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> I1 Geometría, MAT1102 1S 2008
Abu-Khalil
mensaje Apr 1 2008, 07:48 AM
Publicado: #1


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TEX:  <br />\begin{center}<br />\noindent MAT1102 - Geometría\\<br />Interrogación 1 - Lunes 31 de Marzo de 2008 \end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Una torre de altura $h$ se encuentra al norte de un punto $A$ y al oeste de un punto $B$. En $A$ y $B$ los ángulos de elevación de la parte más alta de la torre son 15º y 45º, respectivamente. Si $\overline{AB}=100\sqrt{2}$ metros, demuestre que $h=50(\sqrt{3}-1)$ metros.<br />\item Demuestre que: \begin{enumerate}<br />\item $2\sec^2{\alpha}-\sec^4{\alpha}-2\csc^2{{\alpha}}+\csc^4{{\alpha}}=\dfrac{1-\tan^8{\alpha}}{\tan^4{\alpha}}.$<br />\item $ \sin{(\alpha+\beta)}\sin{\alpha-\beta}=\sin^2{\alpha}-\sin^2{\beta}.$<br />\item $ \dfrac{\cos{(2\alpha)}-\cos{(12\alpha)}}{\sin{(2\alpha)+\sin{(12\alpha)}}}=\tan{(5\alpha)}.$<br />\end{enumerate}<br />\item Resuelva (es decir, halle el lado y los ángulos interiores restantes de) el triángulo ABC, sabiendo que $a=2008$, $b=3103$, $\alpha=30º$. Además, calcule su área, los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, y la longitud de la transversal de gravedad $t_a$.<br />\item Demuestre que, si $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ son los ángulos de un triángulo ABC y<br />\[\cos{3\alpha}+\cos{3\beta}+\cos{3\gamma}=1,\]<br />entonces alguno de los tres ángulos mide 120º.<br />\end{enumerate}<br />


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mensaje Mar 21 2010, 04:53 PM
Publicado: #2


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2.a.

TEX: $\sec^2 \alpha ( 1 + 1 - \sec^2 \alpha) + \csc^2 \alpha (\csc^2 \alpha - 1 - 1)$

TEX: $(1 + \tan^2 \alpha)(1 - \tan^2 \alpha) + (\cot^2 \alpha + 1)(\cot^2 \alpha -1)$

TEX: $1 - \tan^4 \alpha + \cot^4 \alpha - 1$

TEX: $\dfrac{1 - \tan^8 \alpha}{\tan^4 \alpha}$
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_Ricardo_
mensaje Mar 21 2010, 05:34 PM
Publicado: #3


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2c

TEX: \[<br />\frac{{\cos (2\alpha ) - \cos (12\alpha )}}<br />{{\sin (2\alpha ) + \sin (12\alpha )}} = \frac{{ - 2\sin (\frac{{2\alpha  + 12\alpha }}<br />{2})\sin (\frac{{2\alpha  - 12\alpha }}<br />{2})}}<br />{{2\sin (\frac{{2\alpha  + 12\alpha }}<br />{2})\cos (\frac{{2\alpha  - 12\alpha }}<br />{2})}} = \frac{{ - 2\sin (7\alpha )\sin ( - 5\alpha )}}<br />{{2\sin (7\alpha )\cos ( - 5\alpha )}} = \frac{{2\sin (7\alpha )\sin (5\alpha )}}<br />{{2\sin (7\alpha )\cos (5\alpha )}}<br />\]<br />


TEX: \[<br />tg(5\alpha )<br />\]<br />


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walatoo
mensaje Mar 21 2010, 06:58 PM
Publicado: #4


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2b

TEX: $\displaystyle \sin(\alpha+\beta)\cdot{\sin(\alpha-\beta)}=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$

TEX: $\displaystyle \dfrac{\cos(2\beta)-\cos(2\alpha)}{2}=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$

TEX: $\displaystyle \dfrac{\cos^2\beta-\sin^2\beta-\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{2}=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$

TEX: $\displaystyle \dfrac{\sin^2\alpha-\sin^2\beta+(1-\sin^2\beta)-(1-\sin^2\alpha)}{2}=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$

TEX: $\displaystyle \dfrac{2\sin^2\alpha-2\sin^2\beta}{2}=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$

TEX: $\displaystyle \sin^2\alpha-\sin^2\beta=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$

saludos

Mensaje modificado por walatoo el Mar 21 2010, 06:59 PM


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Estudiante de 4° año ing civil mec utfsm



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NickdrA
mensaje Mar 21 2010, 10:06 PM
Publicado: #5


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TEX: P4. Supongamos que $\gamma = 120º$, entonces tenemos que $\alpha+\beta=60º$ siendo cada uno de estos ángulos mayor a $0º$, entonces inmediatamente tenemos que $\cos(3\gamma)=1$. Ahora solo debemos probar que:<br />$$\cos(3\alpha)+\cos(3\beta)=0$$<br />Para lo cual basta con aplicar prostaféresis:<br />$$\cos(3\alpha)+\cos(3\beta)=2\underbrace{\cos\left(\frac{3(\alpha+\beta)}{2}\right)}_{\cos(90º)}\cos\left(\frac{3(\alpha-\beta)}{2}\right)=0$$


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Abu-Khalil
mensaje Mar 22 2010, 08:26 AM
Publicado: #6


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CITA(NickdrA @ Mar 22 2010, 12:06 AM) *
TEX: P4. Supongamos que $\gamma = 120º$, entonces tenemos que $\alpha+\beta=60º$ siendo cada uno de estos ángulos mayor a $0º$, entonces inmediatamente tenemos que $\cos(3\gamma)=1$. Ahora solo debemos probar que:<br />$$\cos(3\alpha)+\cos(3\beta)=0$$<br />Para lo cual basta con aplicar prostaféresis:<br />$$\cos(3\alpha)+\cos(3\beta)=2\underbrace{\cos\left(\frac{3(\alpha+\beta)}{2}\right)}_{\cos(90º)}\cos\left(\frac{3(\alpha-\beta)}{2}\right)=0$$

Logic Fail ahí.


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mensaje Apr 24 2010, 09:11 PM
Publicado: #7


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4.

TEX: $\cos \left ( 3\alpha \right) + \cos \left ( 3\beta \right) + \cos \left ( 3\gamma \right) = 1$

TEX: $\cos \left ( 3\alpha \right) + \cos \left ( 3\beta \right) + \cos \left ( 3\alpha + 3\beta \right) = 1$

TEX: Como $\cos \left( \theta \right) + \cos \left( \omega \right) = 2\cos \left( \dfrac{\theta + \omega}{2} \right) \cos \left( \dfrac{\theta - \omega}{2} \right)$

TEX: Y también $\cos \left( \varphi \right) = 2 \cos^2 \left( \dfrac{\varphi}{2} \right) -1 $, tenemos que

TEX: $2\cos \left( \dfrac{3\alpha + 3\beta}{2} \right) \cos \left( \dfrac{3\alpha - 3\beta}{2} \right) - 2\cos^2 \left( \dfrac{3 \alpha + 3 \beta}{2} \right) + 1 = 1$

TEX: $2\cos \left( \dfrac{3\alpha + 3\beta}{2} \right) \left( \cos \left( \dfrac{3\alpha - 3\beta}{2} \right) - \cos \left( \dfrac{3\alpha + 3\beta}{2} \right) \right) = 0$

TEX: $2\cos \left( \dfrac{3\alpha + 3\beta}{2} \right) \left( 2 \sin \left( \dfrac{3\alpha}{2} \right) \sin \left( \dfrac{3\beta}{2} \right) \right) = 0$

TEX: $\cos \left ( 360º - \left( 90º + \dfrac{3\gamma}{2} \right) \right) \sin \left( \dfrac{3\alpha}{2} \right) \sin \left( \dfrac{3\beta}{2} \right) = 0$

TEX: $\sin \left( \dfrac{3\alpha}{2} \right) \sin \left( \dfrac{3\beta}{2} \right) \sin \left( \dfrac{3\gamma}{2} \right) = 0$

TEX: Puesto que $0 = \sin 0º$, $\sin 180º$, $\sin 360º$, $\cdots$, y que $\alpha, \beta, \gamma < 180º$

TEX: Tendremos que $\dfrac{3\alpha}{2}$, $\dfrac{3\beta}{2}$, $\dfrac{3\gamma}{2}$ = $180º$

TEX: Por lo que $\alpha = 120º$, $\beta = 120º$ o $\gamma = 120º$.
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