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problema de campeonato, ayuda

MeMecha* Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2008, 10:45 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 218 Registrado: 14-August 07 Desde: Región del Bío-bio Miembro Nº: 8.723 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Este es un problema que salio en un campeonato de matemáticas Alguien me puede ayudar a resolver este problema, porque la verdad tengo una vaga idea de como hacerlo, hice el intento en el campeonato, pero sólo eso y no quiero encontrarme con un ejercicio parecido a este y no desarrollarlo como corresponde, les agradeceria bastante su ayuda. Calcular el valor exacto de: $TEX: \[<br />\frac{{1 \times 4}}<br />{{2 \times 3}} + \frac{{2 \times 5}}<br />{{3 \times 4}} + \frac{{3 \times 6}}<br />{{4 \times 5}} + ... + \frac{{100 \times 103}}<br />{{101 \times 102}}<br />\]<br />$ -------------------- Estudiante de Kinesiología (2009), Universidad de Concepción.-

Versuchung Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2008, 11:13 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 399 Registrado: 14-August 07 Desde: Temuco Miembro Nº: 8.739 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(MeMecha* @ Apr 19 2008, 11:39 PM) Este es un problema que salio en un campeonato de matemáticas Alguien me puede ayudar a resolver este problema, porque la verdad tengo una vaga idea de como hacerlo, hice el intento en el campeonato, pero sólo eso y no quiero encontrarme con un ejercicio parecido a este y no desarrollarlo como corresponde, les agradeceria bastante su ayuda. Calcular el valor exacto de: Yo tengo la misma duda... se supone que te entregaban una pista pero ia me había dado cuenta de eso.... decia : $TEX: Notar que \[<br />\frac{{1 \times 4}}<br />{{2 \times 3}} = 1 - \frac{2}<br />{{2 \times 3}}<br />, \frac{{2 \times 5}}<br />{{3 \times 4}} = 1 - \frac{2}<br />{{3 \times 4}}<br />, etc\]$ -------------------- Estudiante Ingeniería Civil Matemática - UFRO 09 Ex Alumna Instituto Victoria - IV° A 08

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2008, 11:34 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	se me ocurrio algo usamos la notacion de sumatoria para no escribir tantos terminos igualitos $TEX: $\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k(k+3)}{(k+1)(k+2)}=\sum\limits_{k=1}^n1-\dfrac{2}{(k+1)(k+2)}$$ entonces tendríamos la siguiente suma $TEX: $1+1+...+1(n\ veces)-2\left(\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right)$$ ahora hay que notar que $TEX: $\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k+2}$$ (compruebelo) entonces tenemos que la suma de las puras fracciones es de esta manera $TEX: $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$ $TEX: $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$ $TEX: $\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$$ y asi sucesivamente hasta $TEX: $\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$$ $TEX: $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$ $TEX: $\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$$ si sumamos todo, vemos que los términos iguales se cancelan y el resultado es $TEX: $\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$$ sumandolo a los terminos del problema obtenemos que el resultado final exacto de todo es $TEX: $n-2(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2})=n-1+\frac{2}{n+2}$$ que con $TEX: $n=100$$ es $TEX: $99+\frac{2}{102}=99+\frac{1}{51}$$ tal vez el resultado no es el correcto, pero esa es la idea, sumar y cancelar un par de cosas ojala se halla cashao salu2 =D! -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2008, 11:56 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> esa{\text{ suma puede reescribirse asi:}} \hfill \\<br /> \sum\limits_{k = 1}^{100} {\underbrace {\frac{{k(k + 3)}}<br />{{(k + 1)(k + 2)}}}_{ = 1 - \frac{2}<br />{{(k + 1)(k + 2)}}}} \hfill \\<br /> = \sum\limits_{k = 1}^{100} {1 - \sum\limits_{k = 1}^{100} {\frac{2}<br />{{(k + 1)(k + 2)}} = 100 - 2\sum\limits_{k = 1}^{100} {\frac{1}<br />{{(k + 1)(k + 2)}}} } } \hfill \\<br /> por\_fracciones\_parciales: \hfill \\<br /> \frac{1}<br />{{(k + 1)(k + 2)}} = \frac{A}<br />{{k + 1}} + \frac{B}<br />{{k + 2}} = \frac{{A(k + 2) + B(k + 1)}}<br />{{(k + 1)(k + 2)}} \Rightarrow \hfill \\<br /> 1 = A(k + 2) + B(k + 1) = k(A + B) + 2A + B \Rightarrow \hfill \\<br /> A + B = 0 \wedge 2A + B = 1 \hfill \\<br /> \therefore A = 1 \wedge B = - 1 \Rightarrow \hfill \\<br /> \frac{1}<br />{{(k + 1)(k + 2)}} = \frac{1}<br />{{k + 1}} - \frac{1}<br />{{k + 2}} \hfill \\<br /> volviendo\_a\_la\_suma: \hfill \\<br /> 100 - 2\sum\limits_{k = 1}^{100} {\frac{1}<br />{{(k + 1)(k + 2)}}} = 100 - 2\left[ {\sum\limits_{k = 1}^{100} {\frac{1}<br />{{k + 1}} - \frac{1}<br />{{k + 2}}} } \right] = \hfill \\<br /> 100 + 2\underbrace {\left[ {\sum\limits_{k = 1}^{100} {\frac{1}<br />{{k + 2}} - \frac{1}<br />{{k + 1}}} } \right]}_{aplicamos\_telescopica} = 100 + 2\left[ {\frac{1}<br />{{102}} - \frac{1}<br />{2}} \right] = 100 + \frac{2}<br />{{102}} - 1 \hfill \\<br /> = 99 + \frac{1}<br />{{51}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ tal como lo dijo antes pelao_malo saludos -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

Milfire Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 20 2008, 12:04 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 518 Registrado: 16-March 08 Miembro Nº: 17.054 Nacionalidad:	CITA(kbzoon @ Apr 20 2008, 12:50 AM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> esa{\text{ suma puede reescribirse asi:}} \hfill \\<br /> \sum\limits_{k = 1}^{100} {\underbrace {\frac{{k(k + 3)}}<br />{{(k + 1)(k + 2)}}}_{ = 1 - \frac{2}<br />{{(k + 1)(k + 2)}}}} \hfill \\<br /> = \sum\limits_{k = 1}^{100} {1 - \sum\limits_{k = 1}^{100} {\frac{2}<br />{{(k + 1)(k + 2)}} = 100 - 2\sum\limits_{k = 1}^{100} {\frac{1}<br />{{(k + 1)(k + 2)}}} } } \hfill \\<br /> por\_fracciones\_parciales: \hfill \\<br /> \frac{1}<br />{{(k + 1)(k + 2)}} = \frac{A}<br />{{k + 1}} + \frac{B}<br />{{k + 2}} = \frac{{A(k + 2) + B(k + 1)}}<br />{{(k + 1)(k + 2)}} \Rightarrow \hfill \\<br /> 1 = A(k + 2) + B(k + 1) = k(A + B) + 2A + B \Rightarrow \hfill \\<br /> A + B = 0 \wedge 2A + B = 1 \hfill \\<br /> \therefore A = 1 \wedge B = - 1 \Rightarrow \hfill \\<br /> \frac{1}<br />{{(k + 1)(k + 2)}} = \frac{1}<br />{{k + 1}} - \frac{1}<br />{{k + 2}} \hfill \\<br /> volviendo\_a\_la\_suma: \hfill \\<br /> 100 - 2\sum\limits_{k = 1}^{100} {\frac{1}<br />{{(k + 1)(k + 2)}}} = 100 - 2\left[ {\sum\limits_{k = 1}^{100} {\frac{1}<br />{{k + 1}} - \frac{1}<br />{{k + 2}}} } \right] = \hfill \\<br /> 100 + 2\underbrace {\left[ {\sum\limits_{k = 1}^{100} {\frac{1}<br />{{k + 2}} - \frac{1}<br />{{k + 1}}} } \right]}_{aplicamos\_telescopica} = 100 + 2\left[ {\frac{1}<br />{{102}} - \frac{1}<br />{2}} \right] = 100 + \frac{2}<br />{{102}} - 1 \hfill \\<br /> = 99 + \frac{1}<br />{{51}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ tal como lo dijo antes pelao_malo saludos es lo mismo que hizo pelao_malo

kbzoon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 20 2008, 12:07 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.627 Registrado: 11-October 07 Desde: Suburbios de Conchalí Miembro Nº: 11.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Milfire @ Apr 20 2008, 12:58 AM) es lo mismo que hizo pelao_malo sip. ya lo estaba haciendo. -------------------- Injeniería de Minas. The best SpaceDream Radio ever

sí-sí el residen... sí-sí el residente Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 20 2008, 12:07 AM Publicado: #7
Puntaje Nacional PSU Matemáticas Admisión 2010 Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 390 Registrado: 22-July 07 Desde: la granja Miembro Nº: 7.754 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	los que no saben sumatoria telescopica esto consiste en $TEX: $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}-a_{k+1}=(a_{1}-a_{2})+(a_{2}-a_{3})+(a_{3}-a_{4})+...+(a_{n-2}-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_n)$$ como vemos se van anulando terminos y al final queda $TEX: $a_1-a_n$$ Mensaje modificado por sí-sí el residente el Apr 20 2008, 12:10 AM -------------------- ...

Versuchung Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 20 2008, 12:16 AM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 399 Registrado: 14-August 07 Desde: Temuco Miembro Nº: 8.739 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	gracias por las respuestas pero una consulta mas.... es el unico camino que se puede tomar? desde ya gracias (las sumatorias telescópicas no las conocía.. solo las habia escuchado por ahi....) -------------------- Estudiante Ingeniería Civil Matemática - UFRO 09 Ex Alumna Instituto Victoria - IV° A 08

MeMecha* Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 20 2008, 12:24 AM Publicado: #9
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 218 Registrado: 14-August 07 Desde: Región del Bío-bio Miembro Nº: 8.723 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	gracias por las respuestas... trate de sacar el ejercicio en el campeonato... pero no conocia la sumatoria telescopica... pero, una pregunta...¿esa es la forma mas facil ? -------------------- Estudiante de Kinesiología (2009), Universidad de Concepción.-

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 20 2008, 01:04 AM Publicado: #10
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Versuchung @ Apr 19 2008, 11:07 PM) Yo tengo la misma duda... se supone que te entregaban una pista pero ia me había dado cuenta de eso.... decia : $TEX: Notar que \[<br />\frac{{1 \times 4}}<br />{{2 \times 3}} = 1 - \frac{2}<br />{{2 \times 3}}<br />, \frac{{2 \times 5}}<br />{{3 \times 4}} = 1 - \frac{2}<br />{{3 \times 4}}<br />, etc\]$ Veamos. lo que escribire ahora es exactamente lo mismo que hicieron los chiquillos antes, pero sin mencionar ni hacer aparecer "una sumatoria" (basicamente lo encuentran dificil por el lenguaje que se usa) Problema Clasico De partida, es parte de la cultura de cualquier Olimpico la siguiente suma $TEX: $\underbrace{\dfrac{1}{1\cdot 2}}_{\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{2}}}+\underbrace{\dfrac{1}{2\cdot 3}}_{\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{1}{3}}}+\underbrace{\dfrac{1}{3\cdot 4}}_{\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}}}+\cdots +\underbrace{\dfrac{1}{n(n+1)}}_{\cancel{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+1}}=1-\dfrac{1}{n+1}$$ Solución Luego todo lo demas es mas simple, pues a ustedes les dieron el "tremendo hint" que era $TEX: <br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\dfrac{1\cdot 4}{2\cdot 3} &=1-\dfrac{2}{2\cdot 3}\\<br />\dfrac{2\cdot 5}{3\cdot 4} &=1-\dfrac{2}{3\cdot 4}\\<br />\vdots\ &\ \ \ \ \ \ \ \vdots\\<br />\dfrac{100\cdot 103}{101\cdot 102} &=1-\dfrac{2}{101\cdot 102}<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ Finalmente, sumando todas estas igualdades tendremos que $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\dfrac{1\cdot 4}{2\cdot 3}+\dfrac{2\cdot 5}{3\cdot 4}+\cdots +\dfrac{100\cdot 103}{101\cdot 102}&=100-2\left(\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\dfrac{1}{101\cdot 102}\right)\\<br />&=100-2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{102}\right)\\<br />&=100-1+\dfrac{1}{51}\\<br />&=99+\dfrac{1}{51}\\<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$ Observacion Notar que en el paso en que llegue y puse $TEX: $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{102}$$ , uae la técnica del problema "clasico" que expuse al principio. Espero que ahora haya quedado mas claro y el problema se vea menos "inalcanzable" que antes. Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

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