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APMO 2004, Ssp: 3

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 25 2006, 11:51 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent \underline{$Problema\ 1$} Determinar todos los conjuntos finitos no vacios $S$ de enteros positivos que satisfacen\\<br />$$(\forall i,j\in S)\ \frac{i+j}{(i,j)}\in S$$\\<br />donde $(i,j)$ es el maximo comun divisor de $i$ y $j$.$ Solucion: $TEX: \noindent Dado que $\#S\ne0$, existe al menos un elemento $x\not=0$ en $S$. Luego:\\<br />$$\displaystyle\frac{x+x}{(x,x)}=2\in S$$\\<br />Digamos que $x$ es el mayor impar en $S$, entonces\\<br />$\displaystyle\frac{x+2}{(x,2)}=x+2\in S$ pero $x+2>x$\\<br />lo que contradice la existencia de un mayor $x$ impar, y como $S$ es finito no contiene impares, en particular no contiene el $1$, luego, $2$ es el menor elemento de $S$.\\<br />\\<br />Supongamos ahora que $x$ es el numero par inmediatamente mayor que $2$ en $S$. Podemos escribir $x=2y$. Luego\\<br />$\displaystyle\frac{x+2}{(x,2)}=\frac{2y+2}{(2y,2)}=\frac{2y+2}{2}=y+1\in S$ con $y$ impar\\<br />Como se supone que $x=2y$ es el elemento minimo de $S-\{2\}$ entonces\\ $y+1\ge2y$ lo que se da solo si $0<y\le1\Rightarrow y=1$\\<br />pero esto significaria que $x=2$ cuando estamos suponiendo que $x>2$.\\ <br />\\<br />Esto prueba que el unico elemento de $S$ es 2, o sea $S=\{2\}$\\<br />\\<br />\begin{center}<br />\boxed{Resuelto\ por\ Pasten}<br />\end{center}<br />$ $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 2$} Sean $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro de un triangulo \mbox{acutangulo} $ABC$. Probar que el area de uno de los triangulos $AOH,BOH$ y $COH$ es igual a la suma de las areas de los otros dos.$ Solucion: $TEX: \noindent<br />Como $AOH,BOH,COH$ comparten la base $OH$, solo necesitamos probar que sus alturas perpendiculares a $OH$ son tales que dos de ellas suman la tercera.\\<br />Es sabido que el baricentro $G$ esta sobre la recta $OH$ (recta de Euler). Tambien es conocido que para $G$ la siguiente identidad vectorial es valida;\\ $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0$ (1)\\<br />Tracemos por $G$ una perpendicular $p$ a la recta $OH$. Sea $X'$ la proyeccion de $X$ sobre $p$, de (1) se deduce\\<br />$\vec{GA'}+\vec{GB'}+\vec{GC'}=0$ (2)\\<br />Es decir, de las longitudes $GA',GB',GC'$ hay dos que suman la otra, pero precisamente estas son las alturas de los triangulos $AOH,BOH,COH$ respectivamente, con lo que el problema queda resuelto.\\<br />\\<br />\begin{center}<br />\boxed{Resuelto\ por\ Pasten}<br />\end{center}<br />$ $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 3$} Sea $S$ un conjunto de $2004$ puntos en el plano, tales que tres \mbox{cualesquiera} de ellos no son colineales. Denotemos con $\mathcal{L}$ el conjunto de todas las rectas(extendidas indefinidamente en ambas direcciones) \mbox{determinadas} por pares de puntos del conjunto. Demostrar que es posible colorear los \mbox{puntos} de $S$ con a lo mas dos colores, tal que cualquier par de puntos $p,q$ de $S$, el numero de rectas de $\mathcal{L}$ que separan $p$ de $q$ es impar si y solo si $p$ y $q$ tienen el mismo color.\\<br />\\<br />Nota: Una recta $l$ separa dos puntos $p$ y $q$ si $p$ y $q$ estan situados a lados opuestos de $l$, con ninguno de ellos sobre $l$$ Solucion:(Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 4$} Para un numero real $x$, sea $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero que es menor o igual a $x$. Probar que\\<br />$$\left\lfloor\frac{(n-1)!}{n(n+1)}\right\rfloor$$\\<br />es par para todo entero positivo $n$.$ Solucion: Primero evaluamos $TEX: \[<br />\left\lfloor {\frac{{(n - 1)!}}<br />{{n(n + 1)}}} \right\rfloor <br />\]$ para $TEX: $n=1,2,3,4$$ , y en todos los casos obtenemos el valor 0, que es par. Ahora, para $TEX: $n\ge 5$$ , distinguimos tres casos: Caso I: n es primo Si n es primo, por Teorema de Wilson tenemos $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> (n - 1)! \equiv n - 1\;(\bmod \;n) \hfill \\<br /> (n - 1)! = nk + n - 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ para algún k entero, que debe ser par, puesto que $TEX: $(n-1)!$$ y $TEX: $n-1$$ lo son. Entonces tenemos $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{{(n - 1)!}}<br />{{n(n + 1)}} = \frac{{(n - 2)!}}<br />{n}\left( {\frac{{n - 1}}<br />{{n + 1}}} \right) = \frac{{(n - 2)!}}<br />{n}\left( {(n - 1) - \frac{{n(n - 1)}}<br />{{n + 1}}} \right) \hfill \\<br /> = \frac{{(n - 1)!}}<br />{n} - \frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}} = \frac{{nk + n - 1}}<br />{n} - \frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}} = k - \frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}} + 1 - \frac{1}<br />{n} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ y debemos analizar la paridad de $TEX: \[<br />\frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}}<br />\]$ Proponemos que es par, para todo n impar: Para n=5 (base de la inducción): $TEX: \[<br />\left. {\frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}}} \right\|_{n = 5} = \frac{{24}}<br />{6} = 4<br />\]$ es verdadero Si es verdadero para algún n impar, tenemos $TEX: \[<br />\frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}} \cdot \frac{{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 1)}}<br />{{n + 3}} = \frac{{(n + 1)!}}<br />{{n + 3}}<br />\]$ Analizando el lado izquierdo, tenemos dos casos, el que n sea par pero no divisible por 4 (caso i) y que sea divisible por alguna potencia de 2 mayor que 2 (caso ii) En el caso i, $TEX: \[<br />\frac{{\overbrace {(n - 1)!}^{2 \cdot 2^{m - 1} \cdot \ldots }}}<br />{{\underbrace {n + 1}_{2 \cdot \ldots }}} \cdot \frac{{n \cdot \overbrace {(n + 1)}^{2 \cdot \ldots } \cdot \overbrace {(n + 1)}^{2 \cdot \ldots }}}<br />{{\underbrace {n + 3}_{2^m \cdot \ldots }}}<br />\]$ porque $TEX: $n+3$$ debe ser divisible por alguna potencia de 2 mayor que 2, $TEX: $(n-1)!$$ debe incluir a $TEX: $\frac{n+3}{2}$$ y a 2, luego es divisible por 2. En el caso ii, $TEX: \[<br />\frac{{\overbrace {(n - 1)}^{2^{k - 1} \cdot \ldots }!}}<br />{{\underbrace {n + 1}_{2^k \cdot \ldots }}} \cdot \frac{{n \cdot \overbrace {(n + 1)}^{2^k \cdot \ldots } \cdot \overbrace {(n + 1)}^{2^k \cdot \ldots }}}<br />{{\underbrace {n + 3}_{2 \cdot \ldots }}}<br />\]$ porque $TEX: $n+3$$ no puede ser divisible por 4, y $TEX: $(n-1)$$ debe incluir a $TEX: $\frac{n+1}{2}$$ ; luego también es múltiplo de 2 para el caso n+2. Luego es par para todo n impar, $TEX: $n\ge 5$$ Volviendo a $TEX: \[<br />k - \frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}} + 1 - \frac{1}<br />{n}<br />\]$ es de la forma par + par + impar - nº positivo menor que 1. Luego su parte entera es de la forma par + par + impar - 1 = par. Caso 1 probado. Caso 2: n+1 es primo Por el caso anterior sabemos que $TEX: \[<br />\frac{{n!}}<br />{{(n + 1)(n + 2)}}<br />\]$ es de la forma nº par + nº positivo menor que 1. Y, calculando, $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \frac{{n!}}<br />{{(n + 1)(n + 2)}} - \frac{{(n - 1)!}}<br />{{n(n + 1)}} = \frac{{(n - 1)!}}<br />{{n + 1}}\left( {\frac{n}<br />{{n + 2}} - \frac{1}<br />{n}} \right) \hfill \\<br /> = \frac{{(n - 1)!(n + 1)(n - 2)}}<br />{{n(n + 1)(n + 2)}} = \frac{{(n - 1)!(n - 2)}}<br />{{n(n + 2)}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Analizando su paridad tenemos $TEX: \[<br />\frac{{\overbrace {(n - 1)!}^{2 \cdot 2^{m - 1} \cdot \ldots }\overbrace {(n - 2)}^{2^2 \cdot \ldots }}}<br />{{\underbrace n_{2 \cdot \ldots }\underbrace {(n + 2)}_{2^m \cdot \ldots }}}<br />\]$ y $TEX: \[<br />\frac{{\overbrace {(n - 1)!}^{2 \cdot 2 \cdot 2^{k - 1} \cdot \ldots }\overbrace {(n - 2)}^{2 \cdot \ldots }}}<br />{{\underbrace n_{2^k \cdot \ldots }\underbrace {(n + 2)}_{2 \cdot \ldots }}}<br />\]$ ambos pares, siendo ellos casos análogos a los de la demostración por inducción previa. Luego $TEX: \[<br />\frac{{(n - 1)!}}<br />{{n(n + 1)}} = \frac{{n!}}<br />{{(n + 1)(n + 2)}} - \frac{{(n - 1)!(n - 2)}}<br />{{n(n + 2)}}<br />\]$ es de la forma (nº par + nº positivo menor que 1) - nº par = nº par + nº positivo menor que 1, y su parte entera es par. Caso 2 probado. Caso 3: n y n+1 compuestos En este caso $TEX: \[<br />{\frac{{(n - 1)!}}<br />{{n(n + 1)}}}<br />\]$ es entero, porque tanto los factores de $TEX: $n$$ como los de $TEX: $n+1$$ están en $TEX: $(n-1)!$$ , y como son coprimos no se repiten esos factores. Sabemos que sólo uno de los factores del denominador puede ser par, entonces, trabajando igual que en los ejercicios anteriores, $TEX: \[<br />\frac{{\overbrace {(n - 1)!}^{2 \cdot 2 \cdot 2^{k - 1} \cdot \ldots }}}<br />{{\underbrace {n(n + 1)}_{2^k \cdot \ldots }}}<br />\]$ que es par, luego su parte entera es par. Caso 3 probado. Así se probaría el problema... QED $TEX: \boxed{Resuelto\ por\ †Alucard†}$ $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 5$} Probar que:\\<br />$$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge 9(ab+bc+ca)$$\\<br />para todos los numeros reales $a,b,c>0$$ Primera Solucion: Dado que $TEX: $a,b,c>0$$ , deben existir $TEX: $\alpha,\beta,\gamma\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$ tales que: $TEX: $a=\sqrt{2}tg(\alpha)$$ , $TEX: $b=\sqrt{2}tg(\beta)$$ y $TEX: $c=\sqrt{2}tg(\gamma)$$ . Nota: Como $TEX: $\alpha,\beta,\gamma\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$ , entonces todas las funciones trigonometricas aplicadas a los angulos $TEX: $\alpha,\beta,\gamma$$ tomaran valores positivos. Esto justificara las desigualdades colocadas a continuacion sin ninguna preocupacion de signo. Luego como $TEX: $\displaystyle tg^2(x)+1=sec^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)}$$ se tendra que la desigualdad a probar(despues de cierto manejo algebraico elemental) es: $TEX: $\displaystyle\frac{4}{9}\ge cos(\alpha)cos(\beta)cos(\gamma)[cos(\alpha)cos(\beta)sen(\gamma)+cos(\alpha)sen(\beta)cos(\gamma)+sen(\alpha)cos(\beta)cos(\gamma)]$$ Pero usuando la identidad que deje propuesta en este Link, se tendra que esta desigualdad equivale a: $TEX: $\displaystyle\frac{4}{9}\ge \underbrace{cos(\alpha)cos(\beta)cos(\gamma)[cos(\alpha)cos(\beta)cos(\gamma)-cos(\alpha+\beta+\gamma)]}_{\displaystyle \mathcal{T}}$$ Aplicando que $TEX: $G\le A$$ y luego la desigualdad de Jensen ( $TEX: $cos(\cdot )$$ es concava en $TEX: $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$$ )tendremos que: $TEX: $\displaystyle cos(\alpha)cos(\beta)cos(\gamma)\le \left(\frac{cos(\alpha)+cos(\beta)+cos(\gamma)}{3}\right)^3\le cos^3(\varphi)$$ donde $TEX: $\displaystyle \varphi=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}$$ Luego se concluye que: $TEX: $\mathcal{T}\le cos^3(\varphi)[cos^3(\varphi)-cos(3\varphi)]$$ Luego bastaria probar que $TEX: $\displaystyle \mathcal{T}\le\frac{4}{9}$$ Recordemos que $TEX: $cos(3\varphi)=4cos^3(\varphi)-3cos(\varphi)$$ cuya demostracion queda propuesta en el siguiente Link Entonces bastaria probar que ( recordar que $TEX: $1-cos^2(\varphi)=sen^2(\varphi)$$ ): $TEX: $\displaystyle cos^4(\varphi)sen^2(\varphi)\le \frac{4}{27}$$ Pero esta desigualdad es clara del hecho que: $TEX: $\displaystyle \sqrt[3]{\frac{cos^2(\varphi)}{2}\frac{cos^2(\varphi)}{2}sen^2(\varphi)}\le \frac{\frac{cos^2(\varphi)}{2}+\frac{cos^2(\varphi)}{2}+sen^2(\varphi)}{3}=\frac{1}{3}$$ $TEX: \boxed{Resuelto\ por\ Kenshin}$ Segunda Solucion: Desarrollando el lado izquierdo de la desigualdad y agrupando tendremos: $TEX: $((abc)^2+1+1)+4(a^2+b^2+c^2)+2((a^2b^2+1)+(b^2c^2+1)+(c^2a^2+1))$$ $TEX: $\ge 3a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}c^{\frac{2}{3}}+(a^2+b^2+c^2)+3(ab+bc+ca)+2(2ab+2bc+2ca)$$ Pero: $TEX: $a^2+b^2+c^2+3a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}c^{\frac{2}{3}}\ge a^{\frac{4}{3}}(b^{\frac{2}{3}}+c^ {\frac{2}{3}})+b^{\frac{4}{3}}(a^{\frac{2}{3}}+c^ {\frac{2}{3}})+c^{\frac{4}{3}}(a^{\frac{2}{3}}+b^ {\frac{2}{3}})$$ Para esto ultimo use esta Desigualdad $TEX: $a^{\frac{4}{3}}(b^{\frac{2}{3}}+c^ {\frac{2}{3}})+b^{\frac{4}{3}}(a^{\frac{2}{3}}+c^ {\frac{2}{3}})+c^{\frac{4}{3}}(a^{\frac{2}{3}}+b^ {\frac{2}{3}})\ge 2(ab+bc+ca)$$ pues $TEX: $x^{\frac{4}{3}}y^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{4}{3}}\ge 2\sqrt{x^{\frac{4}{3}}y^{\frac{2}{3}}x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{4}{3}}}=2xy$$ Con todos estos elementos, reemplazando en la desigualdad original, se tiene lo pedido. $TEX: \boxed{Resuelto\ por\ Kenshin}$ Tercera Solucion(Una Desigualdad mas Potente): Probaremos que: $TEX: $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge 3(a+b+c)^2$$ PD: Ojo que $TEX: $3(a+b+c)^2\ge 9(ab+bc+ca)$$ lo cual indica que la desigualdad a probar es "mas exigente" que la original. Solucion: Recordemos la Desigualdad que esta probada en el siguiente Link. Caso 1 Si $TEX: $a,b,c\ge 1$$ , tendremos que $TEX: $a^2-1,b^2-1,c^2-1\ge 0$$ (el mismo signo), por lo tanto: $TEX: $\displaystyle (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)=27\left(1+\frac{a^2-1}{3}\right)\left(1+\frac{b^2-1}{3}\right)\left(1+\frac{c^2-1}{3}\right)$$ $TEX: $\displaystyle \ge 27\left(1+\frac{a^2-1}{3}+\frac{b^2-1}{3}+\frac{c^2-1}{3}\right)=9(a^2+b^2+c^2)\ge 3(a+b+c)^2$$ Caso 2 El caso $TEX: $a,b,c\le 1$$ es analogo al Caso 1, pues en ese caso $TEX: $a^2-1,b^2-1,c^2-1\le 0$$ (el mismo signo) Caso 3 Si dentro de los valores de $TEX: $a,b,c$$ . hay dos de ellos menores o iguales que 1, y uno mayor o igual que 1 ( Digamos $TEX: $a,b\le 1$$ y $TEX: $c\ge 1$$ ) $TEX: $\displaystyle (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)=9\left(1+\frac{a^2-1}{3}\right)\left(1+\frac{b^2-1}{3}\right)(c^2+2)$$ $TEX: $\displaystyle \ge 9\left(1+\frac{a^2-1}{3}+\frac{b^2-1}{3}\right)(c^2+2)= 3(a^2+b^2+1)(1^2+1^2+c^2)$$ $TEX: $\ge 3(a+b+c)^2$$ La ultima desigualdad es simplemente Cauchy-Shwarz. Caso 4 Si dentro de los valores de $TEX: $a,b,c$$ . hay uno de ellos menor o igual que 1, y dos mayores o iguales que 1. Analogo al caso 3 $TEX: \boxed{Resuelto\ por\ Kenshin}$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 20 2006, 12:54 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kenshin @ Feb 26 2006, 12:51 AM) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 2$} Sean $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro de un triangulo \mbox{acutangulo} $ABC$. Probar que el area de uno de los triangulos $AOH,BOH$ y $COH$ es igual a la suma de las areas de los otros dos.$ $TEX: \noindent<br />Como $AOH,BOH,COH$ comparten la base $OH$, solo necesitamos probar que sus alturas perpendiculares a $OH$ son tales que dos de ellas suman la tercera.\\<br />Es sabido que el baricentro $G$ esta sobre la recta $OH$ (recta de Euler). Tambien es conocido que para $G$ la siguiente identidad vectorial es valida;\\ $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0$ (1)\\<br />Tracemos por $G$ una perpendicular $p$ a la recta $OH$. Sea $X'$ la proyeccion de $X$ sobre $p$, de (1) se deduce\\<br />$\vec{GA'}+\vec{GB'}+\vec{GC'}=0$ (2)\\<br />Es decir, de las longitudes $GA',GB',GC'$ hay dos que suman la otra, pero precisamente estas son las alturas de los triangulos $AOH,BOH,COH$ respectivamente, con lo que el problema queda resuelto.<br />$ -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 20 2006, 12:58 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kenshin @ Feb 26 2006, 12:51 AM) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 4$} Para un numero real $x$, sea $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero que es menor o igual a $x$. Probar que\\<br />$$\left\lfloor\frac{(n-1)!}{n(n+1)}\right\rfloor$$\\<br />es par para todo entero positivo $n$.$ Ver aqui. Saludos. -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 17 2009, 07:35 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kenshin @ Feb 26 2006, 01:51 AM) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 1$} Determinar todos los conjuntos finitos no vacios $S$ de enteros positivos que satisfacen\\<br />$$(\forall i,j\in S)\ \frac{i+j}{(i,j)}\in S$$\\<br />donde $(i,j)$ es el maximo comun divisor de $i$ y $j$.$ $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 1'$} Determine todos los conjuntos finitos no vacíos $S$ de enteros positivos que satisfacen:<br />\\$$(\forall i,j\in S)\ \frac{i+j}{[i,j]}\in S$$\\<br />donde $[i,j]$ es el mínimo común multiplo de $i$ y $j$.$ -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

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