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Prueba Grupal Nivel M4, Octava Región

Nilrem Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2008, 08:27 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 122 Registrado: 6-October 06 Desde: VIII Región Miembro Nº: 2.438 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Para que completemos esta sección les pido que posteen los problemas que faltan ya que no pude cosegirlos. Tampoco se cual número corresponde a cual. Bueno este es el problema que me tocó a mi: $TEX: P1$ $TEX: "Sobre\ los\ lados\ $\overline {AB}$,\ $\overline {BC}$\ y\ $\overline {CA}$\ de\ un\ $\Delta ABC$\ equilatero\ de\ area\ = 7, estan los puntos K, G y H respectivamente. Si el $\Delta KGH$ es equilátero y $\angle BGH$ = 90º, encontrar el area del $\Delta KGH$"$ ( El enunciado no es exactamente el mismo pero el problema en sí si lo es ) $TEX: P2$ $TEX: <br />Calcular el valor exacto de:\[<br />\frac{{1 \times 4}}<br />{{2 \times 3}} + \frac{{2 \times 5}}<br />{{3 \times 4}} + \frac{{3 \times 6}}<br />{{4 \times 5}} + ... + \frac{{100 \times 103}}<br />{{101 \times 102}}<br />\]<br />$ $TEX: P3$ $TEX: calcular $x^5-y^5$ si $x+y=3$ y $x \cdot y=1$$ con x > y $TEX: \noindent \textbf{Problema 4. Nivel M4.} Determinar para qu\'e valor de $\alpha$ la expresi\'on\\<br /> sen$\alpha$ + cos$\alpha$ \\<br />toma su mayor valor posible.\\<br />\\<br /><br />\noindent \textbf{Problema 5. Nivel M4.} Demostrar que para cualquier n\'umero real $x$ se tiene que\\<br />$$\frac{x^2}{1+x^4}\le \frac{1}{2}$$$ Mensaje modificado por Nilrem el Apr 25 2008, 10:00 PM Archivo(s) Adjunto(s) Dibujo.JPG ( 11.79k ) Número de descargas: 0

Versuchung Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2008, 08:38 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 399 Registrado: 14-August 07 Desde: Temuco Miembro Nº: 8.739 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	este problema estaba en tu prueba? esq io la tendi en la IX region es la misma? esq si es por eso recuerdo un par de problemas de la prueba jejeje -------------------- Estudiante Ingeniería Civil Matemática - UFRO 09 Ex Alumna Instituto Victoria - IV° A 08

Nilrem Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2008, 08:53 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 122 Registrado: 6-October 06 Desde: VIII Región Miembro Nº: 2.438 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Si ese si estaba , audame con los otros problemas noma

Versuchung Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2008, 09:08 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 399 Registrado: 14-August 07 Desde: Temuco Miembro Nº: 8.739 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: calcular $x^5-y^5$ si $x+y=3$ y $x \cdot y=1$$ con x>y Mensaje modificado por Versuchung el Apr 23 2008, 11:09 PM -------------------- Estudiante Ingeniería Civil Matemática - UFRO 09 Ex Alumna Instituto Victoria - IV° A 08

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2008, 09:18 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Versuchung @ Apr 23 2008, 10:02 PM) $TEX: calcular $x^5-y^5$ si $x+y=3$ y $x \cdot y=1$$ Una duda... x<y, o x>y??? Saludos -------------------- asdf

Versuchung Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2008, 09:25 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 399 Registrado: 14-August 07 Desde: Temuco Miembro Nº: 8.739 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	ouch no recuerdo en este momento... :S -------------------- Estudiante Ingeniería Civil Matemática - UFRO 09 Ex Alumna Instituto Victoria - IV° A 08

Manuel71 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2008, 10:22 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 329 Registrado: 24-August 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 2.038 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent \textbf{Problema 2. Nivel M4.} Determinar para qu\'e valor de $\alpha$ la expresi\'on\\<br /> sen$\alpha$ + cos$\alpha$ \\<br />toma su mayor valor posible.\\<br />\\<br /><br />\noindent \textbf{Problema 5. Nivel M4.} Demostrar que para cualquier n\'umero real $x$ se tiene que\\<br />$$\frac{x^2}{1+x^4}\le \frac{1}{2}$$$ PD: era x>y en el que puso versuchung. Mensaje modificado por Manuel71 el Apr 23 2008, 10:25 PM

Nilrem Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2008, 10:26 PM Publicado: #8
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 122 Registrado: 6-October 06 Desde: VIII Región Miembro Nº: 2.438 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Solucion P1$ Dibujo.JPG ( 11.79k ) Número de descargas: 0 $TEX: Como el $\angle KGH$ = 90º tenemos que los $\Delta AKH$ y $\Delta KBG$ tambien son rectos y por criterio A.L.A los 3 triangulos rectangulos son congruentes. Ademas estos 3 triangulos son 90-60-30 por lo que la hipotenusa es el doble del cateto menor, por lo que tenenemos que:$ $TEX: $\overline {AB}$ = $\overline {BC}$ = $\overline {CA}$ = 3x$ $TEX: \[7 = \frac{{(3x)^2 \sqrt 3 }}{4}\]$ $TEX: \[x^2 = \frac{{28}}{{9\sqrt 3 }}\]$ $TEX: Por Pitagoras en $\Delta HGC$ tenemos que:$ $TEX: $\overline {HG}^{2}$ = 3$x^{2}$$ $TEX: area $\Delta HGK$ =$\displaystyle \frac{3x^2 \sqrt 3 }{4}$$ $TEX: Reemplazando:$ $TEX: area $\Delta HGK$ = $\displaystyle \frac{7}{3}$$ Mensaje modificado por Nilrem el Apr 25 2008, 09:48 PM

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2008, 10:33 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Nilrem @ Apr 24 2008, 01:20 AM) $TEX: Solucion P1$ Dibujo.JPG ( 11.79k ) Número de descargas: 0 $TEX: Como el $\angle KGH$ = 90º tenemos que los $\Delta AKH$ y $\Delta KBG$ tambien son rectos y por criterio A.L.A los 3 triangulos rectangulos son iguales. Ademas estos 3 triangulos son 90-60-30 por lo que la hipotenusa es el doble del cateto menor, por lo que tenenemos que:$ $TEX: $\overline {AB}$ = $\overline {BC}$ = $\overline {CA}$ = 3x$ $TEX: \[7 = \frac{{(3x)^2 \sqrt 3 }}{4}\]$ $TEX: \[x^2 = \frac{{28}}{{9\sqrt 3 }}\]$ $TEX: Por Pitagoras en $\Delta HGC$ tenemos que:$ $TEX: $\overline {HG}^{2}$ = 3$x^{2}$$ $TEX: area $\Delta HGK$ =$\displaystyle \frac{3x^2 \sqrt 3 }{4}$$ $TEX: Reemplazando:$ $TEX: area $\Delta HGK$ = $\displaystyle \frac{7}{3}$$ Un detalle... debiste decir que los triangulos son congruentes (el termino correcto). Saludos

Soul_Hunter Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 23 2008, 11:12 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 665 Registrado: 12-June 07 Desde: the city of the fallen angels Miembro Nº: 6.649 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent$\boxed{S_{p5}}\\ \\<br />\begin{array}{l}<br /> (x^2 - 1)^2 \ge 0 \\ <br /> x^4 - 2x^2 + 1 \ge 0 \\ <br /> x^4 + 1 \ge 2x^2 \qquad \Big/ \cdot \frac{1}{2} \\ <br /> \dfrac{{x^4 + 1}}{2} \ge x^2 \qquad \Big/ \cdot \frac{1}{{x^4 + 1}} \\ <br /> \dfrac{1}{2} \ge \dfrac{{x^2 }}{{x^4 + 1}} \\ <br /> \dfrac{{x^2 }}{{x^4 + 1}} \le \dfrac{1}{2}\qquad Q.E.D. \\ <br /> \end{array}$$ No hay problema en multiplicar la desigualdad por $TEX: $\frac{1}{1+x^4}$$ ya que este número siempre es positivo, por lo que la desigualdad no cambia de sentido ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- El problema de las potencias quintas creo que debería ser $TEX: $x^5+y^5$$ para hacerlo de la forma "elegante". Pero como era así el problema saqué el valor de "x" y de "y", los elevé a la quinta y los resté xD y me dio $TEX: $55\sqrt 5$$ Y el problema de trigonometria no supe demostrarlo, sólo pusimos que la suma era máxima cuando el seno y el coseno eran iguales y que esto se producía cuando $TEX: $\alpha = 45^o$$ y la suma daba $TEX: $\sqrt 2$$ Salu2 --------------------

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