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Prueba individual B8, Octava region

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2008, 10:23 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \textbf{Problema 1}. El n\'umero $18$ tiene la siguiente propiedad: al sumar sus d\'igitos da como resultado $1+8=9$, y $18$ se puede dividir por $9$. No todos los n\'umeros tienen esta curiosa propiedad. Por ejemplo, para el n\'umero $28$ se tiene $2+8=10$, y $28$ no se puede dividir de manera exacta por $10$. \\ \\<br />El caracol Jacinto dice que el n\'umero de dos d\'igitos \underline{m\'as grande} que tiene la propiedad de poder dividirse por la suma de sus d\'igitos es el $60$. T\'u sabes que el caracol Jacinto est\'a equivocado. El problema consiste en explicarle al caracol Jacinto que est\'a equivocado (escribe tu explicaci\'on). Adem\'as, debes encontrar el n\'umero m\'as grande que pueda dividirse por la suma de sus d\'igitos y dar un argumento que convenza al caracol (que es conocido por se muy porfiado) de que el n\'umero que tu descubriste es el mayor.\\ \\<br /><br />\textbf{Problema 2}. Antonia y Basilio quieren repartirse un pedazo de pizza de forma triangular. Siempre que tratan de ver donde realizar un corte para dividirla, alguno de ellos piensa que uno de los dos trozos es mayor que el otro. Deciden medir los lados de la pizza: $80,60$ y $30$ cent\'imetros.$ cemat12008.PNG ( 3.64k ) Número de descargas: 5 $TEX: \noindent El abuelo Anacleto, matem\'atico jubilado y aventurero, pasaba por ah\'i y ve a Basilio y Antonia discutiendo. Determin\'o el punto medio de un lado y realiz\'o el corte como en la figura de la derecha. Antonia y Basilio no est\'an del todo convencidos que con este corte los dos trozos resultantes tengan la misma cantidad de pizza. >Es justo el corte propuesto por el abuelo Anacleto? Si est\'as de acuerdo, debes dar un argumento que convenza completamente a Antonia y Basilio. Si no est\'as de acuerdo, debes proponer otra manera de cortar la pizza y convencerlos de que esta manera es equitativa. \\ \\<br /><br />\textbf{Problema 3}. En una caja hay $200$ fichas blancas y $200$ negras. El abuelo Anacleto saca de la caja $50$ fichas blancas y $100$ negras, ech\'andolas en una bolsa. Luego le pide a su nieto Daniel que saque al azar $3$ fichas de la bolsa. Si las $3$ fichas que saca son blancas, debe guardarlas en su caja y echar a la bolsa $2$ nuevas fichas negras. Si dos de las fichas son blancas y una negra, debe guardar en la caja la ficha negra y devolver las otras dos a la bolsa. Si una ficha es blanca y las otras dos son negras o si las tres son negras debe hacer lo mismo, guardar en la caja una ficha negra y devolver las otras dos a la bolsa. Se repite lo mismo una y otra vez, y la cantidad de fichas va disminuyendo, hasta que quedan s\'olo dos. >De qu\'e color son estas dos fichas?$ -------------------- asdf

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2008, 11:09 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Solucion Problema 2 $TEX: \noindent En al figura tenemos un triangulo $ABC$ cualquiera, donde hemos tomado un punto cualquiera $D$ sobre $AB$. Sea $[XYZ]$ el area del triangulo de vertices $XYZ$. De acuerdo a la figura, se tiene que $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{[BDC]}{[CDA]}$. Porque?$ $TEX: \noindent Trazamos una altura (a la que llamaremos $h$) desde $C$ hacia $AB$ (en rojo). Ahora, $[BDC]=\dfrac{BD\cdot h}{2}$. Tambien $[DAC]=\dfrac{DA\cdot h}{2}$. Luego $\dfrac{[BDC]}{[CDA]}=\dfrac{\dfrac{BD\cdot h}{2}}{\dfrac{DA\cdot h}{2}}=\dfrac{BD\cdot h}{2}\cdot \dfrac{2}{DA\cdot h}=\dfrac{BD}{DA}$, como queriamos.\\<br />Ahora, si Antonia y Basilio quieren pedazos de pizza "iguales", en el fondo lo que quieren es que ambos pedazos tienen la misma area. Segun el corte de Anacleto (ultrajubilado), se tendria que ambos pedazos tienen la misma area (por lo visto anteriormente), luego es el corte correcto el que propone.$ Comentario: Supongo que algunos pensaron que no era el corte correcto, pues un pedazo tenia lados 30, 40 y x (el lado del corte es x), y el otro pedazo tenia lados 60, 40 y x. Como 60 era mayor que 30, pensaron que "tenia mas" el segundo, pero no solo hay que fijarse en los lados, sino tambien en los angulos en ese caso. Tambien podia ocuparse la formula de Heron para ver que las areas eran iguales , pero es mucho pedir para 8vo, cuando ves que tienes una tecnica como la presentada (en realidad generalice, pero en el fondo era saber que "las transversales de gravedad dividen al triangulo en otros dos de igual area (y no necesariamente congruentes)", finaliza el problema de inmediato. Saludos

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 19 2008, 11:20 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Apr 19 2008, 11:03 PM) Comentario: Supongo que algunos pensaron que no era el corte correcto, pues un pedazo tenia lados 30, 40 y x (el lado del corte es x), y el otro pedazo tenia lados 60, 40 y x. Como 60 era mayor que 30, pensaron que "tenia mas" el segundo, pero no solo hay que fijarse en los lados, sino tambien en los angulos en ese caso. Tambien podia ocuparse la formula de Heron para ver que las areas eran iguales , pero es mucho pedir para 8vo, cuando ves que tienes una tecnica como la presentada (en realidad generalice, pero en el fondo era saber que "las transversales de gravedad dividen al triangulo en otros dos de igual area (y no necesariamente congruentes)", finaliza el problema de inmediato. Saludos Yo habia pensado eso xD, pero despues pense y me salio algo parecido cematp2.PNG ( 4.94k ) Número de descargas: 1 $TEX: $A_{XYZ}$$ es el area del triangulo XYZ. Usando la notacion de la figura, sea $TEX: $h=AD$$ la altura. El area del ABC es $TEX: $A_{ABC}=\dfrac12 \cdot h \cdot 80=40h$$ El area del AMB es $TEX: $A_{AMB}=\dfrac12 \cdot h \cdot 40=20h$$ Es facil ver que el area del AMB junto con el area del AMC es el area del ABC, es decir: $TEX: $A_{AMB}+A_{AMC}=A_{ABC} \implies 20h+A_{AMC}=40h \implies A_{AMC}=20h \implies A_{AMC}=A_{AMB}=20h$$ Saludos Mensaje modificado por p.j.t el Apr 19 2008, 11:23 PM -------------------- asdf

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 20 2008, 08:38 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Las dos soluciones están correctas. Considerando que la prueba fue aplicada para octavo año de básica, se espera que los alumnos respondan basándose en la fórmula de área, como ustedes han hecho. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2008, 09:11 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \textbf{Problema 3.}$ Sean $TEX: $B$$ las fichas blancas y $TEX: $N$$ las fichas negras. Si Daniel saca $TEX: $3B$$ , van a la bolsa $TEX: $2N$$ . Si ocurre esto, $TEX: $3B$$ se van de la bolsa. Si Daniel saca $TEX: $2B$$ y $TEX: $1N$$ , van a la bolsa $TEX: $2B$$ . Si ocurre esto, $TEX: $1N$$ se va de la bolsa. $TEX: $(2B+1N-2B=1N)$$ Si Daniel saca $TEX: $2N$$ y $TEX: $1B$$ , van a la bolsa $TEX: $1B$$ y $TEX: $1N$$ . Si ocurre esto, $TEX: $1N$$ se va de la bolsa. $TEX: ($2N+1B-(1B+1N)=1N$)$ Si Daniel saca $TEX: $3N$$ , van a la bolsa $TEX: $2N$$ . Si ocurre esto, $TEX: $1N$$ se va de la bolsa. $TEX: ($3N-2N=1N$)$ Notar que las fichas $TEX: $B$$ pueden salir en grupos de a 3 (jugada 1). Luego, como queremos que quede el menor numero de fichas, vemos cuantas fichas $TEX: $B$$ quedarán, luego de hacer la mayor cantidad posible de jugadas 1: $TEX: \noindent$16\cdot3=48<50<51=17\cdot3 \implies$ mayor numero de fichas $B=50-48=2$$ y esas 2 fichas seran las que quedarán al final (las negras se pueden sacar de la bolsa con las demas jugadas). Salu2 -------------------- asdf

Valeskita N. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2008, 08:04 AM Publicado: #6
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 8-April 08 Miembro Nº: 19.427 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA Problema 1. El número 18 tiene la siguiente propiedad: al sumar sus digitos da como resultado 1+8=9, y 18 se puede dividir por 9. No todos los numeros tienen esta curiosa propiedad. Por ejemplo, para el numero 28 se tiene 2+8=10, y 28 no se puede dividir de manera exacta por 10. El caracol Jacinto dice que el numero de dos digitos más grande que tiene la propiedad de poder dividirse por la suma de sus digitos es el 60. Tu sabes que el caracol Jacinto esta equivocado. El problema consiste en explicarle al caracol Jacinto que esta equivocado (escribe tu explicacion). Ademas, debes encontrar el numero mas grande que pueda dividirse por la suma de sus d'igitos y dar un argumento que convenza al caracol (que es conocido por se muy porfiado) de que el n\'umero que tu descubriste es el mayor. La solución a aquel problema era, según mi perspectiva, el número 90, pues la suma de sus dígitos es 9 y (90/9)=10. Además, - tras encontrar eso - se podía continuar descartando los otros números. Por lo que pude observar, varios estudiantes llegaron a esa respuesta. Y una explicación que se le puede dar al cracol Jacinto es que cualquier número que termina en 0 será divisor de ese mismo número, por lo que 70 se puede dividir por 7, por ejemplo (o 50 por 5 y así...) Saludos Mensaje modificado por Valeskita N. el May 15 2008, 08:12 AM -------------------- ¿Cómo enseñar si un estudiante se niega a conocer? ¡¡¡Es necesario pensar!!!

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