Guia Sistemas de Ecuaciones, evitando el desastre... Opciones

[Pasten]

Tema 1. Introduccion.

1.1 Objetivos: seamos honestos... la idea de muchos de los que lean la guia no sera aprender sino salvar la PSU, asi que diremos que el objetivo de la guia es poder defendernos en por lo menos este tema en la PSU de matematicas.

1.2 Que es un sistema de ecuaciones?
Un sistema de ecuaciones consiste en 2 o mas ecuaciones de 2 o mas incognitas. En particular, diremos que el sistema es de 2x2 si consiste en 2 ecuaciones con 2 incognitas, y de 3x3 si consiste en 3 ecuaciones con 3 incognitas. En adelante nuestras incognitas seran designadas por las ultimas letras del alfabeto a menos que se indique lo contrario.

Ejemplo 1.2.1 Sistema 2x2



Tenemos 2 incognitas, e , mientras que son coeficientes literales que suponemos conocidos (podrian ser numeros, pero resolver con esos factores literales nos da la solucion general para esa forma del sistema). Hay 2 ecuacion y 2 incognitas, es decir, el sistema es de 2x2.

Ejemplo 1.2.2 Sistema 3x3



Notemos que la tercera ecuacion del sistema tiene 2 incognitas, pero en total entre las 3 ecuaciones contamos 3 incognitas y el sistema es de 3x3

1.3 Que significa resolver un sistema de ecuaciones?
Evidentemente, resolver el sistema es encontrar los valores (literales o numericos) de las incognitas pero tiene tambien un significado geometrico. En lo que nos importa para la PSU bastenos saber que resolver un sistema de 2x2 es encontrar las coordenadas de interseccion de las dos rectas representadas por las 2 ecuaciones, mientras que resolver un sistema de 3x3 es encontrar las coordenadas del punto de interseccion de los tres planos dados por las tres ecuaciones. No asustarse, en general, una ecuacion de 2 variables determina una superficie en el espacio de las 3 variables posibles del problema (si no entiende esto no se preocupe y siga leyendo con atencion).
Por las explicacion anteriores el atento lector habra notado que dos rectas no siempre se cortan en un punto pues pueden tambien ser paralelas o coincidir, o que 3 planos no siempre concurren en un punto pues tambien pueden tener una recta comun, o pueden coincidir completamente, o bien ser paralelos. es nos lleva a ver que un sistema no siempre tiene solucion unica, es mas, no siempre tiene solucion.

1.4 Como resolverlos?
Existen varios metodos de resolucion, pero para no provocar un colapso nervioso en el lector solo veremos los mas simples; por sustitucion, igualacion y reduccion. Se explicaran con mas detalle en el proximo tema.

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Tema 2. Metodos de Resolucion

2.1 Sustitucion
Este es talves el metodo mas "intuitivo" y la primera forma que a muchos se les ocurre para resolver un sistema, lo que no significa que siempre sea la manera mas facil.
Consiste en tomar una ecuacion y despejar un incognita y expresarla en funcion de "todo lo demas", es decir, en funcion de las otras incognitas y de los coeficientes como si se tratase de la unica incognita en la ecuacion. Luego, sustituimos en las otras ecuaciones para obtener un sistema de menos ecuaciones y menos incognitas, hasta resolver alguna incognita para sustituir y seguir con el proceso, hasta resolver todas las incognitas. Veamos ejemplos para sistemas de 2x2 y 3x3.

Ejemplo 2.1.1 con un sistema 2x2



buscando siempre la simpleza, tomaremos la segunda ecuacion y despejaremos ;


ahora sustituimos el valor de en la primera ecuacion y resolvemos;


sustituimos en una de las ecuaciones del sistema, la mas simple naturalmente. En este caso usaremos nuevamente la segunda ecuacion del sistema;


Que el par satisface ambas ecuaciones queda como ejercicio para el lector.

Ejemplo 2.1.2 con un sistema de 3x3



despejamos en la primera ecuacion y obtenemos


sustituimos en la segunda ecuacion y obtenemos


sustituimos en la tercera ecuacion y obtenemos


considerando (1) y (2) obtenemos un sistema de 2x2 (que se supone, ya sabemos resolver por sustitucion)



despejamos en la primera obteniendo

sustituimos en la segunda obteniendo


sustituimos en (1) o (2) y obtenemos . Con los valores podemos sustituir en una de las 3 ecuaciones originales para obtener el valor de , y facilmente se comprueba en cualquiera de estas 3 ecuacones que .
Solucion:

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2.2 Igualacion

Consiste en tomar dos ecuaciones y en ambas despejar una variable, digamos en el primer miembro, para luego igualar los segundos miembros de cada ecuacion. Esto se repite hasta llegar a una ecuacion de una sola incognita, para resolverla y sustituir en alguna ecuacion, o respetir todo el proceso para despejar esta vez otra incognita. Recordar que no podemos "inventar" informacion, por ejmplo, si en un sistema de 3x3 con soluciones unicas usamos solo dos de las tres ecuaciones, podemos sospechar que algo anda mal si resolvemos las 3 incognitas.

Ejemplo 2.2.1 con un sistema 2x2


despejemos en ambas . Llegamos al sistema equivalente


Notar que asi que donde resolviendo obtenemos .
Ahora podriamos hacer algo similar a lo anterior, esta vez igualando par obtener . Pero nos queda mas comodo (y mas rapido) sustituir el en , obteniendo .

Solucion:

Ejemplo 2.2.2 sistema 3x3


De la primera y la ultima ecuacion obtenemos


igualamos, operamos y obtenemos
mientras que de la segunda y la ultima ecuacion del sistema obtenemos (despejando la misma incognita que antes):


igualamos y llegamos a . Por lo anterior se tiene


resolviendo obtenemos .
Sustituimos en alguna de las ecuaciones del sistema 2x2 anterior (la mas facil).
Usemos , obtenemos.
Con sustituimos en alguna de las ecuaciones del sistema 3x3 original.
Tomemos por ejemplo , luego

Solucion:

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2.3 Reduccion

Tomamos dos o mas ecuaciones del sistema y las amplificamos por algun factor conveniente (entero, fraccionario, positivo, negativo... pero nunca cero) de modo que al sumar estas igualdades miembro a miembro se elimine alguna incognita, o mejor aun, resulte una ecuacion de primer grado con una sola incognita que se supone, a estas alturas ya sabemos resolver (se supone).

Ejemplo 2.3.1 con un sistema 2x2


Amplificamos la segunda ecuacion por


Sumamos miembro a miembro obteniendo


Resolvemos y llegamos a que
Sustituyendo este valor en la segunda ecuacion del sistema original se tiene


Solucion:


Ejemplo 2.3.2 con un sistema 3x3


Reducimos la primera con la segunda amplifacando la primera por


Reducimos la primera con la tercera de amplificando la primera por


De (1) y (2) se deduce el sistema


Reducimos este sistema amplificando la segunda por


Sustituimos este valor en la segunda ecuacion de (unico motivo; porque es mas sencillo) y obtenemos


Ahora sustituimos los valores de en la tercera de


Solucion:

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3. Cantidad de Soluciones

Como el objetivo de esta guia es preparacion de PSU, nos centraremos en los sistemas de 2x2

3.1 Solucion Unica

Este es el caso mas comun, y del cual nos hemos preocupado hasta ahora. Ocurre cuando un unico par satisface las 2 ecuaciones simultaneamente.
Significado geometrico:
Como ya hemos dicho, las graficas en un plano cartesiano de ambas ecuaciones de un sistema 2x2 corresponden a rectas. Cuando un sistema tiene solucion unica, las rectas se cortan y el unico par que las satisface corresponde a las coordenadas del punto de interseccion.

Ejemplo 3.1.1 un sistema 2x2 con solucion unica


Ejemplo 3.1.2 identificar si un sistema 2x2 tiene solucion unica, sin resolver
Verifiquemos si el sistema anterior tiene solucion unica o no.
Podriamos resolverlo, pero la idea es siempre ir rapido para ganar tiempo en la PSU, asi que veremos otra manera de saberlo.
Si el sistema tiene solucion unica, entonces las graficas de sus ecuaciones son rectas que se cortan, por lo tanto las pendientes de estas rectas son distintas.
En el ejemplo;

La pendiente de ;
Expresamos la ecuacion en la forma

luego, la pendiente de esta ecuacion es

La pendiente de ;
Expresamos la ecuacion en la forma

luego, la pendiente de esta ecuacion es

Como las pendientes son distintas, las rectas se cortan y el sistema tiene solo una solucion.


3.1 Ninguna Solucion

Ocurre cuando no existe par ordenado alguno de la forma que satisfaga ambas ecuaciones del sistema 2x2 de forma simultanea.
Significado geometrico:
Las rectas dadas por las ecuaciones son paralelas, y por lo tanto, no se cortan.

Ejemplo 3.1.1 un sistema 2x2 sin solucion



Ejemplo 3.1.2 identificar si un sistema 2x2 no tiene solucion, sin intentar resolverlo
como geometricamente se trata de rectas paralelas, tienen igual pendiente pero distinto coeficiente de posicion.
Esto es, al expresar las ecuaciones en la forma sus valores de coinciden pero sus valores de son distintos.
Para el sistema del ejemplo anterior:

Comprobando facilmente lo explicado.

3.1 Infinitas Soluciones

Ocurre cuando existen infinitos pares ordenados que satisfacen las ecuaciones simultaneamente (notar que "infinitos pares ordenados" no significa que cualquier par ordenado sea solucion).
Significado geometrico:
Las graficas de ambas ecuaciones corresponden a la misma recta. Otra forma de verlo es decir que las rectas coinciden.

Ejemplo 3.1.1 un sistema 2x2 con infinitas soluciones



Ejemplo 3.1.2 identificar si un sistema 2x2 infinitas soluciones, sin resolverlo
Como geometricamente se trata de la misma recta (o de otra forma, las graficas coinciden) al expresar ambas ecuaciones en la forma deben coincidir tanto las pendientes como los cieficientes de posicion ( respectivamente).
Para el sistema del ejemplo 3.1.1 tenemos:

Luego, las rectas coinciden y la unica condicion que deben cumplir es verificar la ecuacion para la cual sabemos que existen infinitas soluciones en los reales.

[Michael]

muy buen material...
gracias.. lo estoi leyendo....

y aprendiendo... hacique despues a practicar....
habian cosas que se me habian olvidado
pero ahora se me esta refrescando la memoria...


saludos

[Felipe_ambuli]

Esto es genial...

Muy buen material...( )!!!


Se agradece...

Mensaje modificado por Felipe_ambuli el Feb 19 2007, 07:00 PM

[Santis]

Imprecionante!!! queda clarisisisisisimo!!

GRACIAS por el grandioso aporte

[XxryurickxX]

yo lo quiero dejar pa quien lo quiera bajar pos y asi mostrarselos a sus compañeros por que es muy buen material

Archivo(s) Adjunto(s)

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[「Krizalid」]

Tu idea puede potenciarse aún más.

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