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Busque el parámetro

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「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 27 2008, 02:59 PM Publicado: #1
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Para $TEX: $\alpha>0$$ y $TEX: $\beta<1,$$ evalúe $TEX: $$\int_{0}^{\pi/2}{2\sec x\cdot \ln \left( \frac{1+\beta \cos x}{1+\alpha \cos x} \right)\,dx}.$$$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 29 2009, 11:15 AM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Hint: ¿qué integral representa la función $TEX: $f(x)=\sec(x)\ln\dfrac{1+\beta\cos x}{1+\alpha\cos x}$$ ? (Exprese su respuesta en términos de arcocoseno.)

Mau_map Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 10 2012, 01:58 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 247 Registrado: 11-December 08 Miembro Nº: 40.674 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Calculé por L'Hopital $$\lim_{y\rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(sec(y)ln\left(\frac{1+\beta cos(y)}{1+\alpha cos(y)}\right)\right)=\beta - \alpha$$ \\ Entonces $$sec(x)ln\left(\frac{1+\beta cos(x)}{1+\alpha cos(x)}\right)=\int_{\frac{\pi}{2}}^{x}\frac{d}{dy}\left(sec(y)ln\left(\frac{1+\beta cos(y)}{1+\alpha cos(y)}\right)\right)dy-(\alpha -\beta)$$ \\ Llamando I a la integral que quiero calcular: $$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\int_{\frac{\pi}{2}}^{x}\frac{d}{dy}\left(sec(y)ln\left(\frac{1+\beta cos(y)}{1+\alpha cos(y)}\right)\right)dy-(\alpha -\beta)\right]dx$$<br /><br />$$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\frac{\pi}{2}}^{x}\frac{d}{dy}\left(sec(y)ln\left(\frac{1+\beta cos(y)}{1+\alpha cos(y)}\right)\right)dydx-(\alpha-\beta)\frac{\pi}{2}$$<br /><br />$$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{y}\frac{d}{dy}\left(sec(y)ln\left(\frac{1+\beta cos(y)}{1+\alpha cos(y)}\right)\right)dxdy-(\alpha-\beta)\frac{\pi}{2}$$<br /><br />$$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d}{dy}\left(sec(y)ln\left(\frac{1+\beta cos(y)}{1+\alpha cos(y)}\right)\right)ydy-(\alpha-\beta)\frac{\pi}{2}$$<br /><br />$$\left. I= ysec(y)ln\left(\frac{1+\beta cos(y)}{1+\alpha cos(y)}\right)\right\| _{y=0}^{y=\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sec(y)ln\left(\frac{1+\beta cos(y)}{1+\alpha cos(y)}\right)dy-(\alpha-\beta)\frac{\pi}{2}$$<br /><br />$$ 2I=-(\alpha-\beta )\frac{\pi}{2}-(\alpha-\beta)\frac{\pi}{2}$$<br /><br />$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2sec(x)ln\left(\frac{1+\beta cos(x)}{1+\alpha cos(x)}\right)dx=\pi (\beta-\alpha )$$<br /><br />$ No utilicé la inversa del coseno :/ Mensaje modificado por Mau_map el Feb 10 2012, 01:59 PM

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 10 2012, 02:03 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	La respuesta no es correcta. Está bien la idea de construir la integral doble (de hecho eso es lo que hay que hacer), pero no con la derivada, en realidad tienes que obtener una integral que produzca el integrando y luego cambiar el orden de integración.

Mau_map Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 10 2012, 02:06 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 247 Registrado: 11-December 08 Miembro Nº: 40.674 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	donde me equivoque? lo revise varias veces :/

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 10 2012, 03:57 PM Publicado: #6
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Tampoco veo el error, creo que lo veré más tarde pero prueba calculando algunos valores simples, verás que difieren de la respuesta original. ------ Ya, encontré tu error, es cuando reviertes el orden de integración.

Mau_map Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 11 2012, 01:28 AM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 247 Registrado: 11-December 08 Miembro Nº: 40.674 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	toda la razón, la integral de x debería ir de y a 0, o sea me comí un signo menos :/ todo malo xd gracias. Mensaje modificado por Mau_map el Feb 11 2012, 01:38 AM

kkcoro3 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 11 2012, 01:34 AM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 354 Registrado: 2-April 11 Desde: Temuco Miembro Nº: 86.120 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	yo tampoco....seguire revisando! -------------------- $TEX: Suerte y Éxito. Nos vemos.$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 11 2012, 02:51 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Tenemos que<br />$$\int_0^{\frac\pi 2}\frac 12\sec x\log\left(\frac{1+\beta\cos x}{1+\alpha\cos x}\right)dx=\int_0^{\frac\pi 2}\int_\alpha^\beta\frac{dydx}{2(1+y\cos x)}dydx.$$<br />Dadas las restricciones para $\alpha$ y $\beta$, el integrando es positivo y por ende, aplica Fubini. Si además hacemos el cambio <br />$$u=\tan \frac x2=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\Rightarrow \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}\quad\land\quad \frac{du}{1+u^2}=\frac{dx}2,$$<br />concluimos que<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\int_0^{\frac\pi 2}\frac 12\sec x\log\left(\frac{1+\beta\cos x}{1+\alpha\cos x}\right)dx<br />&=\int_\alpha^\beta\int_0^1\frac{dudy}{1+u^2+y(1-u^2)}=\int_\alpha^\beta\frac{1}{1+y}\int_0^1\frac{du}{1+\left(\frac{1-y}{1+y}\right)u^2}dy\\<br />&=\int_\alpha^\beta\frac{1}{1+y}\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}\arctan\left(\sqrt{\frac{1-y}{1+y}}\right)dy\\<br />&=\int_\alpha^\beta\frac{1}{\sqrt{1+y}\sqrt{1-y}}\arccos\left(\sqrt{\frac{1+y}2}\right)dy.<br />\end{aligned}\end{equation}<br />Finalmente, haciendo el cambio<br />$$t=\sqrt{\frac{1+y}2}\Rightarrow 2(1-t^2)=1-y\quad\land\quad 2\sqrt 2dt=\frac{1}{\sqrt{1+y}}dy,$$<br />se obtiene que<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\int_0^{\frac\pi 2}\frac 12\sec x\log\left(\frac{1+\beta\cos x}{1+\alpha\cos x}\right)dx<br />&=\left.\int_{\sqrt{\frac{1+\alpha}2}}^{\sqrt{\frac{1+\beta}2}}\frac{2\arccos t}{\sqrt{1-t^2}}dt=-\arccos^2(t)\right\|_{\sqrt{\frac{1+\alpha}2}}^{\sqrt{\frac{1+\beta}2}}.\quad\square<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ ---- Cambié el dos por un medio porque me daba un cuatro volando por todas partes. Si era con el 2, entonces el resultado se multiplica por 4 -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 11 2012, 02:00 PM Publicado: #10
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	De la línea "concluimos que" al momento de calcular la integral que te queda, parece que no está bien calculada, porque esa no es la respuesta.

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