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Interesante, ya paso el periodo de premio.... Resuelto por ZeuS [básico]

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 10 2006, 08:48 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Sean $TEX: $x,y\in\mathbb{R}$$ Probar que $TEX: $3(x+y+1)^2+1\ge 3xy$$ Fuente: Columbia 2001 -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

ZeuS Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2006, 10:31 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 209 Registrado: 12-June 05 Desde: Sagrados Corazones Alameda Miembro Nº: 98 Nacionalidad: Sexo:	Solucion Podemos anotar, la desigualdad propuesta de una forma mas creativa. Esto es anotando el $TEX: y$ como dos veces $TEX: $\frac{y}{2}$$ . Entonces: $TEX: \noindent $\displaystyle 3 \left( \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right) + \frac{y}{2} \right)^2 + 1\ge 3xy$$ Y esto es equivalente a la siguiente desigualdad, la cual trabajaremos: $TEX: \noindent $\displaystyle 3 \left( \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right) + \frac{y}{2} \right)^2 + 1 - 3xy\ge 0$$ Desarrollamos el primer cuadrado de binomio: $TEX: \noindent $\displaystyle 3 \left( \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right)^2 + \left( xy + \frac{y^2}{2} + y \right) + \frac{y^2}{4} \right) + 1 - 3xy$ \\<br />$\displaystyle =3 \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right)^2 + 3xy + \frac{3y^2}{2} + 3y + \frac{3y^2}{4} - 3xy + 1$ \\<br />$\displaystyle =3 \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right)^2 + \frac{3y^2}{2} + 3y + \frac{3y^2}{4} + 1\ge 0$$ En conclusion, tenemos que la desigualdad propuesta es equivalente a: $TEX: \noindent $\displaystyle 3 \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right)^2 + \frac{3y^2}{2} + 3y + \frac{3y^2}{4} + 1 = 3 \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right)^2 + \left( \frac{9y^2}{4} + 3y + 1 \right) \ge 0$$ Observemos los tres ultimos terminos de la primera expresion en la ultima desigualdad establecida, estos tres terminos en conjunto equivalen al desarrollo de un cuadrado de binomio $TEX: $\displaystyle \left( \frac{3y}{2} + 1 \right)^2$$ , es decir: $TEX: \noindent $\displaystyle 3 \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right)^2 + \left( \frac{3y}{2} + 1 \right)^2 \ge 0$$ De aqui se concluye que la desigualdad es valida, puesto que si todo numero al cuadrado es mayor o igual a 0, entonces la suma de cuadrados tambien sera mayor o igual a 0 PROBLEMA LISTO! -------------------- SS - CC , SS - CC , SS - CC , SAGRADOS CORAZONES DE ALAMEDA!! T_TNIVERSIDAD DE CHILE GRACIAS POR EXISTIR!!! VAMOS LOS LEONES!!!

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2006, 10:39 PM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(ZeuS @ Feb 18 2006, 12:31 PM) Solucion Podemos anotar, la desigualdad propuesta de una forma mas creativa. Esto es anotando el $TEX: y$ como dos veces $TEX: $\frac{y}{2}$$ . Entonces: $TEX: \noindent $\displaystyle 3 \left( \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right) + \frac{y}{2} \right)^2 + 1\ge 3xy$$ Y esto es equivalente a la siguiente desigualdad, la cual trabajaremos: $TEX: \noindent $\displaystyle 3 \left( \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right) + \frac{y}{2} \right)^2 + 1 - 3xy\ge 0$$ Desarrollamos el primer cuadrado de binomio: $TEX: \noindent $\displaystyle 3 \left( \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right)^2 + \left( xy + \frac{y^2}{2} + y \right) + \frac{y^2}{4} \right) + 1 - 3xy$ \\<br />$\displaystyle =3 \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right)^2 + 3xy + \frac{3y^2}{2} + 3y + \frac{3y^2}{4} - 3xy + 1$ \\<br />$\displaystyle =3 \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right)^2 + \frac{3y^2}{2} + 3y + \frac{3y^2}{4} + 1\ge 0$$ En conclusion, tenemos que la desigualdad propuesta es equivalente a: $TEX: \noindent $\displaystyle 3 \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right)^2 + \frac{3y^2}{2} + 3y + \frac{3y^2}{4} + 1 = 3 \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right)^2 + \left( \frac{9y^2}{4} + 3y + 1 \right) \ge 0$$ Observemos los tres ultimos terminos de la primera expresion en la ultima desigualdad establecida, estos tres terminos en conjunto equivalen al desarrollo de un cuadrado de binomio $TEX: $\displaystyle \left( \frac{3y}{2} + 1 \right)^2$$ , es decir: $TEX: \noindent $\displaystyle 3 \left( x + \frac{y}{2} + 1 \right)^2 + \left( \frac{3y}{2} + 1 \right)^2 \ge 0$$ De aqui se concluye que la desigualdad es valida, puesto que si todo numero al cuadrado es mayor o igual a 0, entonces la suma de cuadrados tambien sera mayor o igual a 0 PROBLEMA LISTO! Solucion correcta...ya podemos pasar este problemilla a los resueltos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

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