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Guía Potencias y Raices, 1ra. Parte "Potencias"

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2006, 11:37 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Las potencias es un contenido básico para la PSU, y es un tema importante en la enseñanza media, además de ser una materia simple. Es necesario tener muy en cuenta esta materia para la PSU, ya que es un tema sencillo, pero que puede tener algunas trampas y puede llegar ser fácil equivocarse en problemas que su solución parecia "obvia". Espero que esta guía les sirva a todos los que dan la PSU este año o los que la daran pronto, y más que desearles suerte... a estudiar Potencias Consideremos $TEX: $a \in \mathbb{R}$$ y $TEX: $n \in \mathbb{N}$$ Definiremos como $TEX: $a^n$$ como: $TEX: $a^0=1$$ $TEX: $\displaystyle a^n=\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{\displaystyle n\ veces\ "a"}$$ Lo que llamaremos “ $TEX: $a$$ elevado a su enésima potencia” donde $TEX: $a$$ es la base y $TEX: $n$$ el exponente. Ejemplos: $TEX: $a^3=a\cdot a\cdot a$$ $TEX: $a^5=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a$$ $TEX: $5^0=1$$ $TEX: $10^3= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$$ $TEX: $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^3= \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{27}$$ $TEX: $(-2)^4=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=16$$ Extenderemos ahora esta definición para $TEX: $n\in\mathbb{Z}$$ . En particular nos preocuparemos cuando $TEX: $n\in\mathbb{Z}^-$$ (exponente negativo) donde la definición anterior simplemente no tiene sentido pues no podríamos pensar que: $TEX: $\displaystyle a^{-3}=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{\displaystyle -3\ veces}$$ que simplemente sería algo "absurdo". Para este caso la definición acertada será $TEX: $\displaystyle a^{-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n$$ Ejemplos: $TEX: $\displaystyle 2^{-3}=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$ $TEX: $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{3}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{9}{4}$$ $TEX: $\displaystyle (-3)^{-3}=\left(-\frac{1}{3}\right)^3=-\frac{1}{3}\cdot -\frac{1}{3}\cdot -\frac{1}{3}=-\frac{1}{27}$$ $TEX: $\displaystyle \left(-\frac{3}{5}\right)^{-4}=\left(-\frac{5}{3}\right)^{4}=-\frac{5}{3}\cdot -\frac{5}{3}\cdot -\frac{5}{3}\cdot -\frac{5}{3}=\frac{625}{81}$$ --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2006, 11:39 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Propiedades de Las Potencias 1) $TEX: $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$ , $TEX: $b \neq 0$$ 2) $TEX: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$$ 3) $TEX: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$$ 4) $TEX: $\displaystyle a^n : a^m = \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$$ , $TEX: $a \neq 0$$ 5) $TEX: $a^1=a$$ 6) $TEX: $a^0=1$$ , $TEX: $a \neq 0$$ 7) $TEX: $a^{-n}= \displaystyle \left(\frac{1}{a}\right)^n$$ , $TEX: $a \neq 0$$ 8) $TEX: $1^n=1$$ 9) $TEX: $[(a)^n]^m=a^{n \cdot m}$$ 10) $TEX: $(a)^n=b$$ 10.1) Si $TEX: $a \in \mathbb{R}^-$$ y n par, entonces $TEX: $b \in \mathbb{R}^+$$ Ejemplo: $TEX: $(-2)^4=16$$ 10.2) Si $TEX: $a \in \mathbb{R}^-$$ y n impar, entonces $TEX: $b \in \mathbb{R}^-$$ Ejemplo: $TEX: $(-2)^5=-32$$ Nota: Como se podrán a ver dado cuenta, varias de estas propiedades tienen restricciones sobre ciertos valores que puede tomar alguna variable, en estos casos todas las restricciones son para evitar la división por 0, ya que ésta no está definida en matemática. --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2006, 11:54 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problemas Resueltos Problema 1 Dar ejemplos con números simples todas las propiedades anteriormente nombradas. Solución: Propiedad 1 $TEX: $\boxed{\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}}$$ , $TEX: $b \neq 0$$ Ejemplo: $TEX: $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2^2}{3^2}$$ $TEX: $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$$ $TEX: $\displaystyle \frac{4}{9}=\frac{4}{9}$$ Propiedad 2 $TEX: $\boxed{a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n}$$ Ejemplo: $TEX: $4^2 \cdot 5^2 = (4 \cdot 5)^2$$ $TEX: $16 \cdot 25 = (20)^2$$ $TEX: $400 = 400$$ Propiedad 3 $TEX: $\boxed{a^n \cdot a^m = a^{n+m}}$$ Ejemplo: $TEX: $2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3}$$ $TEX: $4 \cdot 8 = 2^{5}$$ $TEX: $32 = 32$$ Propiedad 4 $TEX: $\boxed{\displaystyle a^n : a^m = \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}}$$ , $TEX: $a \neq 0$$ Ejemplo: $TEX: $\displaystyle 4^2 : 4^1 = \frac{4^2}{4^1} = 4^{2-1}$$ $TEX: $\displaystyle \frac{16}{4} = 4^{1}$$ $TEX: $\displaystyle 4 = 4$$ Propiedad 5 $TEX: $\boxed{a^1=a}$$ Ejemplo: $TEX: $84^1=84$$ $TEX: $(10^{5})^{1}=10^5=100000$$ Propiedad 6 $TEX: $\boxed{a^0=1}$$ , $TEX: $a \neq 0$$ Ejemplo: $TEX: $14156^0=1$$ $TEX: $\pi^0=1$$ Propuesto: Después de estudiar todas las propiedades presentes en esta guía, demostrar esta propiedad. Propiedad 7 $TEX: $\boxed{a^{-n}= \displaystyle \left(\frac{1}{a}\right)^n}$$ Ejemplo: $TEX: $3^{-1}= \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^1= \frac{1}{3}$$ $TEX: $2^{-2}= \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2= \frac{1}{4}$$ Propiedad 8 $TEX: $\boxed{1^n=1}$$ Ejemplo: $TEX: $1^{10000000000}=1$$ $TEX: $1^\pi=1$$ Propiedad 9 $TEX: $\boxed{[(a)^n]^m=a^{n \cdot m}}$$ Ejemplo: $TEX: $[(2)^3]^2=2^{3 \cdot 2}$$ $TEX: $(8)^2=2^{6}$$ $TEX: $(8)^2=2^{6}$$ $TEX: $64=64$$ --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 8 2006, 12:18 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 2 El valor de $TEX: $2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+(2^0)^n$$ es igual a: A) $TEX: 1$ B) $TEX: $2^{15+n}$$ C) $TEX: $2^{15}$$ D) $TEX: $2^6$$ E) Otro Valor Test de Matemática PAA - PCE , Carlos Mercado Shüler Solución: Fijemonos en nuestra propiedad 6 donde $TEX: $\boxed{a^0=1}$$ y apliquemosla: = $TEX: $\\\ 1+2^1+2^2+\ 2^3+\ 2^4+\ 2^5+ (1)^n$$ Ahora veamos nuestra propiedad 8 donde $TEX: $\boxed{1^n=1}$$ $TEX: $=1+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+\displaystyle \underbrace{(1)^n}$$ $TEX: $=1+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5\ +\ 1$$ Y apliquemos nuestra definición de potencia y nuestra propiedad 5 donde $TEX: $\boxed{a^1=a}$$ $TEX: $=1+\underbrace{2^1}_{2}+\underbrace{2^2}_{4}+\underbrace{2^3}_{8}+\underbrace{2^4}_{16}+\underbrace{2^5}_{32}\ +\ 1$$ $TEX: $=1+2+4+8+16+32 + 1=64$$ Como el 64 no está dentro de las alternativas, veamos los factores de 64: $TEX: $64=2 \cdot 32 = 2 \cdot 2 \cdot 16= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 2 = 2^6$$ Entonces... $TEX: $2^0+2^1+2^2+\ 2^3+\ 2^4+\ 2^5+ (2^0)^n=2^6$$ Alternativa Correcta: D --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 8 2006, 12:20 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 3 Con respecto a la potenciación se afirma siempre que: I) Es una operación conmutativa $TEX: $b^n=n^b$$ II) Es una operación asocitiva $TEX: $(b^m)^n=b^{m \cdot n}$$ III) Es distributiva con respecto a la multiplicación $TEX: $(a+b)^n=a^n+b^n$$ A) Verdadera sólo la I B) Verdadera sólo la II C) Verdadera sólo la III D) Las 3 son verdaderas E) Las 3 son falsas Test de Matemática PAA-PCE, Carlos Mercado Schüler Solución: Analicemos: I) $TEX: $b^n=n^b$$ ?? Veamos nuestra definición de potencia, ¿será lo mismo multiplicar b "n veces" a multplicar n "b veces"?, por ejemplo ¿es lo mismo multiplicar 1 un millón de veces a multiplicar un millón una vez? o ¿es lo mismo multiplicar 2 veces el 2 a multiplicar 2 veces 2? (valga la redundancia). Si nos damos cuenta con lo anteriormente dicho, la solución de este problema pasa por 2 casos, si $TEX: $b=n$$ y $TEX: $b \neq n$$ . Veamos un ejemplo de $TEX: $b=n$$ con $TEX: $b=n=1$$ $TEX: $b^n=n^b \Rightarrow 1^1=1^1 \Rightarrow 1=1$$ Comprobamos en este caso, ¿pasará lo mismo con $TEX: $b \neq n$$ ? Vemos otro ejemplo, ahora con $TEX: $b=2$$ y $TEX: $n=3$$ $TEX: $b^n=n^b$$ $TEX: $2^3=3^2$$ $TEX: $8 \neq 9$$ Sacamos por conclusión de que en este caso no se cumple, por lo tanto la proposición es falsa. II) $TEX: $(b^m)^n=b^{m \cdot n}$$ ?? Echemos un vistaso a nuestra propiedad 9 donde $TEX: $\boxed{[(a)^n]^m=a^{n \cdot m}}$$ Ya estará terminado --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 8 2006, 12:21 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 4 El valor de $TEX: $\displaystyle \left(-\frac{3}{2-\frac{1}{2}}\right)^{-2}$$ es: A) $TEX: $\displaystyle \frac{1}{4}$$ B) $TEX: $\displaystyle -\frac{1}{4}$$ C) $TEX: $4$$ D) $TEX: $-4$$ E) Otro Valor Test de Matemática PAA-PCE, Carlos Mercado Schüler Solución: Fijemonos que el exponente de esta fracción es $TEX: $-2$$ , donde $TEX: $-2 \in \mathbb{R}^-$$ lo que significa que podemos usar la propiedad 7 $TEX: $\boxed{a^{-n}=\displaystyle \left(\frac{1}{a}\right)^n}$$ y seguir operando: $TEX: $\displaystyle \left(-\frac{3}{2-\frac{1}{2}}\right)^{-2}=\left(-\frac{2-\frac{1}{2}}{3}\right)^{2}=\left(-\frac{\frac{3}{2}}{3}\right)^{2}=\left(-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3} \right)^{2}=\left(-\frac{3}{6}\right)^{2}$$ $TEX: $\displaystyle =\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$ Por último veamos nuestra propiedad 10.1, Si $TEX: $(a)^n=b$$ , $TEX: $a \in \mathbb{R}^-$$ y n par, entonces $TEX: $b \in \mathbb{R}^+$$ Por lo tanto... $TEX: $\displaystyle =\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$ $TEX: $\displaystyle =\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$$ Alternativa Correcta: A --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 8 2006, 12:23 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 5 El valor de $TEX: $\displaystyle \frac{4^{2a} \cdot 8^{a}}{2^{7a}}$$ es: A) $TEX: 0$ B) $TEX: 1$ C) $TEX: 2$ D) $TEX: $2^a$$ E) $TEX: $2^{7a}$$ Control Coef. 2 - 2º Medio - E. Guzmán - Instituto Nacional Solución: Si han estudiado las propiedades se habrán dado cuenta que no hay ninguna propiedad que nos permita operar con las potencias si no hay ni bases ni exponentes iguales, en este caso podemos igualar bases. Si nos fijamos: $TEX: $4=2^2$$ $TEX: $8=2^3$$ Entonces: $TEX: $\displaystyle \frac{4^{2a} \cdot 8^{a}}{2^{7a}}=\frac{(2^2)^{2a} \cdot (2^3)^{a}}{2^{7a}}$$ Apliquemos entonces la propiedad 9 $TEX: $\boxed{[(a)^n]^m=a^{n \cdot m}}$$ $TEX: $\displaystyle =\frac{(2^2)^{2a} \cdot (2^3)^{a}}{2^{7a}}=\frac{2^{2 \cdot 2a} \cdot (2)^{3 \cdot a}}{2^{7a}}=\frac{2^{4a} \cdot 2^{3a}}{2^{7a}}$$ Ahora usaremos la propiedad 3 $TEX: $\boxed{a^n \cdot a^m = a^{n+m}}$$ , entonces: $TEX: $\displaystyle =\frac{2^{4a} \cdot 2^{3a}}{2^{7a}}=\frac{2^{4a+3a}}{2^{7a}}=\frac{2^{7a}}{2^{7a}}$$ Con la propiedad 4 $TEX: $\boxed{\displaystyle a^n : a^m = \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}}$$ . $TEX: $\displaystyle =\frac{2^{7a}}{2^{7a}}=2^{7a-7a}=2^0=1$$ Alternativa Correcta: B --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 8 2006, 01:31 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 6 $TEX: $\displaystyle \frac{6^{-1}}{2^{-1}+3^{-1}}$$ es igual a: A) $TEX: $\displaystyle \frac{2}{5}$$ B) $TEX: $\displaystyle \frac{1}{5}$$ C) $TEX: $\displaystyle \frac{2}{5}$$ D) $TEX: $5$$ E) $TEX: N.A.$ Ensayo PSU 2005 - Instituto Nacional Solución: La solución de este problema pasa por saber operar con fracciones y saber usar una propiedad de las potencias en especial, que es la propiedad 7, $TEX: $\boxed{a^{-n}= \displaystyle \left(\frac{1}{a}\right)^n}$$ , apliquemosla: $TEX: $\displaystyle \frac{6^{-1}}{2^{-1}+3^{-1}}=\frac{(\frac{1}{6})^1}{(\frac{1}{2})^1+(\frac{1}{3})^1}$$ Que según la propiedad 5: $TEX: $\boxed{a^1=a}$$ ... $TEX: $\displaystyle =\frac{\left(\frac{1}{6}\right)^1}{\left(\frac{1}{2}\right)^1+\left(\frac{1}{3}\right)^1}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}$$ Operando... $TEX: $\displaystyle =\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3+2}{6}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{6}}$$ Ahora simplificamos esta fracción compuesta... $TEX: $\displaystyle =\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{6}}= \frac{1}{6} : \frac{5}{6}= \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{5}= \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6}= \frac{1}{5}$$ Alternativa Correcta: B --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 8 2006, 01:38 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 7 Si $TEX: $8^a=2$$ , entonces $TEX: $8^{a+3}=$$ ? A) 24 B) 32 C) 48 D) 512 E) 1024 Control Coef 1 - 2º Medio - S. Santaelices - Instituto Nacional Solución: Lo pedido es: $TEX: $8^{a+3}=?$$ Según la propiedad 3 $TEX: $\boxed{a^n \cdot a^m=a^{n+m}}$$ $TEX: $8^{a+3}=8^a \cdot 8^3$$ Entonces, como sabemos que $TEX: $8^a=2$$ , reemplazamos: $TEX: $8^a \cdot 8^3$$ $TEX: $=2 \cdot \underbrace{8^3}$$ $TEX: $=2 \cdot 512$$ $TEX: $=1024$$ Alternativa Correcta: E --------------------

2+2=4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 8 2006, 02:17 AM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 957 Registrado: 5-November 05 Miembro Nº: 360 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 8 Si $TEX: $3^{a+b}=9$$ y $TEX: $3^{a-b}=27$$ , entonces $TEX: $2a$$ es un´número: A) Entero Par B) Entero Impar C) Racional Negativo D) Irracional Positivo E) Irracional Negativo Control Coef. 2 - 2º Medio - E. Guzmán - Instituto Nacional Solución: Como se habrán dado cuenta 9 y 27 son potencias de 3, entonces: $TEX: $3^{a+b}=9 \Rightarrow 3^{a+b}=3^2$$ $TEX: $3^{a-b}=27 \Rightarrow 3^{a-b}=3^3$$ Sacamos por conclusión que si las bases son iguales a ambos lados de la igualdad, sus exponentes también deben ser iguales. Por lo tanto: $TEX: $a+b=2$$ $TEX: $a-b=3$$ Como en número pedido es $TEX: $2a$$ sumamos las 2 ecuaciones: $TEX: $a+b=2$$ $TEX: $a-b=3$$ $TEX: $a+b+a-b=2+3$$ $TEX: $2a=5$$ 5: Entero Impar Alternativa Correcta: B --------------------

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