No se si ya este posteado

No se si ya este posteado, pero es interesante.... Resuelto por tebas [medio]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 10 2006, 09:08 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Sean $TEX: $a,b,c>0$$ tales que $TEX: $a+b+c=1$$ Probar que: $TEX: $\displaystyle \frac{ab}{1+c}+\frac{bc}{1+a}+\frac{ca}{1+b} \le \frac{1}{4}$$ Suerte -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

brandoowin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 29 2008, 07:38 PM Publicado: #2
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 42 Registrado: 29-April 08 Desde: Mexico Miembro Nº: 21.625 Sexo:	Disculpen resolvi el problema..soy nuevo en el foro soy de mexico. pero no se como poner simbolos para poner la solucion.. la igualdad se da si y solo si a=b=c=1/3 pero no puedo poner el procedimiento alguin que me ayude plis..

tebas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2008, 01:37 AM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 85 Registrado: 9-January 08 Desde: Guatemala Miembro Nº: 14.478 Sexo:	Busca en el séctor de manuales por Latex. Solución Se usara el hecho de que $TEX: $\dfrac{4}{x+y}\le \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$$ , entonces $TEX: $\dfrac{4ab}{1+c}=\dfrac{4ab}{(b+c)+(c+a)}\le ab(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a})= \dfrac{ab(a+b+2c)}{(b+c)(c+a)}= \dfrac{ab(1+c)}{(b+c)(c+a)}$$ con igualdad solo cuando $TEX: $c+a=b+c$$ es decir $TEX: $a=b$$ Note que $TEX: $$ \sum{\frac{ab(1+c)}{(b+c)(c+a)}}= \sum{\frac{ab(a+b)+abc(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}= \dfrac{2abc+\sum{ab(a+b)}}{(a+b)(b+c)(c+a)}=1$$$ Ya que $TEX: $2abc+\sum{ab(a+b)}=2abc+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2=$$ $TEX: $c^2(a+b)+ca(a+b)+bc(a+b)+ab(a+b)=$$ $TEX: $(c^2+ca+bc+ab)(a+b)=(c+a)(b+c)(a+b)$$ De donde: $TEX: $\sum{\dfrac{ab}{1+c}}\le \sum{\dfrac{ab(1+c)}{4(b+c)(c+a)}=\dfrac{1}{4}} $$ , con igualdad solo cuando $TEX: $a=b=c$$ La desigualdad es verdera también si decimos $TEX: $a,b,c\ge 0$$ aunque este caso hay otra situacion en la que se da la igualdad. Mensaje modificado por tebas el Apr 30 2008, 03:38 AM

tebas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2008, 10:50 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 85 Registrado: 9-January 08 Desde: Guatemala Miembro Nº: 14.478 Sexo:	De hecho sí, ya la habías posteado. Esta unos cuantos post de aqui, titulada como "la creatividad a prueba" pero sin suponer que $TEX: $a+b+c=1$$ , el cual es un pequeño paso pero facilita mucho realmente.

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 3 2008, 12:32 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La solucion entregada por tebas esta correcta, impecable Muchas felicitaciones

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