{{(n - 2)!}}<br />{n}\left( {(n - 1) - \frac{{n(n - 1)}}<br />{{n + 1}}} \right) \hfill \\<br /> = \frac{{(n - 1)!}}<br />{n} - \frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}} = \frac{{nk + n - 1}}<br />{n} - \frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}} = k - \frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}} + 1 - \frac{1}<br />{n} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ y debemos analizar la paridad de $TEX: \[<br />\frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}}<br />\]$ Proponemos que es par, para todo n impar: Para n=5 (base de la inducción): $TEX: \[<br />\left. {\frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}}} \right\|_{n = 5} = \frac{{24}}<br />{6} = 4<br />\]$ es verdadero Si es verdadero para algún n impar, tenemos $TEX: \[<br />\frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}} \cdot \frac{{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 1)}}<br />{{n + 3}} = \frac{{(n + 1)!}}<br />{{n + 3}}<br />\]$ Analizando el lado izquierdo, tenemos dos casos, el que n sea par pero no divisible por 4 (caso i) y que sea divisible por alguna potencia de 2 mayor que 2 (caso ii) En el caso i, $TEX: \[<br />\frac{{\overbrace {(n - 1)!}^{2 \cdot 2^{m - 1} \cdot \ldots }}}<br />{{\underbrace {n + 1}_{2 \cdot \ldots }}} \cdot \frac{{n \cdot \overbrace {(n + 1)}^{2 \cdot \ldots } \cdot \overbrace {(n + 1)}^{2 \cdot \ldots }}}<br />{{\underbrace {n + 3}_{2^m \cdot \ldots }}}<br />\]$ porque $TEX: $n+3$$ debe ser divisible por alguna potencia de 2 mayor que 2, $TEX: $(n-1)!$$ debe incluir a $TEX: $\frac{n+3}{2}$$ y a 2, luego es divisible por 2. En el caso ii, $TEX: \[<br />\frac{{\overbrace {(n - 1)}^{2^{k - 1} \cdot \ldots }!}}<br />{{\underbrace {n + 1}_{2^k \cdot \ldots }}} \cdot \frac{{n \cdot \overbrace {(n + 1)}^{2^k \cdot \ldots } \cdot \overbrace {(n + 1)}^{2^k \cdot \ldots }}}<br />{{\underbrace {n + 3}_{2 \cdot \ldots }}}<br />\]$ porque $TEX: $n+3$$ no puede ser divisible por 4, y $TEX: $(n-1)$$ debe incluir a $TEX: $\frac{n+1}{2}$$ ; luego también es múltiplo de 2 para el caso n+2. Luego es par para todo n impar, $TEX: $n\ge 5$$ Volviendo a $TEX: \[<br />k - \frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}} + 1 - \frac{1}<br />{n}<br />\]$ es de la forma par + par + impar - nº positivo menor que 1. Luego su parte entera es de la forma par + par + impar - 1 = par. Caso 1 probado. Caso 2: n+1 es primo Por el caso anterior sabemos que $TEX: \[<br />\frac{{n!}}<br />{{(n + 1)(n + 2)}}<br />\]$ es de la forma nº par + nº positivo menor que 1. Y, calculando, $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{{n!}}<br />{{(n + 1)(n + 2)}} - \frac{{(n - 1)!}}<br />{{n(n + 1)}} = \frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}}\left( {\frac{n}<br />{{n + 2}} - \frac{1}<br />{n}} \right) \hfill \\<br /> = \frac{{(n - 1)!(n + 1)(n - 2)}}<br />{{n(n + 1)(n + 2)}} = \frac{{(n - 1)!(n - 2)}}<br />{{n(n + 2)}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Analizando su paridad tenemos $TEX: \[<br />\frac{{\overbrace {(n - 1)!}^{2 \cdot 2^{m - 1} \cdot \ldots }\overbrace {(n - 2)}^{2^2 \cdot \ldots }}}<br />{{\underbrace n_{2 \cdot \ldots }\underbrace {(n + 2)}_{2^m \cdot \ldots }}}<br />\]$ y $TEX: \[<br />\frac{{\overbrace {(n - 1)!}^{2 \cdot 2 \cdot 2^{k - 1} \cdot \ldots }\overbrace {(n - 2)}^{2 \cdot \ldots }}}<br />{{\underbrace n_{2^k \cdot \ldots }\underbrace {(n + 2)}_{2 \cdot \ldots }}}<br />\]$ ambos pares, siendo ellos casos análogos a los de la demostración por inducción previa. Luego $TEX: \[<br />\frac{{(n - 1)!}}<br />{{n(n + 1)}} = \frac{{n!}}<br />{{(n + 1)(n + 2)}} - \frac{{(n - 1)!(n - 2)}}<br />{{n(n + 2)}}<br />\]$ es de la forma (nº par + nº positivo menor que 1) - nº par = nº par + nº positivo menor que 1, y su parte entera es par. Caso 2 probado. Caso 3: n y n+1 compuestos En este caso $TEX: \[<br />{\frac{{(n - 1)!}}<br />{{n(n + 1)}}}<br />\]$ es entero, porque tanto los factores de $TEX: $n$$ como los de $TEX: $n+1$$ están en $TEX: $(n-1)!$$ , y como son coprimos no se repiten esos factores. Sabemos que sólo uno de los factores del denominador puede ser par, entonces, trabajando igual que en los ejercicios anteriores, $TEX: \[<br />\frac{{\overbrace {(n - 1)!}^{2 \cdot 2 \cdot 2^{k - 1} \cdot \ldots }}}<br />{{\underbrace {n(n + 1)}_{2^k \cdot \ldots }}}<br />\]$ que es par, luego su parte entera es par. Caso 3 probado. Así se probaría el problema... QED Saludos P.S.: Sé que está enredado... y, por cierto, hay veces que aparece 2 veces el factor 2 sobre los factoriales, eso es porque considero el 2 y el 6, para cumplir con los 2 necesarios para que sea par. -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 23 2007, 02:21 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Muy buena solucion de Alucard, nada que objetar. A resueltos --------------------

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