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Guía de Potencias y Raices, 2da. Parte "Raíces"

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 15 2006, 01:40 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pre-data: Link Guía de Potencias Raíces Definiremos: $TEX: $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$ "La enésima raíz de a" (si n par, a siempre positivo) $TEX: $\forall a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}-\{1\}$$ En el caso de $TEX: $\sqrt{a}$$ tendremos "la raíz cuadrada de a", con $TEX: $a$$ siempre positivo. Nota Importante: Podríamos decir que las raíces son un tema un poco más amplio que las potencias, a pesar de ser éstas casi lo mismo. Notemos que: $TEX: $\sqrt{2}=1,4142135623730950488016887242097...$$ $TEX: $\sqrt{3}=1,7320508075688772935274463415059...$$ $TEX: $\sqrt[3]{2}=1,2599210498948731647672106072779...$$ $TEX: $\sqrt[5]{7}=1,4757731615945520692769166956322...$$ Son números que tienen un desarrolo deciman infinito sin periódo o semi-periódo, por lo tanto son imposibles de escribir de la forma $TEX: $\displaystyle \frac{p}{q}$$ que los excluye del conjunto $TEX: $\mathbb{Q}$$ Es así como todos estas raíces son parte de un nuevo conjunto llamado "Conjunto de los números Irracionales" $TEX: $\mathbb{I}$$ , que además integran números tales como: $TEX: $\pi=3,1415926535897932384626433832795...$$ $TEX: $log\ 2=0,30102999566398119521373889472449...$$ $TEX: $cos\ 1^{o} =0,99984769515639123915701155881391...$$ Tener siempre presente que: $TEX: $\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}= \mathbb{R}$$ --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 15 2006, 02:25 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Propiedades de Las Raíces Para $TEX: $a,b \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$$ se tendrá: 1) $TEX: $\sqrt[n]{a^n}=a$$ Si n impar 2) $TEX: $\sqrt[n]{a^n}=\|a\|$$ Si n par 3) $TEX: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}$$ 4) $TEX: $\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$ 5) $TEX: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a}$$ 6) $TEX: $\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m$$ Importante: En los casos 3 y 4 si $TEX: $a,b \in \mathbb{R}^-$$ y n par las expresiones quedarán indeterminadas. --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 15 2006, 02:25 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Racionalización La racionalización consiste en transformar una expresión de la forma $TEX: $\displaystyle \frac{A}{B}$$ , dónde A y B son monomios o polinomios irracionales a una fracción equivalente, transformando A o B en una expresión racional. Para lograr esto, es necesario multiplicar por un $TEX: $\alpha$$ irracional ambas expresiones, es decir: $TEX: $\displaystyle \frac{A \cdot \alpha}{B \cdot \alpha}$$ . 1º Caso El factor racionalizante para $TEX: $\sqrt{x}$$ será $TEX: $\sqrt{x}$$ <span style='color:blue'>Ejemplos:</span> $TEX: $\displaystyle \frac{s}{\sqrt{t}}=\frac{s}{\sqrt{t}} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}=\frac{s\sqrt{t}}{\sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}=\frac{s\sqrt{t}}{t},\ \forall t \in \mathbb{R}^+$$ $TEX: $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{7}}=\frac{1}{2\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{1 \cdot \sqrt{7} }{2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{2 \cdot (\sqrt{7})^2}=\frac{\sqrt{7}}{2 \cdot 7}=\frac{\sqrt{7}}{14}$$ $TEX: $\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{z}}=\frac{x+y}{\sqrt{z}} \cdot \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}}=\frac{(x+y)\sqrt{z}}{\sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}=\frac{x\sqrt{z}+y\sqrt{z}}{z}, \ \forall z \in \mathbb{R}^+$$ 2º Caso El factor racionalizante de $TEX: $\sqrt[n]{x^m}$$ será $TEX: $\sqrt[n]{x^{n-m}}$$ <span style='color:blue'>Ejemplos:</span> $TEX: $\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{2}}=\frac{3}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}}=\frac{3\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2 \cdot 2^2}}=\frac{3\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2 \cdot 4}}=\frac{3\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{3\sqrt[3]{4}}{2}$$ $TEX: $\displaystyle \frac{a}{\sqrt[k]{b}}=\frac{a}{\sqrt[k]{b}} \cdot \frac{\sqrt[k]{b^{k-1}}}{\sqrt[k]{b^{k-1}}}=\frac{a\sqrt[k]{b^{k-1}}}{\sqrt[k]{b \cdot b^{k-1}}}=\frac{a\sqrt[k]{b^{k}\cdot b^{-1}}}{\sqrt[k]{b^{1+k-1}}}=\frac{ab\sqrt[k]{b^{-1}}}{\sqrt[k]{b^k}}$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{ab\sqrt[k]{b^{-1}}}{b}={a\sqrt[k]{b^{-1}}},\ \forall b \in \mathbb{R}^+$$ 3º Caso El factor racionalizante de $TEX: $\sqrt{x} \pm \sqrt{y}$$ será $TEX: $\sqrt{x} \mp \sqrt{y}$$ <span style='color:blue'>Ejemplos:</span> $TEX: $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}=\frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2+\sqrt{6}-\sqrt{6}+3}$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{5}$$ $TEX: $\displaystyle \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{x-\sqrt{xy}+\sqrt{xy}-y}$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{x-2\sqrt{xy}+y}{x-y}, \ \forall x,y \in \mathbb{R}^+, \ x \neq y$$ <span style='color:green'>Consejo:</span> Sería interesante que pudiesen ver la Guía de Productos Notables y Factorización por el 3º Caso, ya que se aplica el caso de Suma por su Diferencia --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 15 2006, 02:29 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problemas Propuestos y Resueltos Problema 1 El número por el cual debe multiplicarse $TEX: $\sqrt{3}$$ para obtener $TEX: $9$$ es: A) $TEX: $27$$ B) $TEX: $3$$ C) $TEX: $\sqrt{9}$$ D) $TEX: $\sqrt{3}$$ E) $TEX: $3\sqrt{3}$$ Solución: Llamaremos $TEX: $x$$ al número por el cuál debamos multiplicar $TEX: $\sqrt{3}$$ para que nos de $TEX: $9$$ , escribiendo algebraicamente esto: $TEX: $x\sqrt{3}=9$$ Despejamos $TEX: $x$$ dividiendo por $TEX: $\sqrt{3}$$ $TEX: $\displaystyle \frac{x\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}} \Rightarrow \displaystyle {x}=\frac{9}{\sqrt{3}}$$ Ahora podemos racionalizar $TEX: $\displaystyle \frac{9}{\sqrt{3}}$$ $TEX: $\displaystyle {x}=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}$$ Simplificando: $TEX: $\displaystyle x=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$$ Alternativa Correcta: E --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 15 2006, 02:47 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 2 El valor de $TEX: $\sqrt{0.2} \cdot \sqrt{0.5}$$ es: A) $TEX: $0.1$$ B) $TEX: $\sqrt{10}$$ C) $TEX: $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}$$ D) $TEX: $1$$ E) N.A. Solución: Transformamos los decimales a fracciones: $TEX: $\displaystyle \sqrt{0.2} \cdot \sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$$ Si no damos cuenta los indices de las raíces son iguales, por lo tanto podemos usar la propiedad 3 $TEX: $\boxed{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}}$$ $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{10}}$$ Ahora apliquemos $TEX: $\boxed{\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}$$ y siempre hay que recodar que 1 elevado a cualquier número real siempre será 1, por lo tanto $TEX: $\boxed{1^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{1}=1}$$ , entonces: $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{10}}= \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$$ Alternativa Correcta: C --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 15 2006, 03:34 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 3 ¿Cuál es el valor de $TEX: $\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$ ? A) $TEX: $\sqrt{3}$$ B) $TEX: ${3}$$ C) $TEX: $\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$ D) $TEX: $\displaystyle \frac{2}{3}$$ E) $TEX: $\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}$$ Solución: Está expresión puede ser reducida factorizando por término común: $TEX: $\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(1+1+1)}{\sqrt{3}}$$ Podemos simplicar: $TEX: $\displaystyle \frac{\sqrt{3}(1+1+1)}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(3)}{\sqrt{3}}=1 \cdot 3= 3$$ Alternativa Correcta: B --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 15 2006, 03:35 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 4 $TEX: $36^{\frac{1}{2}}-16^{0.25}+8^{\frac{1}{3}}=$$ A) $TEX: $-12$$ B) $TEX: $-28$$ C) $TEX: $6$$ D) $TEX: $28^{\frac{5}{12}}$$ E) $TEX: $0$$ Solución: Por nuestra definición de raíz: $TEX: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$$ Entonces, lo primero que debemos tenemos que transformar los exponentes decimales en fracciones. $TEX: $36^{\frac{1}{2}}-16^{0.25}+8^{\frac{1}{3}}=36^{\frac{1}{2}}-16^{\frac{1}{4}}+8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[2]{36}-\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{8}$$ Ahora transformemos esas raíces a números racionales: $TEX: $=\sqrt[2]{36}-\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{8}=\sqrt[2]{6 \cdot 6}-\sqrt[4]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}+\sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2}=\sqrt[2]{6^2}-\sqrt[4]{2^4}+\sqrt[3]{2^3}$$ $TEX: $=6-2+2=6$$ Alternativa Correcta: C --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 15 2006, 03:36 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 5 $TEX: $3\sqrt{2} \cdot (2\sqrt{2}+4\sqrt{8}-5\sqrt{18})=$$ A) $TEX: $-3\sqrt{2}$$ B) $TEX: $-30$$ C) $TEX: $3\sqrt{2}$$ D) $TEX: $4\sqrt{8}$$ E) N.A. Solución: Lo primero que haremos será "transformar" las raíces que están dentro del paréntesis de la siguiente forma: $TEX: \noindent $3\sqrt{2} \cdot (2\sqrt{2}+4\sqrt{8}-5\sqrt{18})= \\ <br />\\ <br />3\sqrt{2} \cdot (2\sqrt{2}+4\sqrt{2^3}-5\sqrt{3^2 \cdot 2}) \\<br />\\ <br />3\sqrt{2} \cdot (2\sqrt{2}+4\cdot 2\sqrt{2}-5\cdot 3\sqrt{2}) \\<br />\\ <br />3\sqrt{2} \cdot (2\sqrt{2}+8\sqrt{2}-15\sqrt{2}) \\<br />$$ Ahora factorizamos por $TEX: $\sqrt{2}$$ $TEX: \noindent $3\sqrt{2} \cdot (2\sqrt{2}+8\sqrt{2}-15\sqrt{2}) \\ <br />\\ <br />3\sqrt{2} \sqrt{2} \cdot (2+8-15) \\<br />\\<br />3 \cdot 2 \cdot -5 = -30$$ Alternativa Correcta: B Error en tipeo de la respuesta final* --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 20 2006, 10:48 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 6 El lado del cuadrado SRTQ mide "a". Se unen sus puntos medios y después los puntos y después puntos medios de los nuevo cuadrado. Entonces el área del nuevo cuadrado mide (área azul): A) $TEX: $\displaystyle \frac{a^2}{2}$$ B) $TEX: $\displaystyle \frac{a^2}{4}$$ C) $TEX: $\displaystyle \frac{\sqrt{2a^2}}{2}$$ D) $TEX: $\displaystyle \frac{3a^2}{8}$$ E) $TEX: $\displaystyle a^2\sqrt{2}$$ Solución: Editando y respondiendo! --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 20 2006, 11:16 AM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 7 $TEX: $a^{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[3]{x}$$ ; entonces $TEX: $x=$$ ? A) $TEX: $a^{\sqrt[3]{3a}}$$ B) $TEX: $a^a$$ C) $TEX: $a^{3\sqrt[3]{a}}$$ D) $TEX: $3^{3a}$$ E) N.A. Solución: Este problema a mi gusto es algo "trivial" pero es típico en un ensayo PSU, y es un típico error, este ejercicio salió en un control que me hicieron en mi curso y la mayoría se equivocó. Despejemos $TEX: $x$$ , elevando al cubo: $TEX: $a^{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[3]{x}$$ $TEX: $a^{3\sqrt[3]{a}}={x}$$ Alternativa Correcta: C --------------------

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