Guia de Ecuacion de la Recta, Para la PSU!!!! Opciones

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La recta es la línea más corta que une dos puntos y es uno de los entes geométricos fundamentales, bueno yo creo que todos saben qué es una recta o por lo menos la reconocen cuando la ven. Primero que todo es importante la siguiente fórmula:

Distancia entre dos puntos :

Consideremos dos puntos en el plano A y B, entonces la distancia entre esos dos puntos será:



Importante recalcar que se puede cambiar el orden dentro de los paréntesis, ya que como está elevado al cuadrado , es imposible que resulte negativo dentro de la raíz, y también importante recordar que las distancias son siempre positivas, es imposible que con esta fórmula quede una distancia negativa , pero en ocasiones uno hace tonteras y no se da cuenta, así que es importante recordar esto.

Bueno para la demostracion de la formula de distancia se utiliza pitagoras:

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img99.imageshack.us/img99/3551/pitagoras8ni.jpg');}" />


Supongamos que el punto P tenga coordenadas entonces:

Distancia entre P y :

(las lineas significan modulo)

Distancia entre P y :



Ahora notese que y aplicando pitagoras porque tenemos los catetos:



Espero se entienda la demostración y quede clara.

Nota: Para obtener el punto medio de la recta que une los dos puntos se utiliza esta fórmula:




Algunas definiciones importantes:

Pendiente(): m se denomina pendiente de la recta y su valor es el de la tangente del ángulo que forma la recta con el eje x, en palabras más simples , es el grado de inclinación de la recta. Si la pendiente es positiva indica que la recta es ascendente y si es negativa es descendente(a mayor , menor valor de la función).

La pendiente se puede calcular con 2 puntos cualquiera de la recta, por ej: A() y B() se calcula asi:



Caso Especial: Cuando ocurre este caso la pendiente queda indefinida.

Coeficiente de posición(): Es donde la recta corta al eje de las ordenadas (eje ) y su punto siempre será


Ecuación general de la Recta:



Donde

Ecuación Principal de la Recta :



Punto y pendiente :

Se tiene el punto P() y pendiente de una recta su ecuación será:



Rectas paralelas() y tangentes():

Para saber si dos rectas son paralelas o tangentes o simplemente se cruzan, basta fijarse en sus pendientes; supongamos la recta con pendiente y la otra recta con pendiente ,con respecto a estas pendientes se desprenden 3 casos distintos :

Caso 1:
(La flechita significa implica )
Caso 2:



Caso 3:
Tambien se puede dar el caso de dos rectas que sean colineales , por ejemplo:





Si nos fijamos estas rectas tienen la misma pendiente , pero no son paralelas entre si , ya que la primera recta al amplificarla por 2 resulta la segunda recta, por lo tanto, son colineales , siempre hay que fijarse en las amplificaciones!

Caso 4:
Si ninguno de los casos anteriores se cumple , significa que las dos rectas simplemente no son ni paralelas , ni tangentes entre si , ni menos colineales, o sea , se cruzan en algun punto, pero no forman un angulo de 90 grados.

Intersección entre dos rectas :
Para encontrar la intersección entre 2 rectas , basta resolver un pequeño sistema de ecuaciones , a modo de ejemplo :





Se resuelve el simple sistema y se obtiene que y esto significa que se cruzan estas rectas en el punto

Editable

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Ejercicio 1:

Determinar a en la recta:



A.Pase por el punto
B.Sea paralela a la recta de ecuación

Respuesta A:

Que esta recta "pase" por ese punto simplemente equivale a decir que si entonces será

Entonces nuestro problema ahora será resolver una pequeña ecuacion de primer grado:
(donde e )







Ejercicio 2:

Es la parte B del problema xD!

Bueno como vimos anteriormente para que dos rectas sean paralelas sus pendientes deben ser iguales :



Ahora tomamos la otra recta:





Ahora las pendientes:

[2+2=4]

Esta quedando súper



Te falto algo importante, pero es un detalle!

La pendiente indeterminada!

Si:



¿Qué pasará cuando ?

También revisa la fórmula de punto medio, tienes un error de tipeo en la cordenada final.

Saludos!

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Me quedo entremedio este ejercicio xD!!!

Ejercicio 3:

En la Figura ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadaderas(s) ?

screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img51.imageshack.us/img51/1458/graficoo24pk.jpg');}" />


I) La Pendiente de la Recta es igual a 5.
II) El punto (1, 15) pretenece a la recta.
III) La ecuacion de la Recta es y = 5x - 10.

I) Determinar la pendiente con los puntos que se ven claramente (con mi grafico q es pesimo xD) y

Entonces



II) Ahora solo nos queda determinar la Recta con Punto y Pendiente , para ver si el punto pertenece a la recta y asi tambien aprovechar de saber la ecuacion para comprobar de inmediato la III.





Con esto la III es falsa!!!

Ahora comprobemos la II







En resumen I y II VERDADERAS

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Problema 4:

Determinar la ecuacion de la recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta

Primero hay que determinar la pendiente de la Recta 2:

donde

Como las dos rectas son paralelas entonces por lo tanto:





Ya tenemos la pendiente ahora solo basta usar Punto y Pendiente para determinar la recta:



NUESTRA RECTA!!!

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Problema 5

¿Cuál de las siguientes opciones es la ecuacion de la recta L del gráfico de la figura?


screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img102.imageshack.us/img102/4121/grafico32za.jpg');}" />


a)

b)

c)

d)

e)

Esta es facil , la recta pasa por los puntos y entonces nos queda que:



Desarrollando un poco:





Respuesta C

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Problema 6

La ecuación de la recta está dada por:



¿Cuál debe ser el valor de para que las rectas y estén representadas por el gráfico?


screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img126.imageshack.us/img126/1539/grafico44it.jpg');}" />


a)

b)

c)

d)

e)

Primero que todo hay que determinar la pendiente de que pasa por los puntos y



Bueno ahora hay que determinar la pendiente de y ver la pequeña trampa, ya que , ahi la pendiente no es :



Ahora estamos listos para determinar ya que como las rectas son perpendiculares , la multiplicacion de sus pendientes es :





ALTERNATIVA CORRECTA D

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Problema 7

La recta : , pasa por el punto y tiene la misma pendiente de la recta . ¿Cuáles son los valores de y ?

a) y

b) y

c) y

d) y

e) y

Primero:



Entonces como tienen igual pendiente:



Ya sabemos el valor de , ahora utilizaremos los puntos para averiguar el valor de :







Alternativa correcta B

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Problema 8

La ecuacion de la Recta de la figura :


screen.width*0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaño original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img104.imageshack.us/img104/1941/grafico59sa.jpg');}" />


a)

b)

c)

d)

e)

Con el grafico nos damos cuenta que la recta pasa por los puntos y entonces ahora hay que formar nuestra ecuacion de la recta:



Desarrollando nos queda:



Alternativa correcta B

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Problema 9

La recta es perpendicular a la recta . ¿Cuál es el valor de ?

a)

b)

c)

d)

e)

Primero que todo:



Ahora:



Como las rectas son perpendiculares:







Alternativa correcta C