 Progesion geometrica |
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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Consultas > Banco de Problemas Resueltos > Álgebra > Progresiones: Aritmética y Geométrica  |
 May 2 2008, 12:26 PM
Publicado:
#1
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Dios Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 307 Registrado: 4-February 06 Desde: Talca Miembro Nº: 539 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> sea{\text{ }}a_n {\text{ }}una{\text{ }}sucesion{\text{ }}de{\text{ }}numeros{\text{ }}enteros{\text{ }}definida{\text{ }}por \hfill \\<br /> a_1 = 1 \hfill \\<br /> a_n = 1 + \sum\limits_{i = 2}^n {2^i } {\text{ }}para{\text{ }}todo{\text{ }}numero{\text{ }}natural{\text{ }}n \geqslant 2{\text{ }} \hfill \\<br /> Usando{\text{ }}propiedades{\text{ }}de{\text{ }}progresion{\text{ }} \hfill \\<br /> geometrica{\text{ }}pruebe{\text{ }}que{\text{ }}a_n = 2^{n + 1} - 3{\text{ }}para{\text{ }}todo{\text{ }}n{\text{ }} \in {\text{ }}{\rm N} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />](./tex/1d145231f11a793439df9cb4bfa0d771.png)
Mensaje modificado por droope el May 2 2008, 11:29 PM --------------------  |
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May 2 2008, 03:40 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 448 Registrado: 27-January 08 Miembro Nº: 15.045 Nacionalidad: Sexo: |
disculpa pero nose usar latex asi que te orientare
primero creo k esta mal escrito debido a que no da el resultado 2 elevado a n+a sino que 2 elevado a n+1 bueno el gran problema del ejercicio es arreglar la sumatoria para que sea progresion geometrica para eso la sumatoria tiene k partir de uno entonces con propiedades de sumatoria haz que parta de 1 llege a n-1 y le sumas 1 al 2 elevado i te keda la sumatoria desde i =1 hasta n-1 de 2 elevado i+a ahi si tienes una progresion geometrica de primer termino 4 y k kada ves se le va multiplikando dos el resto te lo dejo a ti Saludos! |
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May 2 2008, 06:15 PM
Publicado:
#3
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 Staff FMAT  Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{P}}{\text{.D}}{\text{.Q:}} \hfill \\<br /> a_n = 2^{n + 1} - 3 \hfill \\<br /> \boxed{{\text{Demostracion :}}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Vamos primero a calcular el valor de la suma }}\sum\limits_{i = 1}^n {2^i } {\text{ :}} \hfill \\<br /> \sum\limits_{i = 2}^n {2^i } = \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {2^{i + 1} } \hfill \\<br /> \sum\limits_{i = 2}^n {2^i } = 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + ..... + 2^n \hfill \\<br /> \sum\limits_{i = 2}^n {2^i } = 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + ..... + 2^n + 0 \hfill \\<br /> \sum\limits_{i = 2}^n {2^i } = 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + ..... + 2^n + 2^1 - 2^1 \hfill \\<br /> \sum\limits_{i = 2}^n {2^i } = \underbrace {2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + ..... + 2^n }_{S_n } - 2 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/40c29b52e06977d6e5670541a8655d4f.png) ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Entonces S}}_{\text{n}} {\text{ }}{\text{, sera igual a :}} \hfill \\<br /> (1)S_n = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + ..... + 2^n / \cdot 2 \hfill \\<br /> (2)2S_n = 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + ...... + 2^n + 2^{n + 1} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Restando (1) con (2) }}{\text{, nos queda :}} \hfill \\<br /> - S_n = 2 - 2^{n + 1} \hfill \\<br /> - S_n = 2\left( {1 - 2^n } \right) \hfill \\<br /> S_n = 2\left( {2^n - 1} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Luego ocupamos Lo que nos dio en S}}_{\text{n}} {\text{ }}{\text{, y ramataremos el ejercicio :}} \hfill \\<br /> \sum\limits_{i = 2}^n {2^i } = 2\left( {2^n - 1} \right) - 2 \hfill \\<br /> \sum\limits_{i = 2}^n {2^i } = 2^{n + 1} - 2 - 2 \hfill \\<br /> \boxed{\sum\limits_{i = 2}^n {2^i } = 2^{n + 1} - 4} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/d09197784b4ecbc7e5c0f6fe34a26bb8.png) ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Pero sabemos que :}} \hfill \\<br /> a_n = 1 + \sum\limits_{i = 2}^n {2^i } \hfill \\<br /> {\text{Y ya sabemos el valor de esa suma asi que reemplazamos :}} \hfill \\<br /> a_n = 1 + 2^{n + 1} - 4 \hfill \\<br /> \boxed{a_n = 2^{n + 1} - 3} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Que era lo que se queria demostrar }}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{q}}{\text{.e}}{\text{.d}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{saludos}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/7a148e3d0d7379e45ebc192126405a89.png)
-------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile
Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH |
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May 6 2008, 10:34 PM
Publicado:
#4
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Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 307 Registrado: 4-February 06 Desde: Talca Miembro Nº: 539 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
 no si lo hare mal pero no entiendo porque si desarrollo la sucecion de la sumatoria original no llego al resultado. Mensaje modificado por droope el May 6 2008, 10:43 PM -------------------- |
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Mar 22 2009, 07:21 PM
Publicado:
#5
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434 |
Las 2 respuestas de arriba son correctas aunque ninguna menciono que la propiedad es válida también para
n = 1. A resueltos 
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