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> Propuesto Dattebayo, derivada-ttebayo!
2.718281828
mensaje Apr 30 2008, 12:05 AM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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TEX:  sea $$<br />f(x) = \frac{1}<br />{{2n^2 }}\left( {\frac{x}<br />{{x^2  + n^2 }} + \frac{1}<br />{n}\arctan \left( {\frac{x}<br />{n}} \right)} \right)<br />$$<br />halle $n$ tal que $f'(0)=81$


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Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
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rebliw01
mensaje May 5 2008, 11:30 PM
Publicado: #2


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TEX: n=1/3



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2.718281828
mensaje Sep 17 2021, 11:34 PM
Publicado: #3


Dios Matemático Supremo
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Sin derivar... tanto:

Usaremos el siguiente principio, si x es pequeño: TEX: $f(x)=f(0)+f'(0)x+O(x^2)$, bastará con una pequeña linealización de la funcion. Solo bastara derivar el arcotangente

Usemos la serie TEX: $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+...$ valida para toda $|x| \in [0,1[$.
De lo anterior TEX: $\frac{x}{x^2+n^2}=\frac{(x/n)}{1+(x/n)^2}\times \frac 1n=\frac{1}{n}(\frac{x}{n})+O(x^3)$
Por otro lado TEX: $(\arctan (x))'=\frac{1}{1+x^2}$, de donde es facil ver que si x es pequeño, mediante taylor de primer orden: TEX: $\arctan x=x+O(x^3)$,

Luego, si x es pequeño:

TEX: $$f(x)=\frac{1}{2n^2}(\frac{x}{n^2}+O(x^3)+\frac{x}{n^2}+O(x^3)=\frac{x}{n^4}+O(x^3)$$
Lo que significa que TEX: $f'(0)=\frac{1}{n^4}=81$ y de ahi TEX: $n=1/3$

Saludos
Claudio.


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Claudio Henriquez Tapia
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