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Guía de Razones y Proporciones, by Killua

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 25 2006, 11:39 AM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Razones y proporciones Razón: es el cuociente entre dos cantidades, se define $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}$$ y se lee "a es a b", en donde a es antecedente y b es consecuente. Proporción: es la equivalencia de dos razones, se define $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ y se lee "a es a b como c es a d", en donde $TEX: $a\wedge{d}$$ son términos extremos y $TEX: $b\wedge{c}$$ términos medios. Teorema fundamental de las proporciones En toda proporción el producto de los términos extremos equivale al producto de los términos medios. Si $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow{ad=bc}$$ Demostración: $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}/\cdot{bd}$$ $TEX: $da=cb$$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 25 2006, 11:50 AM Publicado: #2
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Propiedades de una razón: a) Hacer mayor $TEX: $n$$ veces una razón: Se multiplica por $TEX: $n$$ su antecedente o se divide su consecuente por $TEX: $n$$ $TEX: $\displaystyle\frac{a\cdot{n}}{b}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b\div{n}}$$ b) Hacer menor $TEX: $n$$ veces una razón: Se divide su antecedente por $TEX: $n$$ o se multiplica su consecuente por $TEX: $n$$ $TEX: $\displaystyle\frac{a\div{n}}{b}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b\cdot{n}}$$ c) Amplificar una razón: Se deben multiplicar los dos términos de la razón por un mismo número. La amplificación nos permite transformar una razón de términos fraccionarios en otra de términos enteros. Ejemplo: $TEX: $\displaystyle\frac{a\cdot{t}}{b\cdot{t}}$$ ; sean $TEX: $\displaystyle{a}=\frac{7}{8}\wedge{b}=\frac{5}{6}$$ Primero se obtiene el $TEX: $MCM$$ de $TEX: 8 y 6$ , que es $TEX: $24$$ y se multiplica con cada uno de los términos de la razón. $TEX: $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{7}{8}\cdot{24}}{\displaystyle\frac{5}{6}\cdot{24}}\Rightarrow\frac{\displaystyle\frac{168}{8}}{\displaystyle\frac{120}{6}}=\frac{21}{20}$$ d) Simplificar una razón: Se dividen los dos términos de la razón por un mismo número. La simplificación permite trabajar con números más pequeños. Ejemplo: $TEX: $\displaystyle\frac{a\div{t}}{b\div{t}}$$ ; sean $TEX: $a=4\wedge{b}=6$$ $TEX: $\displaystyle\frac{4\div{2}}{6\div{2}}=\frac{2}{3}$$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 25 2006, 02:02 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Propiedades de las proporciones: Es posible, dada la proporción $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ determinar otras proporciones de acuerdo a las siguientes propiedades: Prop. 1 Alternar términos extremos Si $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$ Demostración: $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ $TEX: $ad=bc$$ (teorema fundamental) $TEX: $\displaystyle{ad=bc}/\cdot\frac{1}{ab}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$ Ejemplo: $TEX: $\displaystyle\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\Rightarrow\frac{4}{2}=\frac{2}{1}$$ Prop. 2 Alternar términos medios Si $TEX: $\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}}$$ Demostración: $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$ $TEX: $ad=bc$$ (teorema fundamental) $TEX: $\displaystyle{ad=bc}/\cdot\frac{1}{dc}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$ Ejemplo: $TEX: $\displaystyle\frac{2}{3}=\frac{6}{9}\Rightarrow\frac{2}{6}=\frac{3}{9}$$ Prop. 3 Permutando la proporción Si $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$$ Demostración: $TEX: $ad=bc$$ (teorema fundamental) $TEX: $\displaystyle{ad=bc}/\cdot\frac{1}{abcd}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{1}{bc}=\frac{1}{ad}/()^{-1}$$ (elevado a -1 por si no se entiende) $TEX: $\displaystyle{bc=ad}/\cdot\frac{1}{bd}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$$ (pudo parecer tonto haber demostrado esta propiedad, pero es lo extrictamente matemático) -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 25 2006, 05:11 PM Publicado: #4
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Prop. 4 Invirtiendo las razones Si $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$$ Demostración: $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}/()^{-1}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$$ Ejemplo: $TEX: $\displaystyle\frac{3}{5}=\frac{6}{10}\Rightarrow\frac{5}{3}=\frac{10}{6}$$ Prop. 5 Componiendo la proporción con respecto al consecuente Si $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$ Demostración: $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}/+1$$ $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{c}{d}+\frac{d}{d}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$ Ejemplo: $TEX: $\displaystyle\frac{1}{3}=\frac{4}{12}\Rightarrow\frac{4}{3}=\frac{16}{12}$$ Prop. 6 Componiendo la proporción con respecto al antecedente Si $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}$$ Demostración: $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}/()^{-1}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{b}{a}=\frac{d}{c}/+1$$ $TEX: $\displaystyle\frac{b}{a}+\dfrac{a}{a}=\frac{d}{c}+\frac{c}{c}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}$$ Ejemplo: $TEX: $\displaystyle\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\Rightarrow\frac{7}{3}=\frac{21}{9}$$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 25 2006, 06:43 PM Publicado: #5
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Prop. 7 Descomponiendo la proporción con respecto al consecuente. Si $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$ Demostración: $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}/-1$$ $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}-\frac{b}{b}=\frac{c}{d}-\frac{d}{d}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$ Ejemplo: $TEX: $\displaystyle\frac{1}{5}=\frac{2}{10}\Rightarrow\frac{-4}{5}=\frac{-8}{10}$$ Prop. 8 Descomponiendo la proporción con respecto al antecedente Si $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}$$ Demostración: $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}/()^{-1}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{b}{a}=\frac{d}{c}/-1$$ $TEX: $\displaystyle\frac{b-a}{a}=\frac{d-c}{c}/\cdot{-1}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}$$ Ejemplo: $TEX: $\displaystyle\frac{3}{4}=\frac{15}{20}\Rightarrow\frac{-1}{3}=\frac{-5}{15}$$ Prop. 9 Componer y descomponer a la vez Si $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$$ Demostración: Sabemos que: $TEX: $\displaystyle\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}$$ (prop. 6) y: $TEX: $\displaystyle\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}$$ (prop. 8) Luego: $TEX: $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a+b}{a}}{\displaystyle\frac{a-b}{a}}=\frac{\displaystyle\frac{c+d}{c}}{\displaystyle\frac{c-d}{c}}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$$ Ejemplo: $TEX: $\displaystyle\frac{2}{5}=\frac{4}{10}\Rightarrow\frac{7}{-3}=\frac{14}{-6}$$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2006, 02:55 PM Publicado: #6
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{\mathcal{P}roporci\acute{o}n\ discontinua}$$ Es aquella proporción en donde los términos medios y los términos extremos son distintos. $TEX: \noindent Si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, $a\neq{b}\neq{c}\neq{d}$$ Cada elemento de la proporción se denomina $TEX: $cuarta\ proporcional\ geom\acute{e}trica\ (4^oP.G.)$$ Luego: $TEX: \noindent $a$ es $4^oP.G.$ entre $b,c\wedge{d}\Longrightarrow{a}=\dfrac{bc}{d}$$ $TEX: \noindent $b$ es $4^oP.G.$ entre $a,d\wedge{c}\Longrightarrow{b}=\dfrac{ad}{c}$$ $TEX: \noindent $c$ es $4^oP.G.$ entre $a,b\wedge{d}\Longrightarrow{c}=\dfrac{ad}{b}$$ $TEX: \noindent $d$ es $4^oP.G.$ entre $a,b\wedge{c}\Longrightarrow{d}=\dfrac{bc}{a}$$ Ejemplo $TEX: \noindent Determinar la $4^oP.G.$ entre $2,8\wedge{12}$$ Solución: Notemos que son tres los valores posibles de la cuarta proporcional geométrica, estos son, dadas las posibles proporciones (se omiten las proporciones que entregan el mismo resultado que las que a continuación se presentan) $TEX: $\dfrac{x}{8}=\dfrac{12}{2}\Rightarrow{x}=48$$ $TEX: $\dfrac{2}{x}=\dfrac{12}{8}\Rightarrow{x}=\dfrac{4}{3}$$ $TEX: $\dfrac{2}{x}=\dfrac{8}{12}\Rightarrow{x}=3$$ $TEX: $\boxed{\mathcal{P}roporci\acute{o}n\ continua}$$ Es aquella en donde se repite el término medio de la proporción, es decir $TEX: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$$ Cada término extremo de la proporción se denomina $TEX: $tercera\ proporcional\ geom\acute{e}trica\ (3^oP.G.)$$ Luego: $TEX: \noindent $a$ es $3^oP.G.$ entre $b\wedge{c}\Longrightarrow{a}=\dfrac{b^2}{c}$$ $TEX: \noindent $c$ es $3^oP.G.$ entre $a\wedge{b}\Longrightarrow{c}=\dfrac{b^2}{a}$$ Ejemplo: $TEX: \noindent Determinar la $3^oP.G.$ entre $4\wedge{10}$$ Solución: Notemos que son dos los valores posibles para la tercera proporcional geométrica, estos son, dadas las posibles proporciones (se omiten las proporciones que entregan el mismo resultado que las que a continuación se presentan) $TEX: $\dfrac{4}{10}=\dfrac{10}{x}\Rightarrow{x}=25$$ $TEX: $\dfrac{10}{4}=\dfrac{4}{x}\Rightarrow{x}=\dfrac{8}{5}$$ En la proporción continua $TEX: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$$ , $TEX: $b$$ es $TEX: $media\ proporcional\ geom\acute{e}trica\ \left(\dfrac{1}{2}P.G.\right)$$ entre $TEX: $a\wedge{c},\Longrightarrow{b^2}=ac\Longrightarrow{b}=\sqrt{ac}$$ Ejemplo: $TEX: \noindent Determinar la $\dfrac{1}{2}P.G.$ entre $16\wedge{4}$$ Solución: Notemos que el valor de la media proporcional geométrica es único. $TEX: $\dfrac{16}{x}=\dfrac{x}{4}\Rightarrow{x}=8$$ Mensaje modificado por Killua el Nov 19 2006, 07:07 PM -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 25 2006, 04:32 PM Publicado: #7
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Serie de razones $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}$$ recibe el nombre de razón. $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ recibe el nombre de proporción. $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}...$$ recibe el nombre de serie de razones. En una serie de razones se cumple que si $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\Rightarrow{a:c:e=b:d:f}$$ Además, si $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k(constante)\Rightarrow\frac{a}{b}=k,\frac{c}{d}=k,\frac{e}{f}=k$$ En una serie de razones la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es a su consecuente. Si $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\Rightarrow{a:c:e=b:d:f}\Rightarrow\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$$ $TEX: $\boxed{\mathcal{D}emostraci\acute{o}n}$$ $TEX: \noindent Sabemos que:<br /><br />$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=k$$<br /><br />\noindent Luego:<br /><br />$$\dfrac{a}{b}=k\Rightarrow{a}=kb$$<br />$$\dfrac{c}{d}=k\Rightarrow{c}=kd$$<br />$$\dfrac{e}{f}=k\Rightarrow{e}=kf$$<br /><br />\noindent Por lo tanto:<br /><br />$$a+c+e=kb+kd+kf$$<br />$$a+c+e=k(b+d+f)$$<br />$$\dfrac{a+c+e}{b+d+f}=k=\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}$$<br /><br />$$q.e.d.$$$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 25 2006, 04:55 PM Publicado: #8
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Proporcionalidad directa: Dos variables $TEX: $x$$ e $TEX: $y$$ , son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante. $TEX: $\displaystyle\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}=\ldots=\frac{x_n}{y_n}=k$$ Así por ejemplo, en la siguiente tabla, las cantidades ubicadas en la fila A y B son directamente proporcionales: Por lo tanto se deduce que: $TEX: $\displaystyle\frac{x}{y}=\frac{1}{3}$$ Observaciones: 1. En una proporción directa, si una cantidad aumenta o disminuye $TEX: $n$$ veces, la otra aumenta o disminuye el mismo número de veces. 2. El gráfico de una proporcionalidad directa correponde a una línea recta que pasa por el origen. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 2 2006, 04:50 PM Publicado: #9
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Proporcionalidad inversa: Dos variables, $TEX: $x$$ e $TEX: $y$$ , son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante. $TEX: $x_1\cdot{y}_1=x_2\cdot{y}_2=x_3\cdot{y}_3=\ldots=x_n\cdot{y}_n=k$ ,k= constante$ Así por ejemplo, en la siguiente tabla, las cantidades ubicadas en las filas A y B son inversamente proporcionales. Por lo tanto se deduce que $TEX: $x\cdot{y}=30$$ Observaciones: 1. En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) $TEX: $n$$ veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo número de veces (de ahí la denominación de proporcionalidad inversa) 2. El gráfico de una proporcionalidad inversa es una hipérbola. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Michael Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 10 2006, 06:35 PM Publicado: #10
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 23 Registrado: 10-April 06 Desde: En kualkier parte Miembro Nº: 816	gracias....... leyendo... un profe me recomendo esta pagina.. y esta super buena... parece que me voi a quedar bastante tiempo por aqui... hasta fin de año.... -------------------- SI A LAS FINALES TODOS SOMOS CRESPOS O NO?

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