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Clasificación OMCS 2008

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 2 2008, 07:40 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	XIX OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS DEL CONO SUR Prueba de selección Chilena para la Olimpiada da Países del Cono Sur 2008 2 de Abril de 2008 Problema 1: Sea $TEX: $M$$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $TEX: $ABC$$ y suponemos que la circunferencia circunscrita $TEX: $BMA$$ intersecta al segmento $TEX: $BC$$ en $TEX: $P$$ y al $TEX: $AC$$ en $TEX: $Q$$ . Demostrar que la recta $TEX: $CM$$ es perpendicular a $TEX: $PQ$$ . Problema 2: Edmundo propone el siguiente método para generar el dígito verificador del RUN de una persona: Multiplicar, de derecha a izquierda, cada dígito del RUN consecutivamente por $TEX: $2,3,4,5,6,7,2,3,...$$ , sumar luego los resultados de estas multiplicaciones y considerar el resto de la división de este resultado por $TEX: $11$$ . Edmundo define el dígito verificador como la diferencia entre $TEX: $11$$ y este último resultado. Ejemplo: $TEX: RUN: $11222333$$ . La suma de las multiplicaciones consecutivas da $TEX: $3\times 2+3\times 3+3\times 4+2\times 5+2\times 6+2\times 7+1\times 2+1\times 3=68$$ . El resto de $TEX: $68$$ para la división por $TEX: $11$$ es $TEX: $2$$ . El dígito verificador propuesto por Edmundo es entonces $TEX: $11-2=9$$ . Por su parte, Carolina plantea el siguiente método alternativo: Multiplicar, de derecha a izquierda, cada dígito del RUN consecutivamente por $TEX: $9,8,7,6,5,4,9,8,...$$ , sumar luego los resultados de estas multiplicaciones y considerar la suma alternada de los dígitos de este resultado como el dígito verificador. Ejemplos: La suma alternada de $TEX: $423$$ es $TEX: $3-2+4=5$$ . $TEX: RUN: $11222333$$ . La suma de las multiplicaciones consecutivas da $TEX: $3\times 9+3\times 8+3\times 7+2\times 6+2\times 5+2\times 4+1\times 9+1\times 8=119$$ . La suma alternada es $TEX: $9-1+1=9$$ . De esta manera el dígito verificador propuesto por Carolina es $TEX: $9$$ . Note que en estos ejemplos ambos resultados coincidieron. Demuestre que los métodos propuestos por Edmundo y Carolina siempre arrojan el mismo resultado para cualquier RUN. Problema 3: Determine todos los enteros positivos $TEX: $x$$ tales que $TEX: $x^4+6x^3+11x^2+3x+11$$ es un cuadrado perfecto. Resumen de soluciones Problema 1: Aquí, resuelto por Felipe_ambuli Problema 2: Pendiente de solución. Problema 3: Aquí, resuelto por Felipe_ambuli

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 2 2008, 08:31 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Apr 2 2008, 10:34 PM) Problema 1: Sea $TEX: $M$$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $TEX: $ABC$$ y suponemos que la circunferencia circunscrita $TEX: $BMA$$ intersecta al segmento $TEX: $BC$$ en $TEX: $P$$ y al $TEX: $AC$$ en $TEX: $Q$$ . Demostrar que la recta $TEX: $CM$$ es perpendicular a $TEX: $PQ$$ . $TEX: \noindent Sean $T=CM\cap PQ$; $R=PQ\cap BM$. Unimos $BQ$ y $PA$. Como $AM=BM=CM$ pues son circunradios entonces se tiene que $\angle{MBA}=\angle{MAB}=\alpha$; $\angle{MCA}=\angle{MAC}=\beta$; $\angle{CBM}=\angle{BCM}=\gamma$. Por ser angulos exteriores de los triangulos correspondientes se tiene ademas que $\angle{TMA}=2\beta$; $\angle{TMB}=2\gamma$. Por el ciclico $MQAB$ se sigue que $\angle{MAQ}=\angle{MBQ}=\beta\Rightarrow \angle{QBA}=\alpha-\beta$ y por el ciclico $QPBA$ obtenemos $\angle{QPA}=\alpha-\beta $. Por el ciclico $MPBA$ se obtiene $\angle{AMB}=\angle{APB}=2(\beta+\gamma)$. De los angulos interiores del triangulo $ABC$ podemos inferir que $2(\alpha +\beta +\gamma)=180$ (). Luego $\angle{MRT}=\angle{PRB}=180-(\alpha-\beta+2\beta+2\gamma+\gamma)=180-(\alpha +\beta +3\gamma)$, pero por () se tiene $180=2(\alpha+\beta+\gamma)$, entonces reemplazando $\angle{PRB}=\alpha +\beta -\gamma$. Ahora miremos los angulos interiores del triangulo $ MTR$. Sea $\angle{MTR}=\lambda$. Tenemos que $\lambda+(\alpha+\beta-\gamma)+2\gamma=\lambda+\alpha+\beta+\gamma=180$, pero por (*) se tiene que $\alpha+\beta+\gamma=90$ reemplazando se sigue que $\lambda=90$, como se queria demostrar.$ Saludos

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 2 2008, 08:53 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Apr 2 2008, 09:25 PM) $TEX: \noindent Sean $T=CM\cap PQ$; $R=PQ\cap BM$. Unimos $BQ$ y $PA$. Como $AM=BM=CM$ pues son circunradios entonces se tiene que $\angle{MBA}=\angle{MAB}=\alpha$; $\angle{MCA}=\angle{MAC}=\beta$; $\angle{CBM}=\angle{BCM}=\gamma$. Por ser angulos exteriores de los triangulos correspondientes se tiene ademas que $\angle{TMA}=2\beta$; $\angle{TMB}=2\gamma$. Por el ciclico $MQAB$ se sigue que $\angle{MAQ}=\angle{MBQ}=\beta\Rightarrow \angle{QBA}=\alpha-\beta$ y por el ciclico $QPBA$ obtenemos $\angle{QPA}=\alpha-\beta $. Por el ciclico $MPBA$ se obtiene $\angle{AMB}=\angle{APB}=2(\beta+\gamma)$. De los angulos interiores del triangulo $ABC$ podemos inferir que $2(\alpha +\beta +\gamma)=180$ (). Luego $\angle{MRT}=\angle{PRB}=180-(\alpha-\beta+2\beta+2\gamma+\gamma)=180-(\alpha +\beta +3\gamma)$, pero por () se tiene $180=2(\alpha+\beta+\gamma)$, entonces reemplazando $\angle{PRB}=\alpha +\beta -\gamma$. Ahora miremos los angulos interiores del triangulo $ MTR$. Sea $\angle{MTR}=\lambda$. Tenemos que $\lambda+(\alpha+\beta-\gamma)+2\gamma=\lambda+\alpha+\beta+\gamma=180$, pero por () se tiene que $\alpha+\beta+\gamma=90$ reemplazando se sigue que $\lambda=90$, como se queria demostrar.$ Saludos Tu solución es correcta , pero demasiado larga, te diste muchas vueltas. Aquí presento mi solución (en el spoiler) para que veas que podías ahorrar varias líneas $TEX: \noindent Sea $\angle{BAC}=\alpha$, y sea $T=\overleftrightarrow{CM}\cap\overline{PQ}$. Como $M$ es circuncentro se tiene que $\angle{BMC}=2\angle{BAC}=2\alpha$, y como $BM=MC$ por ser circunradios se tiene $\angle{MCB}=\angle{MBC}=90-\alpha$. Como $AQPB$ es c\'iclico, se sigue que $\angle{BAQ}=\angle{QPC}\Rightarrow\angle{QPC}=\alpha$. Finalmente mirando el tri\'angulo $TPC$ se tiene que $\angle{PTC}=180-(\angle{TCP}+\angle{TPC})=90$, como se ped\'ia $\blacksquare$$ De todas formas, felicitaciones y a resolver los demás problemas Saludos. PD: problema dos todo Amor ciego xD -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy)* "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 3 2008, 09:52 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Apr 2 2008, 10:34 PM) Problema 3: Determine todos los enteros positivos $TEX: $x$$ tales que $TEX: $x^4+6x^3+11x^2+3x+11$$ es un cuadrado perfecto. $TEX: \noindent Lema: Sea $x$ entero. Se tiene que $x^2\equiv 0,1$ $(mod. 3)$. En otras palabras, un cuadrado perfecto deja resto $0$ o $1$ al ser dividido en 3.\\<br />Demostracion: Como $x\equiv 0,1,2$ $(mod. 3)\Rightarrow x^2\equiv 0^2,1^2,2^2\equiv 0,1$ $(mod. 3)$, lema demostrado.<br />Entonces separemos el problema en tres casos.\\<br />Caso 1: $x\equiv 0$ $(mod.3)\Rightarrow x^4+6x^3+11x^2+3x+11\equiv 0+0+0+0+-1\equiv -1$ $(mod.3)$. No puede ser cuadrado perfecto en este caso segun el lema.\\<br />Caso 2: $x\equiv 1$ $(mod.3)\Rightarrow x^4+6x^3+11x^2+3x+11\equiv 1+0+-1+0+-1\equiv -1$ $(mod. 3)$. En este caso se sigue por el lema que la expresion no puede ser un cuadrado perfecto.\\<br />Caso 3: $x\equiv 2$ $(mod.3)\Rightarrow x^4+6x^3+11x^2+3x+11\equiv 1+0+-1+0+-1\equiv -1$ $(mod.3)$. Aqui la expresion no es cuadrado perfecto siguiendo el lema.\\<br />Como los tres casos son los unicos posibles, se sigue que la expresion nunca es un cuadrado perfecto. Luego no existe tal $x$.$ Intente por este metodo pero en un caso me confundi con la congruencia del 4 en modulo 3 y jodi... me voy a tirar a un pozo Saludos

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 3 2008, 11:04 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $\mathcal{P}_2$$ Lema: al dividir un numero por 11, su resto esta determinado por la suma alternada de sus digitos Demostracion: $TEX: Sean $b_0, b_1, \dots b_{2n}$ digitos, y notemos que $10 \equiv -1 \pmod{11}$ Luego: $b_{2n}\dots b_1b_0=10^{2n}b_{2n}+\dots+10^2b_2+10b_1+b_0\equiv b_{2n}-b_{2n-1}+\dots+b_2-b_1+b_0 \pmod{11}$. El caso para un numero impar de numeros es analogo.$ $TEX: Sea $10^7a_7+10^6a_6+10^5a_5+10^4a_4+10^3a_3+10^2a_2+10a_1+a_0$ el RUN.\\<br />Por el metodo de Edmundo tenemos que el digito verificador es\\<br />$s(E)=2a_0+3a_1+4a_2+5a_3+6a_4+7a_5+2a_6+3a_7$\\<br />y por el metodo de Carolina \\<br />$s©=9a_0+8a_1+7a_2+6a_3+5a_4+4a_5+9a_6+3a_7$\\<br />Sumamos \\<br />$s(E)+s©=11a_0+11a_1+11a_2+11a_3+11a_4+11a_5+11a_6+11a_7$\\<br />$s(E)+s©=11\displaystyle \sum_{k=0}^7 a_k \Big/ \text{aplicando mod 11}$ \\<br />$s(E)+s© \equiv 0 \pmod{11}$\\<br />Sean $r(E), r©$ los restos de $s(E), s©$ respectivamente al ser divididos por 11. Es claro que $r(E), r© < 11$, luego\\<br />$s(E)+s© \equiv r(E)+r© \equiv 0 \equiv 11 \pmod{11}$\\<br />$r©\equiv 11-r(E) \pmod{11}$\\<br />y ambos son menores que 11, por lo que se cumple la igualdad.\\<br />$r©=11-r(E)$\\<br />por el lema, $r©$ es la suma alternada de la suma resultante, es decir, de $s©$, demostrando lo pedido$ no me convence mucho pero igual nomas salu2 -------------------- asdf

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 4 2008, 12:27 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Harto más bajo que el nivel de la Preclasificatoria , por cierto ¿donde está posteada?

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 4 2008, 08:15 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Reflexionar mas el P2, ¿de verdad estan en el mismo intervalo los r(C ) y 11-r(E)?. La prueba de la preseleccion fue borrada del foro. Saludos

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 4 2008, 09:13 PM Publicado: #8
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ Apr 3 2008, 10:46 PM) $TEX: \noindent Lema: Sea $x$ entero. Se tiene que $x^2\equiv 0,1$ $(mod. 3)$. En otras palabras, un cuadrado perfecto deja resto $0$ o $1$ al ser dividido en 3.\\<br />Demostracion: Como $x\equiv 0,1,2$ $(mod. 3)\Rightarrow x^2\equiv 0^2,1^2,2^2\equiv 0,1$ $(mod. 3)$, lema demostrado.<br />Entonces separemos el problema en tres casos.\\<br />Caso 1: $x\equiv 0$ $(mod.3)\Rightarrow x^4+6x^3+11x^2+3x+11\equiv 0+0+0+0+-1\equiv -1$ $(mod.3)$. No puede ser cuadrado perfecto en este caso segun el lema.\\<br />Caso 2: $x\equiv 1$ $(mod.3)\Rightarrow x^4+6x^3+11x^2+3x+11\equiv 1+0+-1+0+-1\equiv -1$ $(mod. 3)$. En este caso se sigue por el lema que la expresion no puede ser un cuadrado perfecto.\\<br />Caso 3: $x\equiv 2$ $(mod.3)\Rightarrow x^4+6x^3+11x^2+3x+11\equiv 1+0+-1+0+-1\equiv -1$ $(mod.3)$. Aqui la expresion no es cuadrado perfecto siguiendo el lema.\\<br />Como los tres casos son los unicos posibles, se sigue que la expresion nunca es un cuadrado perfecto. Luego no existe tal $x$.$ Intente por este metodo pero en un caso me confundi con la congruencia del 4 en modulo 3 y jodi... me voy a tirar a un pozo Saludos Solución correcta. Qué lástima lo que te pasó pero queda como lección para el futuro Saludos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

p.j.t Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 4 2008, 10:26 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 766 Registrado: 6-May 07 Desde: San Pedro de la Paz, Concepción Miembro Nº: 5.639 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(The Lord @ Apr 4 2008, 08:09 PM) Reflexionar mas el P2, ¿de verdad estan en el mismo intervalo los r(C ) y 11-r(E)?. La prueba de la preseleccion fue borrada del foro. Saludos Deberian estarlo. Ya que $TEX: $r©$$ seria el digito verificador del RUN segun carolina. $TEX: $r(E)$$ siempre es menor que 11 (claro, es un resto, menor que 11, y positivo, $TEX: $r(E)>0 \implies -r(E)<0 \implies 11-r(E)<11$$ ) Pero en la suma alternada puede ocurrir que el resultado sea mayor a 9 (ejemplo: 329, suma alternada $TEX: $9-2+3=10$$ ), osea que el RUN termina con 2 digitos verificadores xDD Osea que... el enunciado esta mal? o yo estoy mal? xD salu2 -------------------- asdf

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 5 2008, 01:01 AM Publicado: #10
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El problema esta mal y debes replantear el enunciado para que puedas demostrar a lo que realmente iba dirigido el problema. Saludos

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