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> Propuesto Itachi 17
Uchiha Itachi
mensaje Apr 25 2008, 11:26 PM
Publicado: #1


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TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Demuestre que la matriz siguiente :}} \hfill \\<br /> A = \left( {\begin{array}{*{20}c}<br /> {\cos \phi } & {sen\phi } & 0 \\<br /> { - sen\phi } & {\cos \phi } & 0 \\<br /> 0 & 0 & 1 \\<br /><br /> \end{array} } \right) \hfill \\<br /> {\text{Es invertible para cualquier valor de }}\phi {\text{ y encuentre A}}^{{\text{ - 1}}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> saludos \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]


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Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile

Magíster en ciencias mención matemática,
Profesor de estado en matemáticas y computación,
Licenciado en educación matemáticas y computación,
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Raskolnikov
mensaje Jun 7 2008, 12:48 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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Para que la matriz tenga inversa, debe cumplirse que su determinante sea distinto de cero.

Entonces:

TEX: $det(A)=\begin{vmatrix}\cos \phi & \sin \phi & 0 \\ -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{vmatrix}=\cos^2 \phi+\sin^2 \phi =1\neq 0$

Con lo que se prueba además, que el valor del determinante no depende de TEX: $\phi$.

Luego entonces, la inversa queda determinada por:

TEX: $(A)^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}(adj(A))^T$

Ya calculamos det(A), y ahora sin mucho trabajo se obtiene finalmente que:

TEX: $(A)^{-1}=\begin{vmatrix}\cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}$

Saludos.


--------------------


"¿Qué es la vida? Una ilusión,
una sombra, una ficción,
y el mayor bien es pequeño:
que toda la vida es sueño,
y los sueños, sueños son."
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