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Desigualdad con a,b,c, Resuelto por Guía Rojo [básico]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 9 2006, 06:48 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Probar que si $TEX: $a,b,c\in\mathbb{R}^+$$ entonces: $TEX: $a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)$$ El atento lector deberia darse cuenta que esta desigualdad es equivalente a otra ya posteada en el foro pero aun no resuelta completamente. PD: La desigualdad que aca se pide demostrar es equivalente(solo por manejo algebraico) a la desigualdad: Para $TEX: $a,b,c\in\mathbb{R}^+$$ $TEX: $a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)\ge 0$$ Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 14 2006, 06:32 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Kenshin @ Feb 9 2006, 08:48 AM) PD: La desigualdad que aca se pide demostrar es equivalente(solo por manejo algebraico) a la desigualdad: Para $TEX: $a,b,c\in\mathbb{R}^+$$ $TEX: $a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)\ge 0$$ sin pérdida de generalidad asumimos: $TEX: $a\geq b\geq c>0$$ $TEX: $a-c\geq b-c$$ $TEX: $a(a-c)\geq b(b-c)$$ $TEX: $a(a-b)(a-c)\geq b(b-c)(a-b)$$ $TEX: $a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)\geq 0\ \ \ \ \ (1)$$ $TEX: $c(a-c)(b-c)\geq 0$$ $TEX: $c(c-a)(c-b)\geq 0\ \ \ \ \ (2)$$ sumando $TEX: (1)$ y $TEX: (2)$ ... $TEX: $\boxed{a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0}$$ que por manejo algebraico es equivalente a la desigualdad original... o Schur para $TEX: $f(x)=x$$ ... directo jeje -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

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