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> Guía de Razones y Proporciones, by Killua
Killua
mensaje Feb 25 2006, 11:39 AM
Publicado: #1


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Razones y proporciones

Razón: es el cuociente entre dos cantidades, se define TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}$ y se lee "a es a b", en donde a es antecedente y b es consecuente.

Proporción: es la equivalencia de dos razones, se define TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ y se lee "a es a b como c es a d", en donde TEX: $a\wedge{d}$ son términos extremos y TEX: $b\wedge{c}$ términos medios.

Teorema fundamental de las proporciones

En toda proporción el producto de los términos extremos equivale al producto de los términos medios.

Si TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow{ad=bc}$

Demostración:


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Killua
mensaje Feb 25 2006, 11:50 AM
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Propiedades de una razón:

a) Hacer mayor TEX: $n$ veces una razón: Se multiplica por TEX: $n$ su antecedente o se divide su consecuente por TEX: $n$

TEX: $\displaystyle\frac{a\cdot{n}}{b}$

TEX: $\displaystyle\frac{a}{b\div{n}}$

b) Hacer menor TEX: $n$ veces una razón: Se divide su antecedente por TEX: $n$ o se multiplica su consecuente por TEX: $n$

TEX: $\displaystyle\frac{a\div{n}}{b}$

TEX: $\displaystyle\frac{a}{b\cdot{n}}$

c) Amplificar una razón: Se deben multiplicar los dos términos de la razón por un mismo número. La amplificación nos permite transformar una razón de términos fraccionarios en otra de términos enteros.

Ejemplo:

TEX: $\displaystyle\frac{a\cdot{t}}{b\cdot{t}}$ ; sean TEX: $\displaystyle{a}=\frac{7}{8}\wedge{b}=\frac{5}{6}$

Primero se obtiene el TEX: $MCM$ de TEX: 8 y 6, que es TEX: $24$ y se multiplica con cada uno de los términos de la razón.

TEX: $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{7}{8}\cdot{24}}{\displaystyle\frac{5}{6}\cdot{24}}\Rightarrow\frac{\displaystyle\frac{168}{8}}{\displaystyle\frac{120}{6}}=\frac{21}{20}$

d) Simplificar una razón: Se dividen los dos términos de la razón por un mismo número. La simplificación permite trabajar con números más pequeños.

Ejemplo:

TEX: $\displaystyle\frac{a\div{t}}{b\div{t}}$ ; sean TEX: $a=4\wedge{b}=6$

TEX: $\displaystyle\frac{4\div{2}}{6\div{2}}=\frac{2}{3}$


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Killua
mensaje Feb 25 2006, 02:02 PM
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Propiedades de las proporciones:

Es posible, dada la proporción TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ determinar otras proporciones de acuerdo a las siguientes propiedades:

Prop. 1 Alternar términos extremos

Si TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$

Demostración:


Ejemplo:

TEX: $\displaystyle\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\Rightarrow\frac{4}{2}=\frac{2}{1}$

Prop. 2 Alternar términos medios

Si TEX: $\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}}$

Demostración:



Ejemplo:

TEX: $\displaystyle\frac{2}{3}=\frac{6}{9}\Rightarrow\frac{2}{6}=\frac{3}{9}$

Prop. 3 Permutando la proporción

Si TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$

Demostración:



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mensaje Feb 25 2006, 05:11 PM
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Prop. 4 Invirtiendo las razones

Si TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$

Demostración:


Ejemplo:

TEX: $\displaystyle\frac{3}{5}=\frac{6}{10}\Rightarrow\frac{5}{3}=\frac{10}{6}$

Prop. 5 Componiendo la proporción con respecto al consecuente

Si TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$

Demostración:


Ejemplo:

TEX: $\displaystyle\frac{1}{3}=\frac{4}{12}\Rightarrow\frac{4}{3}=\frac{16}{12}$

Prop. 6 Componiendo la proporción con respecto al antecedente

Si TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}$

Demostración:



Ejemplo:

TEX: $\displaystyle\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\Rightarrow\frac{7}{3}=\frac{21}{9}$


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Killua
mensaje Feb 25 2006, 06:43 PM
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Prop. 7 Descomponiendo la proporción con respecto al consecuente.

Si TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$

Demostración:



Ejemplo:

TEX: $\displaystyle\frac{1}{5}=\frac{2}{10}\Rightarrow\frac{-4}{5}=\frac{-8}{10}$

Prop. 8 Descomponiendo la proporción con respecto al antecedente

Si TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}$

Demostración:


Ejemplo:

TEX: $\displaystyle\frac{3}{4}=\frac{15}{20}\Rightarrow\frac{-1}{3}=\frac{-5}{15}$

Prop. 9 Componer y descomponer a la vez

Si TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$

Demostración:



Ejemplo:

TEX: $\displaystyle\frac{2}{5}=\frac{4}{10}\Rightarrow\frac{7}{-3}=\frac{14}{-6}$


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mensaje Mar 11 2006, 02:55 PM
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TEX: $\boxed{\mathcal{P}roporci\acute{o}n\ discontinua}$

Es aquella proporción en donde los términos medios y los términos extremos son distintos.

TEX: \noindent Si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, $a\neq{b}\neq{c}\neq{d}$

Cada elemento de la proporción se denomina TEX: $cuarta\ proporcional\ geom\acute{e}trica\ (4^oP.G.)$

Luego:

TEX: \noindent $a$ es $4^oP.G.$ entre $b,c\wedge{d}\Longrightarrow{a}=\dfrac{bc}{d}$

TEX: \noindent $b$ es $4^oP.G.$ entre $a,d\wedge{c}\Longrightarrow{b}=\dfrac{ad}{c}$

TEX: \noindent $c$ es $4^oP.G.$ entre $a,b\wedge{d}\Longrightarrow{c}=\dfrac{ad}{b}$

TEX: \noindent $d$ es $4^oP.G.$ entre $a,b\wedge{c}\Longrightarrow{d}=\dfrac{bc}{a}$

Ejemplo

TEX: \noindent Determinar la $4^oP.G.$ entre $2,8\wedge{12}$

Solución: Notemos que son tres los valores posibles de la cuarta proporcional geométrica, estos son, dadas las posibles proporciones (se omiten las proporciones que entregan el mismo resultado que las que a continuación se presentan)

TEX: $\dfrac{x}{8}=\dfrac{12}{2}\Rightarrow{x}=48$

TEX: $\dfrac{2}{x}=\dfrac{12}{8}\Rightarrow{x}=\dfrac{4}{3}$

TEX: $\dfrac{2}{x}=\dfrac{8}{12}\Rightarrow{x}=3$

TEX: $\boxed{\mathcal{P}roporci\acute{o}n\ continua}$

Es aquella en donde se repite el término medio de la proporción, es decir TEX: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$

Cada término extremo de la proporción se denomina TEX: $tercera\ proporcional\ geom\acute{e}trica\ (3^oP.G.)$

Luego:

TEX: \noindent $a$ es $3^oP.G.$ entre $b\wedge{c}\Longrightarrow{a}=\dfrac{b^2}{c}$

TEX: \noindent $c$ es $3^oP.G.$ entre $a\wedge{b}\Longrightarrow{c}=\dfrac{b^2}{a}$

Ejemplo:

TEX: \noindent Determinar la $3^oP.G.$ entre $4\wedge{10}$

Solución: Notemos que son dos los valores posibles para la tercera proporcional geométrica, estos son, dadas las posibles proporciones (se omiten las proporciones que entregan el mismo resultado que las que a continuación se presentan)

TEX: $\dfrac{4}{10}=\dfrac{10}{x}\Rightarrow{x}=25$

TEX: $\dfrac{10}{4}=\dfrac{4}{x}\Rightarrow{x}=\dfrac{8}{5}$

En la proporción continua TEX: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$, TEX: $b$ es TEX: $media\ proporcional\ geom\acute{e}trica\ \left(\dfrac{1}{2}P.G.\right)$ entre TEX: $a\wedge{c},\Longrightarrow{b^2}=ac\Longrightarrow{b}=\sqrt{ac}$

Ejemplo:

TEX: \noindent Determinar la $\dfrac{1}{2}P.G.$ entre $16\wedge{4}$

Solución: Notemos que el valor de la media proporcional geométrica es único.

TEX: $\dfrac{16}{x}=\dfrac{x}{4}\Rightarrow{x}=8$

Mensaje modificado por Killua el Nov 19 2006, 07:07 PM


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Killua
mensaje Mar 25 2006, 04:32 PM
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Serie de razones

TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}$ recibe el nombre de razón.

TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ recibe el nombre de proporción.

TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}...$ recibe el nombre de serie de razones.

En una serie de razones se cumple que si TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\Rightarrow{a:c:e=b:d:f}$

Además, si TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k(constante)\Rightarrow\frac{a}{b}=k,\frac{c}{d}=k,\frac{e}{f}=k$

En una serie de razones la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es a su consecuente.

Si TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\Rightarrow{a:c:e=b:d:f}\Rightarrow\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$

TEX: $\boxed{\mathcal{D}emostraci\acute{o}n}$



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mensaje Mar 25 2006, 04:55 PM
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Proporcionalidad directa:

Dos variables TEX: $x$ e TEX: $y$, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante.

TEX: $\displaystyle\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}=\ldots=\frac{x_n}{y_n}=k$

Así por ejemplo, en la siguiente tabla, las cantidades ubicadas en la fila A y B son directamente proporcionales:



Por lo tanto se deduce que:

TEX: $\displaystyle\frac{x}{y}=\frac{1}{3}$

Observaciones:

1. En una proporción directa, si una cantidad aumenta o disminuye TEX: $n$ veces, la otra aumenta o disminuye el mismo número de veces.

2. El gráfico de una proporcionalidad directa correponde a una línea recta que pasa por el origen.



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Killua
mensaje Apr 2 2006, 04:50 PM
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Proporcionalidad inversa:

Dos variables, TEX: $x$ e TEX: $y$, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante.

TEX: $x_1\cdot{y}_1=x_2\cdot{y}_2=x_3\cdot{y}_3=\ldots=x_n\cdot{y}_n=k$ ,k= constante

Así por ejemplo, en la siguiente tabla, las cantidades ubicadas en las filas A y B son inversamente proporcionales.



Por lo tanto se deduce que TEX: $x\cdot{y}=30$

Observaciones:

1. En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) TEX: $n$ veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo número de veces (de ahí la denominación de proporcionalidad inversa)

2. El gráfico de una proporcionalidad inversa es una hipérbola.



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Michael
mensaje Apr 10 2006, 06:35 PM
Publicado: #10


Principiante Matemático Destacado
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gracias....... leyendo...

un profe me recomendo esta pagina.. y esta super buena...
parece que me voi a quedar bastante tiempo por aqui...
hasta fin de año....


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SI A LAS FINALES
TODOS SOMOS CRESPOS O NO?
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