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Gazeta Rumana, [medio]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 10 2006, 04:17 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Sean $TEX: $a,b,c\in\mathbb{R}_+$$ Definamos: $TEX: $\displaystyle x=a+\frac{1}{b}$$ $TEX: $\displaystyle y=b+\frac{1}{c}$$ $TEX: $\displaystyle z=c+\frac{1}{a}$$ Probar que: $TEX: $xy+yz+zx\ge 2(x+y+z)$$ Fuente: Gazeta Matematica, Rumania -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

einstenio16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 26 2010, 01:00 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 274 Registrado: 30-December 09 Miembro Nº: 64.740 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	oye Kenshin..., una pregunta, que creo que para tí parecerá trivial: el 0 lo considero como real positivo??? o no??? -------------------- Estudiante de Ingeniería Matemática USACH No... ya no He vuelto con las pilas cargaditas!!! Cursillo de Trigonometría y Geometría Analítica

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 26 2010, 01:15 PM Publicado: #3
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(einstenio16 @ Feb 26 2010, 03:00 PM) oye Kenshin..., una pregunta, que creo que para tí parecerá trivial: el 0 lo considero como real positivo??? o no??? El 0 no es un real positivo. De hecho $TEX: $\mathbb{R}=\mathbb{R}_{-}\cup \{0\}\cup \mathbb{R}_{+}$$ Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

einstenio16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 26 2010, 01:29 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 274 Registrado: 30-December 09 Miembro Nº: 64.740 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	jajaja, gracias kenshin estuve confundido sobre eso, cuando en el CMAT dijeron que el 0 era natural y real positivo, pero ahora que me lo dices me queda mas claro... -------------------- Estudiante de Ingeniería Matemática USACH No... ya no He vuelto con las pilas cargaditas!!! Cursillo de Trigonometría y Geometría Analítica

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 26 2010, 01:41 PM Publicado: #5
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(einstenio16 @ Feb 26 2010, 03:29 PM) jajaja, gracias kenshin estuve confundido sobre eso, cuando en el CMAT dijeron que el 0 era natural y real positivo, pero ahora que me lo dices me queda mas claro... Hay debates respecto a si los Naturales incluyen o no el cero (para efectos PSU no lo incluye), pero algunas Olimpiadas consideran que si. En ese sentido no queda otra que consultar si lo considera o no (en preguntas Tipo CMAT, aunque la lógica sería que no se fueran en contra de la PSU, porque el CMAT en ese caso confundiría a los alumnos). Ahora que si es o no real positivo, no hay duda alguna que no lo es (ahi no hay nada que debatir ). Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 10 2017, 09:54 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(Kenshin @ Feb 10 2006, 04:17 AM) Sean $TEX: $a,b,c\in\mathbb{R}_+$$ Definamos: $TEX: $\displaystyle x=a+\frac{1}{b}$$ $TEX: $\displaystyle y=b+\frac{1}{c}$$ $TEX: $\displaystyle z=c+\frac{1}{a}$$ Probar que: $TEX: $xy+yz+zx\ge 2(x+y+z)$$ Fuente: Gazeta Matematica, Rumania uf me costo verlo, cualquier cosa me avisan Sabemos que $TEX: $$xy+yz+zx\ge 2\left( x+y+z \right)$$$ juguemos con un poquito de algebra $TEX: $$\left( xy-x \right)+\left( yz-y \right)+\left( zx-z \right)\ge x+y+z$$$ sumando ceros $TEX: $$x\left( y-1 \right)+y\left( z-1 \right)+z\left( x-1 \right)\ge x-1+y-1+z-1+3$$$ $TEX: $$x\left( y-1 \right)-\left( y-1 \right)+y\left( z-1 \right)-\left( z-1 \right)+z\left( x-1 \right)-\left( x-1 \right)\ge 3$$$ $TEX: $$\left( x-1 \right)\left( y-1 \right)+\left( y-1 \right)\left( z-1 \right)+\left( z-1 \right)\left( x-1 \right)\ge 3$$$ $TEX: $$\left( a+\frac{1}{b}-1 \right)\left( b+\frac{1}{c}-1 \right)+\left( b+\frac{1}{c}-1 \right)\left( c+\frac{1}{a}-1 \right)+\left( c+\frac{1}{a}-1 \right)\left( a+\frac{1}{b}-1 \right)\ge 3$$$ hagamos el cambio de variable $TEX: $$\left( a,b,c \right)=\left( \frac{p}{q},\frac{q}{r},\frac{r}{p} \right)$$$ entonces nuestra desigualdad es equivalente a demostrar que $TEX: $$\left( \frac{p}{q}+\frac{r}{q}-1 \right)\left( \frac{q}{r}+\frac{p}{r}-1 \right)+\left( \frac{q}{r}+\frac{p}{r}-1 \right)\left( \frac{r}{p}+\frac{q}{p}-1 \right)+\left( \frac{r}{p}+\frac{q}{p}-1 \right)\left( \frac{p}{q}+\frac{r}{q}-1 \right)\ge 3$$$ $TEX: $$\frac{p+r-q}{q}\cdot \frac{q+p-r}{r}+\frac{q+p-r}{r}\cdot \frac{r+q-p}{p}+\frac{r+q-p}{p}\cdot \frac{p+r-q}{q}\ge 3$$$ $TEX: $$p\left( p+r-q \right)\left( q+p-r \right)+q\left( q+p-r \right)\left( r+q-p \right)+r\left( r+q-p \right)\left( p+r-q \right)\ge 3pqr$$$ $TEX: $$p\left( p+r-q \right)\left( p-\left( r-q \right) \right)+q\left( q+p-r \right)\left( q-\left( p-r \right) \right)+r\left( r+q-p \right)\left( r-\left( q-p \right) \right)\ge 3pqr$$$ $TEX: $$p\left( p^{2}-\left( r-q \right)^{2} \right)+q\left( q^{2}-\left( p-r \right)^{2} \right)+r\left( r^{2}-\left( q-p \right)^{2} \right)\ge 3pqr$$$ $TEX: $$\left( p^{3}-\left( pr^{2}+pq^{2}-2pqr \right) \right)+\left( q^{3}-\left( p^{2}q+qr^{2}-2pqr \right) \right)+\left( r^{3}-\left( rq^{2}+rp^{2}-2pqr \right) \right)\ge 3pqr$$$ $TEX: $$\left( p^{3}-p^{2}q-rp^{2}+pqr \right)+\left( q^{3}-pq^{2}-rq^{2}+pqr \right)+\left( r^{3}-pr^{2}-qr^{2}+pqr \right)\ge 0$$$ $TEX: $$p\left( p^{2}-pq-pr+qr \right)+q\left( q^{2}-pq-qr+pr \right)+r\left( r^{2}-pr-qr+pq \right)\ge 0$$$ $TEX: $$p\left( p-q \right)\left( p-r \right)qr^{2}+q\left( q-r \right)\left( q-p \right)+r\left( r-p \right)\left( r-q \right)\ge 0$$$ y esto ultimo es cierto puesto que es igual a la desigualdad de Schur para $TEX: $$p=1$$$ demostrada por la vieja escuela aca http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=3750

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