Propuesto sqrt{n} - Foro fmat.cl

Propuesto \sqrt{n}, No asustarse, sale altiro

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 22 2008, 04:35 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Probar que si $TEX: $$n$$$ no es un cuadrado perfecto, entonces $TEX: $$\sqrt{n}$$$ es irracional. $TEX: $$n \in {\Bbb Z}^ + $$$ -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

deixo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 24 2008, 11:00 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 1.737 Registrado: 6-September 07 Miembro Nº: 9.900	$TEX: Intentare demostrar por negacion...<br /><br />no se me ocurre como demostrarlo algebraicamente... (pero si tomando cada valor de n por separado.)$ $TEX: <br />si n=2 y <br /><br />$\sqrt{n}$=$\sqrt{2}$<br /><br />si $\sqrt{2}$ fuese un numero racional, podria ser expresado de la forma $\frac{a}{b}$, tal que<br /><br /><br />$\sqrt{2}$=$\frac{a}{b}$ (en donde $\frac{a}{b}$ es una fracion irreductible)<br /><br />luego despejamos a, y nos queda:<br /><br /><br />$\sqrt{2}$b=a /()$^2$<br /><br />2b$^2$=a$^2$ (de ahi sacamos que a es multiplo de 2, o sea a es 2 multiplicado por algo, y a ese algo le pondremos x ...*recuerdenlo)<br /><br />next...<br /><br /><br />despejamos b, y nos queda<br /><br />b=$\frac{a}{\sqrt{2}}$ <br /><br /><br />b=$\frac{2x}{\sqrt{2}}$ <br /><br />b$^2$=$\frac{4x^2}{2}$ /()$^2$<br /><br /><br />b$^2$=2x$^2$ <br /><br /><br />entonces b es par, y eso nos lleva a una contradiccion porque anteriormente habiamos dicho que la fraccion $\frac{a}{b}$ era irreductible... y por negacion diriamos que $\sqrt{2}$ no es racional... <br /><br />y creo que ese criterio se puede ocupar con todos los naturales..., ahora ojala que alguien lo demostrara algebraicamente<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />$

Uchiha Itachi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 24 2008, 12:11 PM Publicado: #3
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.857 Registrado: 2-January 08 Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> n{\text{ No es cuadrado perfecto}} \Rightarrow \sqrt n \in \mathbb{Q}^* \hfill \\<br /> con:n \in \mathbb{Z}^ + \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Demostrando por contraposicion :}} \hfill \\<br /> \sqrt n \notin \mathbb{Q}^* \Rightarrow n{\text{ es cuadrado perfecto}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{DEM:}} \hfill \\<br /> {\text{Si }}\sqrt {\text{n}} {\text{ no es irracional }}{\text{, entonces se tiene que }}\sqrt {\text{n}} {\text{ es de la forma :}} \hfill \\<br /> \sqrt n = \frac{a}<br />{b} \to {\text{Elevando al cuadrado :}} \hfill \\<br /> n = \left( {\frac{a}<br />{b}} \right)^2 \to {\text{Entonces se tiene que n es un cuadrado perfecto }}{\text{, lo que}} \hfill \\<br /> {\text{corrobora la tesis }}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{q}}{\text{.e}}{\text{.d}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{saludos}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ -------------------- Candidato a doctor en Cs. De la ingeniería mención modelamiento matemático, DIM. Universidad de Chile Magíster en ciencias mención matemática, Profesor de estado en matemáticas y computación, Licenciado en educación matemáticas y computación, USACH

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 24 2008, 03:49 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	La demostración va por otro lado, análogo a lo presentado por deixo. Es decir, es recomendable hacerla por contradicción. Su generalización se basa en la existencia de una única raiz de cierta forma. Es la única pista que voy a dar. Saludos -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 7 2009, 10:00 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ahora si es posible aplicar esto. $TEX: Consideremos el polinomio $p(x)=x^2-n$, luego como $n$ no es un cuadrado perfecto, se verifica facilmente el criterio de Eisenstein, entonces $p$ es irreductible en ${\Bbb Q}$. Supongamos que $\sqrt{n}$ es racional, entonces $p(x)=(x+\sqrt{n})(x-\sqrt{n})$ lo cual claramente es una contradiccion, puesto que $p$ es irreductible en los racionales, por lo tanto $\sqrt{n}$ es irracional.<br />$ saludos Mensaje modificado por snw el Mar 7 2009, 10:01 AM -------------------- blep

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