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Prueba Grupal Nivel M4, Octava Región

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2008, 11:13 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema $TEX: Calcular $x^5-y^5$...$ Podemos factorizar como diferencia de potencias de exponente impar, luego desarrollamos $TEX: $\begin{aligned} x^5-y^5&=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4) \\&=(x-y)((x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4)-3x^3y-3xy^3-5x^2y^2) \\&=(x-y)((x+y)^4-3xy(x^2+y^2)-5(xy)^2) \\&=(x-y)(81-5-3((x+y)^2-2xy))\\&=(x-y)(81-5-3(9-2))\\&=55(x-y) \end{aligned}$$ Por otro lado $TEX: $\begin{aligned}(x-y)^2&=(x+y)^2-4xy \\ &=9-4 \\&=5 \\ \|x-y\|&=\sqrt5 \\x-y&=\sqrt5 \end{aligned}$$ Es decir $TEX: \boxed{x^5-y^5=55\sqrt5}$ Problema 2 Todo numero al cuadrado es mayor o igual a 0, luego $TEX: $(x^2-1)^2 \geqslant 0$$ Desarrollando $TEX: $\begin{aligned} x^4-2x^2+1 &\geqslant 0 \\ x^4+1 &\geqslant 2x^2 \\ 1 &\geqslant \dfrac{2x^2}{x^4+1} \\ \dfrac12 &\geqslant \dfrac{x^2}{1+x^4} \end{aligned}$$ Salu2 Mensaje modificado por p.j.t el Apr 25 2008, 05:47 PM -------------------- asdf

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 24 2008, 12:35 AM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Manuel71 @ Apr 23 2008, 11:16 PM) $TEX: \noindent \textbf{Problema 2. Nivel M4.} Determinar para qu\'e valor de $\alpha$ la expresi\'on\\<br /> sen$\alpha$ + cos$\alpha$ \\<br />toma su mayor valor posible.\\<br />\\<br /><br />\noindent \textbf{Problema 5. Nivel M4.} Demostrar que para cualquier n\'umero real $x$ se tiene que\\<br />$$\frac{x^2}{1+x^4}\le \frac{1}{2}$$$ PD: era x>y en el que puso versuchung. La pregunta 2 debería decir "para qué valores" Pondré una solución que no usa los conocimientos pertinentes. $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{{\text{Sp}}_{\text{2}} } \hfill \\<br /> {\text{Sea }}f\left( \alpha \right) = \cos \alpha + \sin \alpha \Rightarrow f'\left( \alpha \right) = \cos \alpha - \sin \alpha \hfill \\<br /> \cos \alpha - \sin \alpha = 0 \Rightarrow \cos \alpha = \sin \alpha \Leftrightarrow \alpha = \pm \frac{\pi }<br />{4} + 2\pi k \hfill \\<br /> {\text{Luego los puntos de la forma }}\left( {\frac{\pi }<br />{4} + 2\pi k,\sqrt 2 } \right){\text{ y }}\left( { - \frac{\pi }<br />{4} + 2\pi k, - \sqrt 2 } \right){\text{ son cr\'iticos}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Evaluando en la vencidad de}}\left( {\frac{\pi }<br />{4} + 2\pi k,\sqrt 2 } \right){\text{ para un }}k{\text{ arbitrario se deduce que}}\left( {\frac{\pi }<br />{4} + 2\pi k,\sqrt 2 } \right){\text{ es }} \hfill \\<br /> {\text{punto m\'aximo}}\therefore \boxed{\alpha _k = \frac{\pi }<br />{4} + 2\pi k;k \in \mathbb{R}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ --------------------

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 26 2008, 05:06 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Nilrem @ Apr 23 2008, 11:20 PM) $TEX: Solucion P1$ [attachment=10261:Dibujo.JPG] $TEX: Como el $\angle KGH$ = 90º tenemos que los $\Delta AKH$ y $\Delta KBG$ tambien son rectos y por criterio A.L.A los 3 triangulos rectangulos son congruentes. Ademas estos 3 triangulos son 90-60-30 por lo que la hipotenusa es el doble del cateto menor, por lo que tenenemos que:$ $TEX: $\overline {AB}$ = $\overline {BC}$ = $\overline {CA}$ = 3x$ $TEX: \[7 = \frac{{(3x)^2 \sqrt 3 }}{4}\]$ $TEX: \[x^2 = \frac{{28}}{{9\sqrt 3 }}\]$ $TEX: Por Pitagoras en $\Delta HGC$ tenemos que:$ $TEX: $\overline {HG}^{2}$ = 3$x^{2}$$ $TEX: area $\Delta HGK$ =$\displaystyle \frac{3x^2 \sqrt 3 }{4}$$ $TEX: Reemplazando:$ $TEX: area $\Delta HGK$ = $\displaystyle \frac{7}{3}$$ Encontré un error de tipeo, el ángulo KGH no es recto (porque el triángulo KGH es equilátero). Sin embargo, no es difícil encontrar todos los ángulos de la figura. Con estos ángulos y el hecho que el triángulo KGH es equilátero, se puede concluir que el triángulo equilátero ABC está dividido en un triángulo equilátero KGH y tres triángulos rectángulos congruentes, en los cuales el cateto menor mide la mitad de la hipotenusa. No observé muchos detalles después, porque creo que es posible (dividiendo la figura de manera conveniente) encontrar el área del triángulo equilátero sin necesidad de determinar todas las longitudes. --- Las soluciones exhibidas para los problemas de $TEX: $x^5-y^5$$ y el de la desigualdad están correctos. En cuanto al problema de trigonometría, me gustaría ver una solución sin derivadas (yo conozco más de una solución que evita dicha herramienta), sin cálculo diferencial. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 27 2008, 03:42 PM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Con lo poco que se de trigonometria, dudo que este bueno , pero igual a darle nomas $TEX: \boxed{\mathcal{P}_2}$ $TEX: $\begin{aligned} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha &= 1 \\ 2\cos \alpha \sin \alpha &= \sin (2 \alpha) \end{aligned}$\\ Sumando\\ $\cos^2 \alpha + 2\cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha=(\sin \alpha + \cos \alpha)^2= \sin(2\alpha)+1$\\<br />Ahora procederemos a calcular el mayor valor de $\sin(2\alpha)$, ya que $\sin \alpha + \cos \alpha$ depende de ese valor. Notemos que $\sin 90=1$ es el mayor valor que puede tomar. Luego igualamos\\<br />$\sin(2\alpha)=\sin 90$\\<br />$2\alpha=90$\\<br />\boxed{\alpha =45}.\\<br />$ Saludos -------------------- asdf

Versuchung Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 27 2008, 04:58 PM Publicado: #15
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 399 Registrado: 14-August 07 Desde: Temuco Miembro Nº: 8.739 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	adjunto en este post la prueba en version .pdf y las pistas que daban f1_2008_m4_grupal.pdf ( 60.96k ) Número de descargas: 19 -------------------- Estudiante Ingeniería Civil Matemática - UFRO 09 Ex Alumna Instituto Victoria - IV° A 08

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2008, 10:13 PM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	CITA(caf_tito @ Apr 24 2008, 01:29 AM) La pregunta 2 debería decir "para qué valores" Pondré una solución que no usa los conocimientos pertinentes. $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{{\text{Sp}}_{\text{2}} } \hfill \\<br /> {\text{Sea }}f\left( \alpha \right) = \cos \alpha + \sin \alpha \Rightarrow f'\left( \alpha \right) = \cos \alpha - \sin \alpha \hfill \\<br /> \cos \alpha - \sin \alpha = 0 \Rightarrow \cos \alpha = \sin \alpha \Leftrightarrow \alpha = \pm \frac{\pi }<br />{4} + 2\pi k \hfill \\<br /> {\text{Luego los puntos de la forma }}\left( {\frac{\pi }<br />{4} + 2\pi k,\sqrt 2 } \right){\text{ y }}\left( { - \frac{\pi }<br />{4} + 2\pi k, - \sqrt 2 } \right){\text{ son cr\'iticos}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Evaluando en la vencidad de}}\left( {\frac{\pi }<br />{4} + 2\pi k,\sqrt 2 } \right){\text{ para un }}k{\text{ arbitrario se deduce que}}\left( {\frac{\pi }<br />{4} + 2\pi k,\sqrt 2 } \right){\text{ es }} \hfill \\<br /> {\text{punto m\'aximo}}\therefore \boxed{\alpha _k = \frac{\pi }<br />{4} + 2\pi k;k \in \mathbb{R}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ en cmat se permite derivar y ocupar materia de universidad??? yo creia q no...

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2008, 08:32 PM Publicado: #17
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(jorgeston @ May 2 2008, 01:07 AM) en cmat se permite derivar y ocupar materia de universidad??? yo creia q no... Pero por algo puso que su solucion no ocupaba conocimientos pertinentes Saludos

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 3 2008, 04:13 PM Publicado: #18
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	CITA(Felipe_ambuli @ May 2 2008, 09:26 PM) Pero por algo puso que su solucion no ocupaba conocimientos pertinentes Saludos jaja no habia leido eso..gracias saludos

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 2 2008, 06:57 PM Publicado: #19
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	otra vista al p4 $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \cos x + \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}<br />{2} \cdot \frac{2}<br />{{\sqrt 2 }}\left( {\cos x + \sin x} \right) = \frac{2}<br />{{\sqrt 2 }}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}<br />{2}\cos x + \frac{{\sqrt 2 }}<br />{2}\sin x} \right) \hfill \\<br /> = \frac{2}<br />{{\sqrt 2 }}\left( {\cos \left( {\frac{\pi }<br />{4}} \right)\cos x + \sin \left( {\frac{\pi }<br />{4}} \right)\sin x} \right) = \frac{2}<br />{{\sqrt 2 }}\cos \left( {\frac{\pi }<br />{4} - x} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{La funcion del coseno toma uno de sus maximos valores para }}\pi {\text{k }}\forall {\text{k}} \in \mathbb{Z}{\text{, pero}} \hfill \\<br /> {\text{en este caso me imagino que hay que basarse en el primer cuadrante}}{\text{, ya que preguntan}} \hfill \\<br /> {\text{para que valor y no para que valores}}{\text{. Entonces }} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \frac{\pi }<br />{4} - x = 0 \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{\pi }<br />{4}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ otra forma habria sido lo siguiente $TEX: \[<br />\cos x + \sin x = \cos x + \cos \left( {\frac{\pi }<br />{2} - x} \right)<br />\]<br />$ y ahora ocupar una conocida identidad trigonometrica $TEX: \[<br />\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \left( {\frac{{\alpha + \beta }}<br />{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\alpha - \beta }}<br />{2}} \right)<br />\]<br />$ Mensaje modificado por naxoobkn el Aug 3 2008, 08:10 PM -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

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