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Guía de Razones y Proporciones, by Killua

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 18 2006, 03:41 PM Publicado: #11
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Proporcionalidad compuesta: La proporcionalidad compuesta es la combinación de proporcionalidades directas, inversas o ambas, en la resolución de problemas. Ejemplo 1: $TEX: \noindent $9$ obreros trabajando $8$ horas diarias, pintan una casa en $12$ d\'ias. ?`Cu\'antos d\'ias demoran $18$ obreros en pintar la misma casa trabajando $6$ horas diarias?$ $TEX: \noindent Tenemos la siguiente tabla de proporcionalidad$ $TEX: \begin{tabular}{c\|c\|c\|cc}<br />& Obreros & Horas & D\'ias \\ \hline<br />& $9$ & $8$ & $12$ & \\<br />& $18$ & $6$ & $x$ & \\<br />\end{tabular}$ $TEX: \noindent Donde si analizamos los obreros y los d\'ias, tenemos que m\'as obreros se demoran menos d\'ias (proporcionalidad inversa) entonces nos queda planteada la fracci\'on $\displaystyle\frac{18}{9}$. Analizando horas con d\'ias, tenemos que con menos horas de trabajo por d\'ia, m\'as d\'ias son necesarios (proporcionalidad inversa), quedando $\displaystyle\frac{6}{8}$$ $TEX: \noindent Luego:$ $TEX: $\displaystyle\frac{18}{9}=\frac{6}{8}=\frac{12}{x}\Rightarrow\frac{18\cdot{6}}{9\cdot{8}}=\frac{12}{x}\Rightarrow\frac{3}{2}=\frac{12}{x}\Rightarrow$$ $TEX: ${3x}=2\cdot{12}$$ $TEX: $\displaystyle{x}=\frac{2\cdot{12}}{3}$$ $TEX: \noindent $\Rightarrow{x=8}$ d\'ias.$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 10 2006, 11:23 AM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Tuve leyendo toda la guía me pareció excelente jeje había una que otra propiedad que no recordaba =) con sus nombres =) según leo todavía está en construcción jeje aunque no creo que le falte mucha materia xD, yo lo único que extrañé aunque queda inplicitado y luego es asumido en la proporción compuesta, es como se resuelven los problemas de proporción inversa. jeje y bueno, eso, wen aporte . --------------------

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 11 2006, 05:31 PM Publicado: #13
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{"T\acute{e}cnica"\ para\ resolver\ problemas\ de\ Proporcionalidad\ Compuesta}$$ $TEX: \noindent Tomemos el siguiente ejemplo:$ $TEX: \noindent Si $30$ m\'aquinas tejen $2000$ metros de tela en $20$ d\'ias, ?`cu\'antas m\'aquinas iguales a las anteriores ser\'an necesarias para producir $7000$ metros de tela en $14$ d\'ias?$ $TEX: \noindent Lo primero para resolver estos problemas, es dibujar la tabla de proporcionalidad, intentando que $x$ se encuentre en la columna del centro, ?`por qu\'e?... resulta m\'as c\'omodo para analizar. Luego, analizar tomando de a dos "factores", siempre y cuando uno de ellos sea el que contiene $x$$ $TEX: \noindent Donde si analizamos metros con respecto a m\'aquinas, tenemos que m\'as m\'aquinas har\'an m\'as metros, o sea proporci\'on directa. Lo que se hace en ese caso es "tirar flechas cruzadas" desde cada una de las variables de la primera columna (ver figura). Si analizamos m\'aquinas con respecto a d\'ias, tenemos que m\'as m\'aquinas se demoran menos d\'ias, o sea, proporci\'on inversa. Lo que hacemos en este caso es "tirar flechas paralelas" desde cada una de las variables de la tercera columna (ver figura). Ahora, para calcular $x$, se procede a dividir el producto de las cantidades que no est\'an unidas por ninguna flecha a $x$, partiendo por la primera cantidad, en este caso $7000$ y siguiendo el sentido de las flechas, por el producto de las cantidades que est\'an unidas a $x$ por flechas, partiendo por $2000$ y siguiendo por el sentido de las flechas. As\'i:$ $TEX: $x=\dfrac{7000\cdot{30}\cdot{20}}{2000\cdot{14}}=\dfrac{300}{2}=\boxed{150}$$ $TEX: \noindent En general, proporci\'on directa nos dar\'a flechas cruzadas, en cambio la proporci\'on inversa flechas paralelas. Se despeja $x$ al igual que en el ejemplo.$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 16 2006, 11:38 PM Publicado: #14
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}egunda\ t\acute{e}cnica\ de\ resoluci\acute{o}n\ de\ problemas\ de\ Proporcionalidad\ Compuesta}$$ $TEX: \noindent El m\'etodo expuesto en el anterior post resulta inc\'omodo cuando se tienen m\'as de tres variables. Para facilitar la resoluci\'on de problemas con m\'as de tres variables se procede de la siguiente manera:$ $TEX: $$Ejemplo:$$<br /><br />\noindent $15$ hombres trabajando $8$ horas diarias han perforado un pozo de $400$ metros en $10$ d\'ias, ?`cu\'antos hombres ser\'an necesarios para que en $15$ d\'ias trabajando $6$ horas diarias caven los $600$ metros que faltan?<br /><br />$$\boxed{\mathcal{S}oluci\acute{o}n}$$<br /><br />\noindent Como es posible ver, en nuestro problema hay $4$ variables, lo que dificulta ocupar el primer m\'etodo. Para nuestro segundo m\'etodo, lo que haremos ser\'a ubicar la columna donde se encuentra $x$ al principio. As\'i:$ $TEX: \noindent Lo que se har\'a a continuaci\'on ser\'a, si tenemos una proporci\'on inversa, dejar los datos tal cual, pero si la proporci\'on es directa, invertiremos los valores (recordemos que, siempre analizando la columna donde est\'a $x$, en este caso $hombres$, con respecto a las dem\'as variables). Despu\'es de haber hecho esto, nos queda la siguiente tabla:$ $TEX: \noindent Luego, se procede a calcular $x$, dividiendo el producto de los valores de la primera fila, por el producto de los valores de la segunda fila (exceptuando $x$, por supuesto):<br /><br />$$x=\dfrac{15\cdot{8}\cdot{600}\cdot{10}}{6\cdot{400}\cdot{15}}=20$$<br /><br />\noindent Entonces, $20$ hombres son necesarios para cavar los $600$ metros restantes, en $10$ d\'ias, trabajando $6$ horas diarias.$ Saludos PD: ejercicios resueltos, próximamente, y terminamos esta guía -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 28 2006, 05:37 PM Publicado: #15
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ejercicios Resueltos 1. $TEX: \noindent La suma de las edades de $3$ personas es de $138$ a\~nos. Si se aumenta la edad del primero en $14$, la del segundo en $10$ y del tercero en $6$ a\~nos respectivamente, estas edades aumentadas estar\'an en la raz\'on $6:8:10$, ?`Cu\'al es la edad de la segunda persona?$ $TEX: $a)28$$ $TEX: $b)46$$ $TEX: $c)64$$ $TEX: $d)7$$ $TEX: $e)30$$ Prueba Coef. 1, 1ro Medio, Instituto Nacional ( Prof. Juan Cuevas R.) Solución: $TEX: \noindent Llamamos $x,y,z$ a las edades, luego:<br /><br />$$x+y+z=138$$<br /><br />\noindent Adem\'as, tomando que $x+14:y+10:z+6=6:8:10$, nos queda, para alg\'un $k\in\mathbb{N}$:<br /><br />$$x+14=6k$$<br />$$y+10=8k$$<br />$$z+6=10k$$<br /><br />\noindent Sumando:<br /><br />$$x+y+z+14+10+6=6k+8k+10k$$<br /><br />\noindent Como $x+y+z=138$, reemplazando:<br /><br />$$138+30=24k$$<br />$$168=24k$$<br />$$7=k$$<br /><br />\noindent Nos piden la edad de la segunda persona, o sea $y$:<br /><br />$$y+10=8k=56\Rightarrow{y}=46$$<br /><br />$$\boxed{Alternativa\ b)}$$$ 2. $TEX: \noindent Dada la proporci\'on $\dfrac{(2x-\frac{1}{2})}{(3x-\frac{1}{3})}=\dfrac{3}{2}$, determinar el valor de $\dfrac{2}{x}$$ $TEX: $a)-1$$ $TEX: $b)2$$ $TEX: $c)0$$ $TEX: $d)Indeterminado$$ $TEX: $e)n.a.$$ Prueba Coef. 1, 1ro Medio, Instituto Nacional ( Prof. Juan Cuevas R.) Solución: $TEX: \noindent Por teorema fundamental de las proporciones, tenemos:<br /><br />$$\left(2x-\dfrac{1}{2}\right)\cdot{2}=3\cdot\left(3x-\dfrac{1}{3}\right)$$<br />$$4x-1=9x-1$$<br />$$4x=9x$$<br />$$x=0$$<br /><br />\noindent Luego, $\dfrac{2}{0}$ est\'a indeterminada (no est\'a permitido dividir por $0$)<br /><br />$$\boxed{Alternativa\ d)}$$$ 3. $TEX: \noindent Si de tu casa al colegio te demoras $20$ minutos y el auto viene a una velocidad de $50km/h$, si sales de tu casa a las $7:30$ h., ?`a qu\'e hora llegar\'as al colegio si el auto viene a $40km/h$?$ $TEX: $a)7:50$$ $TEX: $b)7:55$$ $TEX: $c)8:00$$ $TEX: $d)8:05$$ $TEX: $e)n.a.$$ Prueba Coef. 1, 1ro Medio, Instituto Nacional ( Prof. Juan Cuevas R.) Solución: $TEX: \noindent Podemos observar que se trata de proporcionalidad inversa; haciendo la tabla:$ $TEX: \noindent Luego:<br /><br />$$x=\dfrac{20\cdot{50}}{40}=25$$<br /><br />\noindent O sea, se demora $25$ minutos, entonces llego a las $7:55$<br /><br />$$\boxed{Alternativa\ b)}$$$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Pily Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 17 2006, 04:57 PM Publicado: #16
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 365 Registrado: 27-May 05 Desde: Puente Asalto, Santiago Miembro Nº: 68 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Gracias por la guía de proporcionalidad... en particular agradezco la parte de la proporc. compuesta, no recordaba cómo se desarrollaban ese tipo de problemas.. y buscando, me encontré con que aquí estaba más que explicado. Gracias! --------------------

Matamo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 15 2007, 09:51 PM Publicado: #17
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 184 Registrado: 1-March 06 Desde: Santiago Miembro Nº: 591 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	en 4º medio y leyendola.. esta muy buena gracias --------------------

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 16 2007, 06:23 PM Publicado: #18
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Yap, agradezco sus agradecimientos, y que bueno que les sirva, lo que me dice que hice un buen trabajo. Doy por terminada la guía, que hace tiempo estaba lista, aunque le faltaron algunos ejercicios resueltos, tal vez más adelante la refuerce Saludos PD: hago mención a mi profesor de 7mo a 1ro, el señor Juan Cuevas, del IN, que tal vez alguna vez lea esto, esta guía es gracias a él . También a Kenshin, que me facilitó un material muy útil, con lo que reforcé la guía -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Nia Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 19 2007, 08:22 PM Publicado: #19
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 8-March 07 Miembro Nº: 4.387 Nacionalidad: Sexo:	al ir leyendola me fuí dando cuenta que la mayoria se me había olvidado la cuestión olvidadiza de verdad super bueno esto te felicito por haber hecho que esto entrara nuevamente a mi cabeza...

Camila_Espinoza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 15 2007, 06:40 PM Publicado: #20
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 90 Registrado: 2-November 05 Desde: Quillon , chile Miembro Nº: 358 Nacionalidad: Sexo:	Uy se pasaron , encerio!!!! son mi salvacion , de veras q esta pagina es muy buena ! encontre por fin (perdonando la palabra) la maldita! proporcion compuesta!!! , la habia buscado por cielo mar y tierra y ninguna parte estaba tan bien explicada como aqui.... y eso pu , gracias , se merecen grax!

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