Una operacion muy especial

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Una operacion muy especial, Resuelto por Caetano

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Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2006, 05:53 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Consideremos $TEX: $\mathcal{A}=\{3,4,12\}$$ como nuestro conjunto de partida. En cada "paso" escogeremos dos elementos $TEX: $a,b\in\mathcal{A}$$ y los cambiaremos por $TEX: $0.6a-0.8b$$ y $TEX: $0.8a+0.6b$$ . Despues el "nuevo" $TEX: $\mathcal{A}$$ considerara estos dos numeros mas el numero que no fue modificado. Decidir si posible,despues de cierto numero de pasos, llegar al conjunto $TEX: $\{4,6,12\}$$ . ¿Y sera posible llegar a un conjunto de la forma $TEX: $\{x,y,z\}$$ tal que $TEX: $\|x-4\|,\|y-6\|,\|z-12\|$$ sea menor que $TEX: $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}$$ ? -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 9 2006, 03:14 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $a'=\displaystyle\frac{3a-4b}{5}$$ y $TEX: $b'=\displaystyle\frac{4a+3b}{5}$$ . Notemos que: $TEX: $(a')^2+(b')^2=\left(\displaystyle\frac{3a-4b}{5}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{4a+3b}{5}\right)^2$$ $TEX: $=\displaystyle\frac{9a^2+16b^2-24ab}{25}+\displaystyle\frac{16a^2+9b^2+24ab}{25}$$ $TEX: $=\displaystyle\frac{25a^2+25b^2}{25}=a^2+b^2$$ Y por lo tanto, si a traves de una serie de operaciones, llegamos a una terna $TEX: $\{x,y,z\}$$ tendremos que $TEX: $x^2+y^2+z^2=3^2+4^2+12^2=169$$ , y por lo tanto no es posible llegar a la terna $TEX: $\{4,6,12\}$$ . Ahora, si tenemos que $TEX: $\|\alpha-\beta\|<\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}$$ , entonces $TEX: $\alpha>\beta-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}$$ , por lo tanto: $TEX: $x^2>\left(4-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2=16+\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{8}{\sqrt{3}}$$ $TEX: $y^2>\left(6-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2=36+\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{12}{\sqrt{3}}$$ $TEX: $z^2>\left(12-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2=144+\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{24}{\sqrt{3}}$$ y sumando las 3 desigualdades tenemos que: $TEX: $x^2+y^2+z^2>197-\displaystyle\frac{44}{\sqrt{3}}$$ $TEX: $\Rightarrow$ $169>197-\displaystyle\frac{44\sqrt{3}}{3}$$ Pero no es dificil convencerse de que $TEX: $\displaystyle\frac{44\sqrt{3}}{3}<26$$ y por lo tanto tendriamos que $TEX: $169>197-26=171$$ lo que es una contradiccion. --------------------

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 23 2007, 02:56 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Muy buena la solución entregada por Caetano, es simple y bien explicada, vamos a resueltos

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