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Tablerito, muy simple, no sabia donde ponerlo xD

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p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 12 2008, 12:49 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema. Tenemos un tablero de $TEX: $8 \times 8$$ , y tenemos las siguientes piezas. piezas.PNG ( 2.62k ) Número de descargas: 1 Determine si el tablero puede ser cubierto con: a) $TEX: $15$$ piezas $TEX: $A$$ y $TEX: $1$$ pieza $TEX: $B$$ b) $TEX: $1$$ pieza $TEX: $A$$ y $TEX: $15$$ piezas $TEX: $B$$ se me olvidaba, la pieza B se puede rotar salu2 Mensaje modificado por p.j.t el Apr 12 2008, 12:55 AM -------------------- asdf

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 12 2008, 12:45 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent (a) Coloreamos el tablero como se muestra en la figura. Notar que una ficha del tipo $A$ cubre siempre tres casillas blancas y una casilla negra. A su vez, una ficha del tipo $B$ siempre cubre dos casillas negras y dos casillas blancas o bien cuatro casillas blancas. Llamaremos $B_1$ a la ficha de la forma $B$ que cubre dos casillas blancas y dos casillas negras, y denotaremos por $B_2$ a aquellas fichas de la forma $B$ que cubran cuatro casillas blancas. Notemos que el numero de casillas blancas en total del tablero es $48$ y el numero total de casillas negras es $16$. Como disponemos de $15$ fichas del tipo $A$, estan cubriran $3\cdot 15=45$ casillas blancas en el tablero. Luego nos faltan por cubrir $48-45=3$ casillas blancas del tablero, pero ya sea con una ficha $B_1$ o $B_2$, esto no es posible, pues cubren respectivamente $2$ y $4$ casillas blancas cada una. En conclusion, no es posible llenar el tablero con la configuracion pedida.\\<br />(b) Ahora disponemos de solo una ficha de la forma $A$. Como dijimos anteriormente, esta cubre siempre $3$ casillas blancas. Supongamos que disponemos de $X$ fichas de la forma $B_1$. Luego tenemos $15-X$ fichas de la forma $B_2$. Como tenemos $X$ de la forma $B_1$, entonces estas cubren en total $2X$ casillas blancas (recordar que cada $B_1$ cubre dos casillas blancas y dos negras). Como tenemos $15-X$ fichas $B_2$, estas cubren en total $4(15-X)=60-4X$ casillas blancas (recordar que cada $B_2$ rellenan cuatro casillas blancas). Luego el numero total de casillas blancas que son cubiertas ya sea por $B_1$ y $B_2$ es $60-4X+2X=60-2X$, pero debemos sumarle las tres casillas blancas que cubren la ficha del tipo $A$, luego en total las fichas cubriran $60-2X+3$ casillas blancas del tablero, que es impar, pero el numero total de casillas blancas del tablero es par, absurdo si se quiere llenar. No es posible cubrir el tablero con la configuracion pedida.$ Saludos

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 12 2008, 03:16 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Apr 12 2008, 12:39 PM) $TEX: \noindent (a) Coloreamos el tablero como se muestra en la figura. Notar que una ficha del tipo $A$ cubre siempre tres casillas blancas y una casilla negra. A su vez, una ficha del tipo $B$ siempre cubre dos casillas negras y dos casillas blancas o bien cuatro casillas blancas. Llamaremos $B_1$ a la ficha de la forma $B$ que cubre dos casillas blancas y dos casillas negras, y denotaremos por $B_2$ a aquellas fichas de la forma $B$ que cubran cuatro casillas blancas. Notemos que el numero de casillas blancas en total del tablero es $48$ y el numero total de casillas negras es $16$. Como disponemos de $15$ fichas del tipo $A$, estan cubriran $3\cdot 15=45$ casillas blancas en el tablero. Luego nos faltan por cubrir $48-45=3$ casillas blancas del tablero, pero ya sea con una ficha $B_1$ o $B_2$, esto no es posible, pues cubren respectivamente $2$ y $4$ casillas blancas cada una. En conclusion, no es posible llenar el tablero con la configuracion pedida.\\<br />(b) Ahora disponemos de solo una ficha de la forma $A$. Como dijimos anteriormente, esta cubre siempre $3$ casillas blancas. Supongamos que disponemos de $X$ fichas de la forma $B_1$. Luego tenemos $15-X$ fichas de la forma $B_2$. Como tenemos $X$ de la forma $B_1$, entonces estas cubren en total $2X$ casillas blancas (recordar que cada $B_1$ cubre dos casillas blancas y dos negras). Como tenemos $15-X$ fichas $B_2$, estas cubren en total $4(15-X)=60-4X$ casillas blancas (recordar que cada $B_2$ rellenan cuatro casillas blancas). Luego el numero total de casillas blancas que son cubiertas ya sea por $B_1$ y $B_2$ es $60-4X+2X=60-2X$, pero debemos sumarle las tres casillas blancas que cubren la ficha del tipo $A$, luego en total las fichas cubriran $60-2X+3$ casillas blancas del tablero, que es impar, pero el numero total de casillas blancas del tablero es par, absurdo si se quiere llenar. No es posible cubrir el tablero con la configuracion pedida.$ Saludos Correcto señor salu2 -------------------- asdf

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