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¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad de Concepción > Álgebra III

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wenopagozar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 15 2008, 12:26 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 260 Registrado: 6-June 07 Miembro Nº: 6.476	_ Mensaje modificado por wenopagozar el Nov 30 2013, 10:42 PM

Ictio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 2 2008, 05:43 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(wenopagozar @ Apr 15 2008, 01:17 PM) $TEX: \textbf{P1.} Sea $E$ un conjunto no vacío y $\mathcal{R}$ una relación refleja y transitiva. Se define la relación $\sim$ por:<br />$$\forall a,b \in E, a \sim b \Longrightarrow a \mathcal{R} b \wedge b \mathcal{R} a$$<br />a) Probar que $\sim$ es relación de equivalencia.$ $TEX: $\boxed{PDQ:\ \sim \text{ es de equivalencia}}$\\<br />\fbox{Refleja:}<br />Notemos que del hecho de que $\mathcal R$ es refleja, se sigue que:<br />$$a\mathcal R a \wedge a\mathcal R a \implies a\sim a \quad \therefore \ \sim \text{ es refleja}$$<br />\fbox{Simétrica:}<br />PDQ: $a\sim b \implies b\sim a$\\<br />Se tiene $a\sim b$, es decir $a\mathcal R b \wedge b\mathcal R a$\\<br />i.e $b\mathcal R a \wedge a\mathcal R b \iff b\sim a$\\<br />\fbox{Transitiva:}<br />PDQ: $a\sim b \wedge b\sim c \implies a\sim c$\\<br />Se tiene $a\mathcal R b \wedge b\mathcal R a \wedge b\mathcal R c \wedge c\mathcal R b\\<br />\iff \underbrace{(a\mathcal R b \wedge b\mathcal R c)}_{a\mathcal R c} \wedge \underbrace{(c\mathcal R b \wedge b\mathcal R a)}_{c\mathcal R a}$\\<br />Lo último pues $\mathcal R$ es transitiva.<br />$$\implies a\mathcal R c \wedge c\mathcal R a \iff a\sim c$$<br />$$\therefore \ \sim \text{ es de equivalencia} \blacksquare$$$ Saludos. --------------------

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 25 2010, 07:42 PM Publicado: #3
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: % MathType!MTEF!2!1!+-<br />% feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn<br />% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr<br />% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9<br />% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x<br />% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaadaqjEa<br />% qaaiaabofacaqGUaGaaeiuaiaabgdaaaaabaGaaeyAaiaabMgacaGG<br />% PaaabaGaae4uaiaabMgacaqGGaGaaeiiaiaadggacaWGsbGaamOyai<br />% aabYcacaqGGaGaaeiCaiaab+gacaqGYbGaaeiiaiaabIgacaqGPbGa<br />% aeiCaiaab+gacaqG0bGaaeyzaiaabohacaqGPbGaae4Caiaabccaca<br />% WGIbGaamOuaiaadkgacaGGNaGaaeiiaiaabchacaqG1bGaaeyzaiaa<br />% bohacaqGGaGaaeiiaiaadkgacaGGNaGaeyicI48aamWaaeaacaWGIb<br />% aacaGLBbGaayzxaaWaaSbaaSqaaiablYJi6aqabaGccaqGSaGaaeii<br />% aiaabggacaqGZbGaaeyAaiaabccacaqGGaGaamyyaiaadkfacaWGIb<br />% 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Ahora bien : sea }}x \in \left[ b \right]_ \sim \Rightarrow xRb{\text{, pero por}} \hfill \\<br /> {\text{lo primero se sigue que }}xRa{\text{, luego }}x \in \left[ a \right]_ \sim {\text{, es decir }}\left[ b \right]_ \sim \subseteq \left[ a \right]_ \sim {\text{. Analogo para probar}} \hfill \\<br /> {\text{que }}\left[ a \right]_ \sim \subseteq \left[ b \right]_ \sim {\text{, es decir }}\left[ b \right]_ \sim = \left[ a \right]_ \sim \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{La transitividad se cumple puesto que R es transitiva}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Por los tres puntos anteriores}}{\text{, se concluye que }} \leqslant {\text{ es relacion de orden}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 24 2011, 08:12 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(wenopagozar @ Apr 15 2008, 01:26 PM) $TEX: \noindent \textbf{P2.} Sean $u_n$, $v_n$ y $w_n$ sucesiones en $\mathbb{R}$ definidas por:\\<br />$$\begin{array}{r c l} u_{n+1} & = & u_n + 2w_n \\ v_{n+1} & = & v_n \\ w_{n+1} & = & 2u_n + w_n \end{array}$$\\<br />Encuentre una fórmula para $u_n$, $v_n$ y $w_n$ en función de $n$ y $u_0$, $v_0$ y $w_0$.\\$ Sea $TEX: $A=\left({\begin{array}{{20}c}<br /> {1} & {0} & {2}\\<br /> {0} & {1} & {0}\\<br /> {2} & {0} & {1}\\ <br /> <br />\end{array}}\right)$$ . Vea que si tomamos $TEX: $x_n=\left({\begin{array}{{20}c}<br /> {u_n} \\<br /> {v_n} \\<br /> {w_n} \\ <br /> <br />\end{array}}\right)$$ , se sigue que $TEX: $Ax_n=\left({\begin{array}{{20}c}<br /> {u_n+2w_n}\\<br /> {v_n}\\<br /> {2u_n+w_n}\\ <br /> <br />\end{array}}\right)=x_{n+1}$$ . Como $TEX: $x_0=I_3x_0=A^0x_0$$ , se sigue entonces $TEX: $x_{n}=A^nx_0$$ para todo $TEX: $n\in \mathbb{Z}^+$$ . A continuación, vemos que $TEX: $A=PDP^{-1}$$ , donde $TEX: $P=\left({\begin{array}{{20}c}<br /> {0} & {1} & {1}\\<br /> {1} & {0} & {0}\\<br /> {0} & {1} & {-1}\\ <br /> <br />\end{array}}\right)$$ y $TEX: $D=\left({\begin{array}{{20}c}<br /> {1} & {0} & {0}\\<br /> {0} & {3} & {0}\\<br /> {0} & {0} & {-1}\\ <br /> <br />\end{array}}\right)$$ . Luego, $TEX: $A^n=PD^nP^{-1}=\left({\begin{array}{{20}c}<br /> {0} & {1} & {1}\\<br /> {1} & {0} & {0}\\<br /> {0} & {1} & {-1}\\ <br /> <br />\end{array}}\right)\left({\begin{array}{{20}c}<br /> {1} & {0} & {0}\\<br /> {0} & {3^n} & {0}\\<br /> {0} & {0} & {(-1)^n}\\ <br /> <br />\end{array}}\right)\left({\begin{array}{{20}c}<br /> {0} & {1} & {0}\\<br /> {\frac{1}{2}} & {0} & {\frac{1}{2}}\\<br /> {\frac{1}{2}} & {0} & {\frac{-1}{2}}\\ <br /> <br />\end{array}}\right)$$ Es decir, $TEX: $A^n=\left({\begin{array}{{20}c}<br /> {\frac{1}{2}(3^n+(-1)^n)} & {0} & {\frac{1}{2}(3^n-(-1)^n)}\\<br /> {0} & {1} & {0}\\<br /> {\frac{1}{2}(3^n-(-1)^n)} & {0} & {\frac{1}{2}(3^n+(-1)^n)}\\ <br /> <br />\end{array}}\right)$$ , de donde concluímos finalmente que $TEX: $u_{n}=\dfrac{(3^n+(-1)^n)u_0+(3^n-(-1)^n)w_0}{2}$$ , $TEX: $v_n=v_0$$ y $TEX: $w_{n}=\dfrac{(3^n-(-1)^n)u_0+(3^n+(-1)^n)w_0}{2}$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico:* Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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