Problema Basico, Nivel Facil, resuelto por Matheus Secco Opciones

[brandoowin]

Probar que en cualquier conjunto de n+1 enteros entre 1 y 2n siempre hay dos elementos tales que uno es multiplo del otro.
Suerte!!!!!!!

[Alexgar911]

Es facil ver ke como no keremos ke keden 2 numeros en el conjunto ke sea multiplo uno del otro no podemos tomar el numero 1. Supongamos ke el 2 existe en nuestro conjunto, entonces no podemos elegir ningun numero par para agregarlo al conjunto, por lo ke a lo mas podremos meter todos los impares al conjunto (suponiendo ke entre ellos no hay 2 tales ke uno sea multiplo del otro) pero vemos ke hay exactamente n impares considerando al 1, pero como no podemos agregarlo tenemos en nuestro conjunto a lo sumo n elementos, en contradiccion con la definicion del conjunto. Por tanto el 2 no puede estar en nuestro conjunto. Un argumento similar se usa para ir descartando todos los demas numeros menores que n+1.Tambien es facil ver ke todos los numeros mayores o iguales ke n+1 estarian en el conjunto (ya que el minimo multiplo de algun numero del conjunto es al menos 2n +2), pero ahi tenemos exactamente n elementos por lo ke nos faltaria un elemento para completar el conjunto, pero sin importar ke numero elijamos para agregar al conjunto digamos "k", el numero 2k estara entre nuestros numeros ke ya elegimos, por lo ke no podemos completar el conjunto ya ke este tiene a lo sumo n elementos. Esto termina la prueba.

[brandoowin]

a que alexis..garza!!
jaja que onda..
ps esto es mas un saludo que una respuesta al problema
pero pues bien echo saludos

[S. E. Puelma Moy...]

Un argumento similar se usa para ir descartando todos los demas numeros menores que n+1.

Me gustaría que explicaras cómo es este "argumento similar". Por ejemplo, si uno supone que 3 pertenece al conjunto, no será posible incluir otro múltiplo de 3, pero todavía es posible incluir aproximadamente 2/3 de los números restantes (aproximadamente igual a 4n/3)

Creo que es necesario explicar un poco mejor este argumento.

Un saludo y bienvenido a fmat

[sí-sí el residen...]

Mi respuesta:

Sabemos que existen pares y imapres.
Ahora, de los pares, hay un primo, y de los n imapres, no son todos primos, por tanto llamaremos la cantidad de numeros primos, con un entero.

Vemos entonces que en esta sucecion hay numeros primos, que es menor que , entonces al elegir numeros , para eliminar que uno sea multiplo de otro, hay que elegir a todos los primos, al elegir a todos los primos entonces habra numeros que no son primos, y sabemos que estos numeros se pueden escribir como la multiplicacion de numeros primos. Por tanto al elegir numeros, siempre habra uno multiplo de otro

Creo que se puede hacer por palomar

Mensaje modificado por sí-sí el residente el May 15 2008, 07:58 PM

[liam_gallagher]

Mi respuesta:

Sabemos que existen pares y imapres.
Ahora, de los pares, hay un primo, y de los n imapres, no son todos primos, por tanto llamaremos la cantidad de numeros primos, con un entero.

Vemos entonces que en esta sucecion hay numeros primos, que es menor que , entonces al elegir numeros , para eliminar que uno sea multiplo de otro, hay que elegir a todos los primos, al elegir a todos los primos entonces habra numeros que no son primos, y sabemos que estos numeros se pueden escribir como la multiplicacion de numeros primos. Por tanto al elegir numeros, siempre habra uno multiplo de otro

Creo que se puede hacer por palomar

pero ahi tomaste un conjunto en especial (que es el que contiene a todos los primos que existen entre el 1 y el 2n), debes demostrar lo pedido pero para cualquier conjunto que puedas formar

[Matheus Secco]

Voy escribir en Português.Espero que entendam.

Todo número pode ser escrito da forma 2^r*a, onde esta é a maior potência de 2 que divide o número.Assim, a é ímpar e de tal forma, temos n possíveis valores para a.Como escolhemos n+1 números, pelo Princípio da Casa dos Pombos, 2 deles tem a mesma parte ímpar.Sejam eles x=2^s*a e y=2^t*a.Se supusermos sem perda de generalidade s<=t, temos que x|y, como queríamos.

Saludos !


Perdone pelo non uso de Latex.Se puderem explicar-me como usar !

PD:Esto es un problema muy coñocido.Era de se esperar que soubessem resolver.

[S. E. Puelma Moy...]

Sua resposta é correta. Acho que o fato que todo n pode-se escrever da forma , com e a ímpar, é uma dica muito boa (isso, mais o princípio das casas dos pombos, resolve o problema)

En español: todo n puede ser escrito de la forma , con y a impar. Escribiendo cada número de {1,2,...,2n} de esta forma, hay n valores posibles para a. Como son n+1 números, y n valores posibles para a, entonces... (aquí pueden usar el principio del palomar, en portugués: "princípio das casas dos pombos")

Vamos a la sección de problemas resueltos.

[Matheus Secco]

Sebastian, tú estudias en Impa?
Coñoce Yuri Lima?Él es mi entreñador.
Yo soy de Rio de Janeiro!
Saludos !

[S. E. Puelma Moy...]

Estou estudando no IMPA (segundo ano do Mestrado em Matemática). E também conheço (um pouco) o Yuri, ele está no Doutorado em Matemática. Não sabía que ele oferecia treinamento a vocês (acho que você não é o único aluno).

Se você quiser, pode continuar a conversação via "mensagens personais" (não sei dizer isso em português)

Un abraço