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PXO11 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 24 2008, 02:06 AM Publicado: #1
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 64 Registrado: 6-April 07 Miembro Nº: 4.985 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{center}Contol 1 MA2A1, 2008\end{center}<br />1.\\(a) Para una funci\'on $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ considere la ecuaci\'on diferencial en derivadas parciales$$\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)^2=e^{4x}sin^2y.$$\\Se le pide encontrar una soluci\'on $f(x,y)$ de este problema, definida en todo $\mathbb{R}$.Para ello, busque una soluci\'on de la forma$$f(x,y)=g(e^xcos\ y,e^xsin\ y),$$y encuentre una ecuaci\'on para g.\\(b) Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una funcio\'n diferenciable tal que $f(0)=0$ y $f'(0)=1$ y $g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ una funci\'on diferenciable tal que $\nabla g(0,0)=(1,3)$. Considere la funci\'on de 3 variables$$h(x,y,z)=g(f(x)+f(y)^2,f(x)+f(y)^2+f(z)^3).$$ Encuentre el vector $\nabla h(0,0,0)$. \\2.\\(a) Sea $\Omega=\left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \| x>0,y>0 \right\}.$ Sea $f:\Omega\rightarrow \mathbb{R}$ definida por$$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}(x^2-y^2),$$Demuestre que $f$ es diferenciable en $\Omega$ y encuentre la ecuaci\'on del plano tangente al grafo de $f$ para todos los puntos de $(x,y)\in\Omega$ tal que $x=y$.\\(b) Estudie la diferenciabilidad de la funci\'on $f(x,y)\ =\ \|x+y\|$ en el conjunto $\Omega\ =\ (-1,1)\times(-1,1).$ En particular determine todos los puntos donde $f$ es diferenciable.\\3.Sea $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ definida por$$f(x,y)=\left\{ {\begin{array}{{20}c}{\frac{e^{\frac{-1}{\|x\|}}e^{\|y\|}}{\|x\|+\|y\|}}&{x\neq 0,}\\{0,}&{x=0.}\\ \end{array}}\right.$$(a) Demuestre que $f(x,y)$ es una funci\'on continua.\\(b) ¿Es $\lim_{\|\|(x,y)\|\|\rightarrow \infty}$$f(x,y)=+\infty$?\\ © Demuestre que la funci\'on $f$ alcanza su m\'inimo.<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />$ Mensaje modificado por PXO11* el Apr 24 2008, 03:12 AM

gamby Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 22 2012, 07:39 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.847 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.760 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	como saco las derivadas parciales de f ¿¿ se agradece si alguien me da un mano

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 5 2015, 04:27 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 1.a) $TEX: \noindent Hacemos el cambio de variable $u =e^x\cos y $ e $y = e^x\sin y $. Nos queda la ecuación :<br />$$ f(x,y) = g(u(x,y),v(x,y)) $$ <br />Derivamos respecto a $x$ usando regla de la cadena : <br />$$f_x = g_uu_x+g_vv_x = g_u e^x\cos y + g_v e^x \sin y $$<br />Elevamos al cuadrado <br />$$f_x^2 = g_u^2e^{2x}(\cos y)^2 + g_v^2e^{2x}(\sin y)^2 + 2g_ug_ve^{2x}\cos y \sin y $$<br />Analogamente respecto a y : <br />$$ f_y = g_uu_y+g_vv_y= -g_ue^x \sin y + g_v e^x \cos y $$ <br />$$ f_y^2 = g_v^2e^{2x}(\cos y)^2 + g_u^2e^{2x}(\sin y)^2 - 2g_ug_ve^{2x}\cos y \sin y $$<br />$$f_y^2+f_x^2 = (g_u^2+g_v^2)(e^{2x}(\sin y) ^2)+ e^{2x}(\cos x )^2)) = e^{2x}( g_u^2+g_v^2 )= e^{4x}(\sin y) ^2 $$ <br />Obtenemos la ecuación <br />$$g_u^2+g_v^2=e^{2x}\sin y ^2 = v^2 $$ <br />Si escogemos $g_u = 0 $ y $g_v = v $ como candidatos integrando $g_v$ respecto a $v$ llegamos a : <br />$$g(u,v) = \frac{v^2}{2} = e^{2x} \frac{\sin ^2 y}{2} = f(x,y) $$$ Problema 1.b) $TEX: \noindent hacemos un cambio de variable $u = f(x)+f(y)^2$, $v = f(x)+f(y)^2+f(z)^3$ calculamos $h_x$:<br />$$h_x = g_uu_x+g_vv_x = g_uf'(x)+g_vf'(x) $$<br />en $(0,0,0)$: <br />$$h_x = g_u + g_v = \nabla g(0,0) \cdot (1,1) = 4 $$ <br />Calculamos $h_y$ :<br />$$ h_y = g_uu_y + g_vv_y = g_u2f(x)f'(x)+g_v2f(x)f'(x) $$ <br />En $(0,0,0)$ :<br />$$h_y = 0 $$<br />Calculamos $h_z$:<br />$$h_z = g_uu_z + g_vv_z = g_u\cdot 0 + g_v3f(z)^2f'(z) $$<br />En (0,0,0):<br />$$h_z = 0 $$ <br />Por lo tanto $$ \nabla h(0,0,0) = (4,0,0)$$ <br /><br /><br />$ -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 5 2015, 06:41 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Problema 2.a) $TEX: \noindent Calculamos $f_x$ y $f_y$:<br />$$f_x = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} (x^2-y^2)+2\sqrt{x^2+y^2}\cdot x$$<br />$$f_y = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} (x^2-y^2)- 2\sqrt{x^2+y^2} \cdot y$$<br />Como $f_x$, $f_y$ son composición de funciones continuas entonces $f$ es de clase $C^1$. Por lo tanto es diferenciable<br />si x = y entonces : <br />$$ f_x = 2\sqrt{2}x\|x\| $$<br />$$ f_y = -2\sqrt{2}x\|y\|$$<br />como $(x,y) \in \Omega $<br />$$\nabla f(x,x) = (2\sqrt{2}x^2,-2\sqrt{2}x^2)$$ <br />Ahora sea $(x_0,x_0,z_0)$ un punto que cumple las restricciónes del problema. El plano tangente es:<br />$$z-z_0 = 2\sqrt{2}x_0^2(x-x_0)+2\sqrt{2}x_0^2(y-x_0) $$$ Mensaje modificado por Lichiel el Dec 5 2015, 06:41 PM -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

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