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Relaciones entre áreas y bases, a pedido de Kenshin

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 19 2006, 10:59 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Propiedad 1 Bueno, esta propiedad nos dice que las áreas de los triángulos de igual altura son proporcionales a las bases de los triángulos. O sea: $TEX: $\displaystyle\frac{A}{B}=\frac{a}{b}$$ , donde $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ son las áreas de los triángulos, y $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ las bases. screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img135.imageshack.us/img135/3528/a2le.png');}" /> Demostración: screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img135.imageshack.us/img135/5076/aa7hi.png');}" /> La demostración de esta propiedad es muy sencilla. Notemos que $TEX: $A=\displaystyle\frac{ah}{2}$$ y $TEX: $B=\displaystyle\frac{bh}{2}$$ Luego tendremos que: $TEX: $\displaystyle\frac{A}{B}=\frac{\displaystyle\frac{ah}{2}}{\displaystyle\frac{bh}{2}}=\displaystyle\frac{ah}{2}\cdot\frac{2}{bh}=\frac{a}{b}$$ Con esto se concluye que las áreas son proporcionales a las bases. Esta propiedad es utilizada para probar el Teorema de Ceva y las propiedades de las transversales de gravedad, entre otras cosas. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 20 2006, 04:32 PM Publicado: #2
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Propiedad 2 screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img108.imageshack.us/img108/7917/abcd5hl.png');}" /> $TEX: $\displaystyle\frac{A+C}{B+D}=\frac{a}{b}$$ Donde $TEX: $A,B,C,D$$ son las áreas de los triángulos $TEX: $ABD, ADC, BED, DEC$$ , respectivamente; $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ son los segmentos $TEX: $\overline{BD}$$ y $TEX: $\overline{DC}$$ , respectivamente. Demostración: Sabemos que: $TEX: $\displaystyle\frac{A}{B}=\frac{a}{b}=\frac{C}{D}$$ Luego $TEX: $\displaystyle\frac{A+C}{B+D}=\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}$$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 20 2006, 05:00 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ejemplo: screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img304.imageshack.us/img304/2066/p11sc.png');}" /> Pruebe que: $TEX: $\displaystyle\frac{\overline{A'P}}{\overline{AA'}}+\frac{\overline{B'P}}{\overline{BB'}}+\frac{\overline{C'P}}{\overline{CC'}}=1$$ Solución: $TEX: $\displaystyle\frac{\overline{A'P}}{\overline{AA'}}=\frac{(BCP)}{(ABC)}$$ (propiedad 2) $TEX: $\displaystyle\frac{\overline{B'P}}{\overline{BB'}}=\frac{(APC)}{(ABC)}$$ (propiedad 2) $TEX: $\displaystyle\frac{\overline{C'P}}{\overline{CC'}}=\frac{(ABP)}{(ABC)}$$ (propiedad 2) Si sumamos estas expresiones: $TEX: $\displaystyle\frac{(BCP)}{(ABC)}+\frac{(APC)}{(ABC)}+\frac{(ABP)}{(ABC)}=\frac{(ABC)}{(ABC)}=1$$ Nota: recordemos que $TEX: $(ABC)$$ significa "área del triángulo ABC" -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 20 2006, 08:25 PM Publicado: #4
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Mas que excelente aporte...mejor de lo que yo esperaba para alguien que recien esta pasando a primero medio Solo un detalle, y es que en el Ejemplo, cuando lo aplicas, no es exactamente la propiedad 2, pero es basicamente la misma idea. Mis saludos y felicitaciones -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 21 2006, 02:02 PM Publicado: #5
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Y continúa... Propiedad 3 $TEX: $\displaystyle\frac{A}{B}=\frac{a}{b}$$ (ver figura) screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img310.imageshack.us/img310/8601/pr33eu.png');}" /> Demostración: Sabemos que: $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{(ABA')}{(AA'C)}$$ (propiedad 1) $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{(PBA')}{(PA'C)}$$ (propiedad 1) Luego: $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{(ABA')-(PBA')}{(AA'C)-(PA'C)}=\frac{(ABP)}{(APC)}=\frac{A}{B}$$ Teorema screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img467.imageshack.us/img467/6554/tabel9rv.png');}" /> En un triángulo con un set de cevianas concurrentes (ver figura), se cumple que: $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$$ Donde: $TEX: $a=\overline{AC'};b=\overline{C'B};c=\overline{AB'};d=\overline{B'C};e=\overline{AP};f=\overline{PA'}<br />$$ Demostración: Notemos que: $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{(APC)}{(PBC)}$$ (propiedad 3) $TEX: $\displaystyle\frac{c}{d}=\frac{(ABP)}{(PBC)}$$ (propiedad 3) Sumando ambas expresiones: $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{(APC)}{(PBC)}+\frac{(ABP)}{(PBC)}=\frac{(ABPC)}{(PBC)}=\frac{e}{f}$$ (esto último por la propiedad 2) -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 22 2006, 03:50 PM Publicado: #6
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Propiedades de las transversales de gravedad Propiedad 1: "Al trazar las tres transversales de gravedad en un triangulo cualquiera este queda dividido en seis triangulos de la misma área" screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img138.imageshack.us/img138/5968/trian7ah.png');}" /> Demostración: $TEX: \noindent <br />Notemos que $(GBA^{\prime})=(GA^{\prime}C)$, (donde $(ABC)$ significa ``area del tri\'angulo $ABC$"), porque estos tri\'angulos tienen igual base y la misma altura. Por eso llamaremos a sus \'areas ``$x$".\\<br />\\<br />An\'alogamente:\\<br />\\<br />$(GCB^{\prime})=(GB^{\prime}A)$ y $(GAC^{\prime})=(GC^{\prime}B)$, que llamaremos $y$ y $z$ \mbox{respectivamente} (ver figura)\\<br />\\<br />Tambi\'en tenemos que $(CAC^{\prime})=(CC^{\prime}B)$ (la misma base y la misma \mbox{altura}), lo que implica que $2y+z=z+2x \Rightarrow x=y$.\\<br />\\<br />Del mismo modo, $(ABA^{\prime})=(AA^{\prime}C)$, entonces $y=z$.\\<br />\\<br />Entonces, hemos probado que $x=y=z$, o sea, los seis tri\'angulos tienen igual \'area .$ Propiedad 2: Las transversales de gravedad de un triángulo se dividen entre sí en la razón 2:1. Demostración: screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img142.imageshack.us/img142/175/trian7ah0mw.png');}" /> Notemos que $TEX: $(GAB)=2(GBA')$$ (propiedad 1 transversales de gravedad). Y por propiedad 1 (las áreas son proporcionales a sus bases) $TEX: $AG=2GA'$$ . Del mismo modo, $TEX: $BG=2GB'$$ , y $TEX: $CG=2GC'$$ Quedando demostrado. De todo esto podemos sacar una: Conclusión: En general, las bases de un triángulo son proporcionales al área, a la suma de las áreas y a la diferencia de el(las) área(s) que abarca(n). Eso sería todo... si alguien quiere aportar con algún ejemplo en que se utilicen estas propiedades, una demostración, bienvenido sea Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

hpoincare Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 29 2006, 06:14 AM Publicado: #7
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 73 Registrado: 13-April 06 Miembro Nº: 841	¿Y qué hay del recíproco? Es decir, si tenés tres cevianas que dividen al triángulo en seis triángulos de igual área, puedes afirmar que el punto de concurrencia es el baricentro?

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 13 2006, 03:55 PM Publicado: #8
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Bueno, yo quiero compatir otra demostración acerca de la razón en la cual se cortan las transversales de gravedad. Consideremos la siguiente ilustración: screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img153.imageshack.us/img153/6305/tri9wf.png');}" /> En la figura se tiene un $TEX: \[<br />\Delta ABC<br />\]$ . Se trazan las transversales de gravedad $TEX: \[<br />\overline {CM} <br />\]$ y $TEX: \[<br />\overline {AN} <br />\]$ Construcción auxiliar. Trazamos la mediana $TEX: \[<br />\overline {MN} <br />\]$ . Tesis: $TEX: \[<br />\frac{{\overline {CG} }}<br />{{\overline {GM} }} = \frac{{\overline {AG} }}<br />{{\overline {GN} }} = 2.<br />\]$ Demostración: $TEX: \[<br />\Delta ACG \sim \Delta NMG<br />\]$ (por tener sus tres ángulos iguales) $TEX: \[<br />\therefore {\text{ }}\frac{{\overline {CG} }}<br />{{\overline {GM} }} = \frac{{\overline {AG} }}<br />{{\overline {GN} }} = \frac{{\overline {AC} }}<br />{{\overline {MN} }}<br />\]$ Pero: $TEX: \[<br />\overline {AC} = 2\overline {MN} <br />\]$ ( $TEX: \[<br />\overline {MN} <br />\]$ es mediana) Obteniendo así: $TEX: \[<br />\frac{{\overline {CG} }}<br />{{\overline {GM} }} = \frac{{\overline {AG} }}<br />{{\overline {GN} }} = 2.<br />\]$ Como queríamos demostrar.

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 14 2006, 12:17 AM Publicado: #9
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA $TEX: \[<br />\overline {AC} = 2\overline {MN} <br />\]$ ( $TEX: \[<br />\overline {MN} <br />\]$ es mediana) ¿Y la demostracion de esta afirmacion (o sea porque el ser la union de los puntos medios implica esa relacion)? Saludos PD: Es solo para que la demostracion quede completa -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 14 2006, 12:39 PM Publicado: #10
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Siendo este, mi post 400 en este espectacular foro, deleitaré a mis paizanos con esta demostración: screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img176.imageshack.us/img176/7929/med3lg.png');}" /> En la figura: $TEX: \[<br />\Delta ABC<br />\]$ donde $TEX: \[<br />M<br />\]$ y $TEX: \[<br />N<br />\]$ son los puntos medios de $TEX: \[<br />\overline {AC} <br />\]$ y $TEX: \[<br />\overline {BC} <br />\]$ "La mediana, es el trazo que une dos puntos medios de un triángulo que a su vez es paralela al tercer lado e igual a su mitad". Tesis: $TEX: \[<br />\overleftrightarrow {MN}\parallel \overleftrightarrow {AB}<br />\]$ ; $TEX: \[<br />\overline {MN} = \frac{{\overline {AB} }}<br />{2}<br />\]$ Construcción auxiliar. Por $TEX: \[<br />N<br />\]$ tracemos $TEX: \[<br />\overleftrightarrow {PN}\parallel \overleftrightarrow {AC}<br />\]$ , dando origen así al $TEX: \[<br />\Delta BNP<br />\]$ . Demostración: $TEX: \[<br />\frac{{\overline {CM} }}<br />{{\overline {MA} }} = 1<br />\]$ (por ser $TEX: \[<br />M<br />\]$ punto medio, por tanto $TEX: \[<br />\overline {CM} = \overline {MA} <br />\]$ ) (1) $TEX: \[<br />\frac{{\overline {CN} }}<br />{{\overline {NB} }} = 1<br />\]$ (por ser $TEX: \[<br />N<br />\]$ punto medio, por tanto $TEX: \[<br />\overline {CN} = \overline {NB} <br />\]$ ) (2) Comparando (1) y (2): $TEX: \[<br />\frac{{\overline {CM} }}<br />{{\overline {MA} }} = \frac{{\overline {CN} }}<br />{{\overline {NB} }}<br />\]$ $TEX: \[<br />\therefore {\text{ }}\overleftrightarrow {MN}\parallel \overleftrightarrow {AB}<br />\]$ (cuando una recta al cortar dos lados de un triángulo los divide en segmentos proporcionales, la recta es paralela al tercer lado) En los $TEX: \[<br />\Delta CMN<br />\]$ y $TEX: \[<br />\Delta NPB<br />\]$ : $TEX: \[<br />\angle {\text{ }}C = \angle {\text{ }}1<br />\]$ , $TEX: \[<br />\angle {\text{ }}B = \angle {\text{ }}2<br />\]$ (correspondientes entre paralelas) $TEX: \[<br />\overline {CN} = \overline {NB} <br />\]$ (por ser $TEX: \[<br />N<br />\]$ punto medio) $TEX: \[<br />\therefore {\text{ }}\Delta CMN \cong \Delta NPB<br />\]$ (criterio ALA) $TEX: \[<br />\therefore {\text{ }}\overline {MN} = \overline {PB} <br />\]$ (lados homólogos de los triángulos iguales) (3) Por otra parte: $TEX: \[<br />\overline {MN} = \overline {AP} <br />\]$ (lados opuestos de un paralelógramo) (4) $TEX: \[<br />AMNP<br />\]$ es un paralelógramo, se puede demostrar trazando la diagonal $TEX: \[<br />\overline {AN} <br />\]$ para afirmar que $TEX: \[<br />\overline {MN} = \overline {AP} <br />\]$ . Sumando (3) y (4): $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \overline {MN} + \overline {MN} &= \overline {AP} + \overline {PB} \\ <br /> 2\overline {MN} &= \overline {AB} \\ <br /> \overline {MN} &= \frac{{\overline {AB} }}<br />{2} \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ Como queríamos demostrar.

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