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C1 Geometría, MAT1102 1S 2008

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 25 2008, 04:02 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />$ $ \\<br />MAT1102 - Control 1 Sección 1, 2 y 3 (Fila A) \\<br />25 de Marzo de 2008 \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{A1}$ Desde un monumento de 60 metros de alto, los ángulos de depresión de 2 objetos situados en el suelo al sur del monumento, son de 60º y 45º. Determine la distancia entre los objetos.\\<br />\\<br />$\boxed{A2}$ Demuestre que: \begin{equation}\begin{aligned}<br />\sin^2{\alpha}\tan{\alpha}+\cos^2{\alpha}\cot{\alpha}+\sin{2\alpha}=\tan{\alpha}+\cot{\alpha}\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />\\<br />$\boxed{A3}$ Demuestre que: \begin{equation}\begin{aligned}<br />\cos^2{\alpha}+\cos^2{\left(\frac{2\pi}{3}+\alpha\right)}+\cos^2{\left(\frac{2\pi}{3}-\alpha\right)}=\dfrac{3}{2}\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />\\<br />$ $TEX: $\\$<br />MAT1102 - Control 1 Sección 1, 2 y 3 (Fila B) \\<br />25 de Marzo de 2008 \\<br />$ $ \\<br />$\boxed{B1}$ Desde un monumento de 80 metros de alto, los ángulos de depresión de 2 objetos ubicados al oeste son de 30º y 45º. Determine la distancia entre los objetos.\\<br />\\<br />$\boxed{B2}$ Demuestre que: \begin{equation}\begin{aligned}<br />\cos^2{\alpha}\cot{\alpha}+\sin^2{\alpha}\tan{\alpha}+\sin{2\alpha}=\tan{\alpha}+\cot{\alpha}\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />\\<br />$\boxed{B3}$ Demuestre que: \begin{equation}\begin{aligned}<br />\sin^2{\alpha}+\sin^2{\left(\frac{2\pi}{3}+\alpha\right)}+\sin^2{\left(\frac{2\pi}{3}-\alpha\right)}=\dfrac{3}{2}\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />\\<br />\\<br />MAT1102 - Control 1 Sección 9 (Fila A)\\<br />25 de Marzo de 2008 \\<br />\\<br />$\boxed{A1}$ Una persona ubicada al este (punto P) de un cerro observa la cima en un angulo de 45º, luego la observa al sur de P (desde un punto Q) en 30º. Si la distancia entre P y Q son 1000m. Entonces calcule la altura de la cima del cerro.\\<br />\\<br />$\boxed{A2}$ Demuestre que:\begin{equation}\begin{aligned}<br />\dfrac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}-\cos{\alpha}}{1-\sin{\alpha}+\sin^2{\alpha}-\cos^2{\alpha}}=\cot{\alpha}\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />\\<br />$\boxed{A3}$ Si $\alpha+\beta+\gamma=\pi$. Demuestre que \begin{equation}\begin{aligned}<br />\dfrac{\sin{\alpha}+\sin{\beta}-\sin{\gamma}}{\sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma}}=\tan{\frac{\alpha}{2}}\cdot\tan{\frac{\beta}{2}}\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ Ahora si que le tengo miedo a las Ies xD PD: Agradecimiento a ironfrancisco por el de la sección 9. Mensaje modificado por Abu-Khalil el Mar 25 2008, 06:51 PM -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 25 2008, 04:45 PM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Abu-Khalil @ Mar 25 2008, 05:56 PM) $TEX: <br />$\boxed{B2}$ Demuestre que: \begin{equation}\begin{aligned}<br />\cos^2{\alpha}\cot{\alpha}+\sin^2{\alpha}\tan{\alpha}+\sin{2\alpha}=\tan{\alpha}+\cot{\alpha}\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: \begin{eqnarray}<br /> \operatorname{tg} \alpha + \cot \alpha &=& \frac{{\operatorname{sen} ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha }}<br />{{\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha }} \hfill \\<br /> &=& \frac{{\left( {\operatorname{sen} ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha } \right)^2 }}<br />{{\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha }} \hfill \\<br /> &=& \frac{{\cos ^4 \alpha }}<br />{{\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha }} + \frac{{\operatorname{sen} ^4 \alpha }}<br />{{\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha }} + \operatorname{sen} 2\alpha \hfill \\<br /> &=& \cos ^2 \alpha \cot \alpha + \operatorname{sen} ^2 \alpha \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{sen} 2\alpha\quad\blacksquare<br />\end{eqnarray}$ Saludos (Supongo que no me retan si estoy posteando aquí )

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 25 2008, 06:57 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Krizalid @ Mar 25 2008, 05:39 PM) $TEX: \begin{eqnarray}<br /> \operatorname{tg} \alpha + \cot \alpha &=& \frac{{\operatorname{sen} ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha }}<br />{{\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha }} \hfill \\<br /> &=& \frac{{\left( {\operatorname{sen} ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha } \right)^2 }}<br />{{\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha }} \hfill \\<br /> &=& \frac{{\cos ^4 \alpha }}<br />{{\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha }} + \frac{{\operatorname{sen} ^4 \alpha }}<br />{{\operatorname{sen} \alpha \cos \alpha }} + \operatorname{sen} 2\alpha \hfill \\<br /> &=& \cos ^2 \alpha \cot \alpha + \operatorname{sen} ^2 \alpha \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{sen} 2\alpha\quad\blacksquare<br />\end{eqnarray}$ Saludos (Supongo que no me retan si estoy posteando aquí ) Nah... si comprendemos que ahora somos los más entretes pq mantenemos actualizaito el foro 8) -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

ironfrancisco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 25 2008, 07:06 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.333 Registrado: 7-August 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 1.872 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Abu-Khalil @ Mar 25 2008, 07:51 PM) Nah... si comprendemos que ahora somos los más entretes pq mantenemos actualizaito el foro 8) jajaja toda la razon se nota k ai puc`s por aki somos invasion xDDD -------------------- La practica hace al maestro... Manual de Latex Programa Generador de Latex =) Eres alumno de la PUC?? visita nuestro sector!!! Descarga la PSU nº2 de Fmat (solo usuarios registrados) Agregate al grupo de FMAT en Facebook

Felip Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 25 2008, 07:07 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Gold Mensajes: 1.374 Registrado: 22-July 06 Desde: San Ramon Miembro Nº: 1.746 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(ironfrancisco @ Mar 25 2008, 08:00 PM) jajaja toda la razon se nota k ai puc`s por aki somos invasion xDDD Otro mas por acá -------------------- Segundo en olimpíadas de Física Región Metropolitana Nivel Tercero Medio, 2006. Cuarto en olimpíadas de Física Región Metropolitana Nivel Cuarto Medio, 2007. Mejor egresado Instituto Nacional generación 2007 Puntaje Nacional en PSU de Matemáticas 2007, con 850 puntos. Mejor egresado de Ingeniería Civil PUC 2014, con promedio 6,6.

danielomalmsteen Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 25 2008, 07:33 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.413 Registrado: 13-March 08 Desde: Al frente del mundo Magico Miembro Nº: 16.846 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\[<br />\begin{gathered}<br /> A2: \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \frac{{2\sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha }}<br />{{1 - \cos \alpha + \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha }} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> identidad = \sin ^2 \alpha = 1 - \cos ^2 \alpha \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \frac{{\sin \alpha (2\cos \alpha - 1)}}<br />{\begin{gathered}<br /> 1 - \cos \alpha + \cos ^2 \alpha - 1 + \cos ^2 \alpha \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \frac{{\sin \alpha (2\cos \alpha - 1)}}<br />{\begin{gathered}<br /> 2\cos ^2 - \cos \alpha \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \frac{{\sin \alpha (2\cos \alpha - 1)}}<br />{\begin{gathered}<br /> \cos \alpha (2\cos \alpha - 1) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \frac{{\sin \alpha }}<br />{{\cos \alpha }} \hfill \\ <br />\end{gathered} } \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} } \hfill \\<br /> tg\alpha \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} } \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ eso.. salu2 --------------------

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 7 2008, 02:00 PM Publicado: #7
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Respodere, la 1, aunque es un poco dificil explicar los problemas geometricos en 3D fg.png ( 5.56k ) Número de descargas: 3 $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Si AB = }}x{\text{ es la altura de la colina}}{\text{, y notemos que }}\vartriangle {\text{ABP es de angulos 30 - 60 - 90}}{\text{, }} \hfill \\<br /> {\text{por tanto no es dificil ver que AE}} = \frac{{x\sqrt 3 }}<br />{3} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Por otro lado el }}\vartriangle {\text{APQ es isoceles de base AQ}}{\text{, se sigue entonces que }}AQ = x \hfill \\<br /> {\text{Como nos dicen que el punto Q esta al sur de P}}{\text{, se puede deducir que }}\sphericalangle {\text{APQ = 90}} \hfill \\<br /> {\text{y por teorema de coseno tenemos:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> AQ^2 = AP^2 + PQ^2 - 2AP \cdot PQ \cdot \cos 90 \hfill \\<br /> x^2 = \left( {\frac{{x\sqrt 3 }}<br />{3}} \right)^2 + 1500^2 - 0 \hfill \\<br /> x = \frac{{1500\sqrt 3 }}<br />{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \boxed{AB = 750\sqrt 6 } \hfill \\<br /> \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ saludos -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 30 2009, 02:34 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{equation}\begin{aligned}<br />\frac{\sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}&=\frac{2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-\sin\left(\pi-(\alpha+\beta)\right)}{2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)+\sin\left(\pi-(\alpha+\beta)\right)}\\<br />&=\frac{2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-\sin\left(\alpha+\beta\right)}{2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)+\sin(\alpha+\beta)}\\<br />&=\frac{2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)+2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}\\<br />&=\frac{\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)+\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\tan\left(\frac{\beta}{2}\right). \ \square<br />\end{aligned}\end{equation}$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

_Ricardo_ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 5 2010, 10:41 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.345 Registrado: 27-June 08 Miembro Nº: 28.447 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	B3 $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \sin ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha \left( {\frac{2}<br />{3}\pi + \alpha } \right) + \sin ^2 \alpha \left( {\frac{2}<br />{3}\pi - \alpha } \right) = \frac{3}<br />{2} \hfill \\<br /> \sin ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha \left( {\frac{\pi }<br />{2} + \frac{\pi }<br />{6} + \alpha } \right) + \sin ^2 \alpha \left( {\frac{\pi }<br />{2} + \frac{\pi }<br />{6} - \alpha } \right) = \frac{3}<br />{2} \hfill \\<br /> \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha \left( {\frac{\pi }<br />{6} + \alpha } \right) + \cos ^2 \alpha \left( {\frac{\pi }<br />{6} - \alpha } \right) = \frac{3}<br />{2} \hfill \\<br /> \sin ^2 \alpha + \left( {\frac{{\sqrt 3 \cos \alpha }}<br />{2} - \frac{{sen\alpha }}<br />{2}} \right)^2 + \left( {\frac{{\sqrt 3 \cos \alpha }}<br />{2} + \frac{{sen\alpha }}<br />{2}} \right)^2 = \frac{3}<br />{2} \hfill \\<br /> \frac{3}<br />{2}\left( {\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha } \right) = \frac{3}<br />{2} \hfill \\<br /> \frac{3}<br />{2} = \frac{3}<br />{2} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ --------------------

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