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Busque el parámetro

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master_c	Apr 7 2013, 05:41 PM Publicado: #11
Invitado	CITA(Krizalid @ Apr 27 2008, 02:59 PM) Para $TEX: $\alpha>0$$ y $TEX: $\beta<1,$$ evalúe $TEX: $$\int_{0}^{\pi/2}{2\sec x\cdot \ln \left( \frac{1+\beta \cos x}{1+\alpha \cos x} \right)\,dx}.$$$ a ver como me va $TEX: $$<br />F\left( {\alpha ,\beta } \right) = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {\sec x\ln \left( {\frac{{1 + \beta \cos x}}<br />{{1 + \alpha \cos x}}} \right)dx} = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {\ln \left( {1 + \beta \cos x} \right)\frac{{dx}}<br />{{\cos x}}} - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {\ln \left( {1 + \alpha \cos x} \right)\frac{{dx}}<br />{{\cos x}}} <br />$$$ $TEX: $$<br /> = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {\ln \left( {1 + \beta \cos x} \right)\frac{{dx}}<br />{{\cos x}}} - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {\ln \left( {1 + \alpha \cos x} \right)\frac{{dx}}<br />{{\cos x}}} <br />$$$ vale calcular solo una pues solo cambia el parametro, entonces $TEX: $$<br />K\left( \beta \right) = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {\ln \left( {1 + \beta \cos x} \right)\frac{{dx}}<br />{{\cos x}}} <br />$$$ teniendo en cuenta algo del posteo de abukhalil poniendo $TEX: $$<br />k = \tan \frac{x}<br />{2} \Rightarrow dt = \frac{2}<br />{{1 + k^2 }}dt<br />$$$ $TEX: $$<br />K\left( \beta \right) = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {\ln \left( {1 + \beta \cos x} \right)\frac{{dx}}<br />{{\cos x}}} = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {\int\limits_\alpha ^\beta {\frac{{dydx}}<br />{{1 + y\cos x}}} } = 2\int\limits_\alpha ^\beta {\int\limits_0^1 {\frac{1}<br />{{1 + y\left( {\frac{{1 - k^2 }}<br />{{1 + k^2 }}} \right)}}\frac{{2dkdy}}<br />{{1 + k^2 }}} } <br />$$$ $TEX: $$<br /> = 4\int\limits_\alpha ^\beta {\int\limits_0^1 {\frac{{dkdy}}<br />{{1 + y + \left( {1 - y} \right)k^2 }}} } = 4\int\limits_\alpha ^\beta {\int\limits_0^1 {\frac{1}<br />{{1 - y}}\frac{{dkdy}}<br />{{\left( {\sqrt {\frac{{1 + y}}<br />{{1 - y}}} } \right)^2 + k^2 }}} } <br />$$$ $TEX: $$<br /> = 4\int\limits_\alpha ^\beta {\left( {\frac{1}<br />{{1 - y}}\frac{{\arctan \left( {\frac{k}<br />{{\sqrt {\frac{{1 + y}}<br />{{1 - y}}} }}} \right)}}<br />{{\left( {\sqrt {\frac{{1 + y}}<br />{{1 - y}}} } \right)}}} \right)\left\| {_0^1 dy} \right.} = 4\int\limits_\alpha ^\beta {\frac{1}<br />{{1 - y}}\sqrt {\frac{{1 - y}}<br />{{1 + y}}} \arctan \left( {\sqrt {\frac{{1 - y}}<br />{{1 + y}}} } \right)dy} <br />$$$ usando la identidad $TEX: $$\arccos \theta = 2\arctan \frac{{\sqrt {1 - \theta ^2 } }}{{1 + \theta }}$$$ valida $TEX: $$\forall \theta \in \left( { - 1,1} \right]$$$ entonces $TEX: $$<br /> = 2\int\limits_\alpha ^\beta {\sqrt {\frac{1}<br />{{1 - y^2 }}} \arccos ydy} = 2\int\limits_\alpha ^\beta {\frac{{\arccos y}}<br />{{\sqrt {1 - y^2 } }}dy} \underbrace = _{\arccos y = \theta } - 2\int\limits_{\arccos \alpha }^{\arccos \beta } {\theta d\theta } = \arccos ^2 \alpha - \arccos ^2 \beta <br />$$$

Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2020, 06:21 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Si se deriva respecto al parámetro, se llega al mismo resultado

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