Propuesto geometria (Aun no resuelto) - Foro fmat.cl

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Propuesto geometria (Aun no resuelto), en realidad bien dificil xD, ojala alguien lo saque

CyedqD Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 21 2008, 06:01 PM Publicado: #1
Coordinador General Gran Maraton PSU Final 2008 Grupo: Moderador Mensajes: 1.607 Registrado: 11-June 07 Desde: Peñalolen, Stgo Miembro Nº: 6.641 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Segun la figura: <br />$ $TEX: $AD = 12$, y $\sqrt 5 \left( {\overline {DE} } \right) = 3\left( {\overline {EF} } \right)$$ $TEX: Hallar CB$ Dif22.PNG ( 17.96k ) Número de descargas: 74 $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> a)2\sqrt {10} \hfill \\<br /> b)2\sqrt 5 \hfill \\<br /> c)4\sqrt {10} \hfill \\<br /> d)4\sqrt 5 \hfill \\<br /> e)3\sqrt {10} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Mensaje modificado por CyedqD el Apr 8 2008, 04:54 PM --------------------

Ma Lin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2010, 04:53 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 309 Registrado: 2-December 08 Desde: Cerro Navia Miembro Nº: 40.183 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Veamos que tal... En la figura adjunta se tiene una circunferencia con centro en A y de radio $TEX: $r$$ . Sea: $TEX: $AF = r-a$; $FE = a$; $CF = c$; $FB = d$ y $ED = e$$ Utilizando las cuerdas $TEX: $BC$$ y $TEX: $GE$$ en el teorema de las cuedas, se obtiene: $TEX: $a\cdot (2r-a) = c\cdot d$ \ \ (1)$ Claramente el cuadrilátero $TEX: $ABDC$$ es cíclico, por lo cual $TEX: $\angle{DAB}= \angle{BCD}$; $\angle{ADC}= \angle{ABC}$$ . Luego se puede deducir que los triángulos $TEX: $ABF$$ y $TEX: $CDF$$ son semejantes, entonces $TEX: $\displaystyle\frac{r-a}{d} = \displaystyle\frac{c}{a+e}$$ $TEX: $ \Rightarrow (r-a)\cdot (a+e) = c\cdot d$ \ \ (2)$ Luego se igualan el primer miembro de la ecuación (1) y (2), $TEX: $ (r-a)\cdot (a+e) = a\cdot (2r-a) $$ $TEX: $ \Rightarrow r\cdot a = r\cdot e - a\cdot e$ \ \ (3)$ Además se tienen los siguientes datos (mencionados en el enunciado): $TEX: $r+ e = 12$ \ \ (4)$ $TEX: $\sqrt{5} \cdot e = 3\cdot a$ \ \ (5)$ Luego podemos formar un sistema de 3 ecuaciones [(3), (4) y (5)] con tres incógnitas (r, a y e). Al despejar el valor de $TEX: $r$$ , se llega a la siguiente ecuación de 2do grado: $TEX: $r^{2} - r(12 + 4\sqrt{5}) + 48\sqrt{5} = 0 $$ Resolviendo la ecuación se obtienen dos valores para $TEX: $r$$ : 12 y $TEX: $4\sqrt{5}$$ . Claramente el valor de $TEX: $r$$ no puede ser 12, ya que $TEX: $e$$ es distinto de cero. Por lo tanto, $TEX: $r = 4\sqrt{5}$$ Para finalizar aplicamos el teorema de pitágoras en el triángulo $TEX: $ABC$$ , y obtenemos: $TEX: $CB = 4\sqrt{10}$$ Alternativa C Saludos!!!! dibujo.JPG ( 11.46k ) Número de descargas: 9

Tela Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2010, 06:32 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.032 Registrado: 25-March 09 Desde: Quinta Normal Miembro Nº: 46.018 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Tu Solución es correcta y muy bien redactada por lo demás Además, ocupas sólo PSU, no así mi posible solución: $TEX: Como bien lo decia Ma Lin, el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico, puesto que $\angle CAB + \angle BDC = 180º$$ $TEX: Sabemos que $\angle ABC = 45º$ y por el argumento anterior $\angle CDA = 45º$ y se tendrá que $\overline{DF}$ es bisectriz del $\angle CDB$$ $TEX: También sabemos que $\angle CAD = \angle CBD$. Notemos que $\angle CBE = \dfrac{1}{2} \angle CAE$ por ser ángulos inscrito y central respectivamente. Entonces, se obtiene que $\angle CBE = \angle DBE$, lo cual nos dice que la recta que pasa por los puntos $B$ y $E$, es bisectriz del $\angle CBD$.$ $TEX: Por lo tanto, $E$ es el Incentro del $\vartriangle CDB$.$ $TEX: Por Ptolomeo, $\overline{AB} \cdot \overline{CD} + \overline{CA} \cdot \overline{BD} = \overline{CB} \cdot \overline{DA}$$ $TEX: $\Rightarrow r(\overline{CD} + \overline{DB}) = 12 \overline{CB}$$ $TEX: $\Rightarrow \overline{CB} \cdot \dfrac{\overline{CD} + \overline{DB}}{\overline{CB}} = 12\sqrt{2}$$ $TEX: Luego, por teorema del Incentro, $\dfrac{\overline{DE}}{\overline{EF}} = \dfrac{\overline{CD} + \overline{DB}}{\overline{CB}} = \dfrac{3}{\sqrt{5}}$$ $TEX: Reemplazamos, $\overline{CB} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{5}} = 12 \sqrt{2}$$ $TEX: Donde $\overline{CB} = 4 \sqrt{10}$$ Teorema de Ptolomeo: Teorema del Incentro: Buscandolo... En fin, el problema se dá por resuelto después de casi 2 años, mis felicitaciones Ma Lin

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2010, 07:59 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Yo no veo claramente que ABCD sea cíclico -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2010, 08:02 PM Publicado: #5
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Huh? Por qué no? Yo lo veo cíclico.

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 12 2010, 12:30 PM Publicado: #6
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	QUOTE(Krizalid @ Mar 11 2010, 09:02 PM) Huh? Por qué no? Yo lo veo cíclico. Yo también sé que es cíclico, pero una pequeña demostración por parte de Ma Lin no sería malo (de todos modos la demostración sale en una línea xD, pero tal vez para los que se inician no sea tan evidente) -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 12 2010, 12:34 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Naxoo @ Mar 12 2010, 03:30 PM) Yo también sé que es cíclico, pero una pequeña demostración por parte de Ma Lin no sería malo (de todos modos la demostración sale en una línea xD, pero tal vez para los que se inician no sea tan evidente) Es evidente xD

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 12 2010, 12:55 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	lo que pasa es que los criterios de ciclicidad, si bien son sencillos y evidentes como dicen ahi, no son tan visitados por el comun de la gente y por tanto no saben bien donde mirar; a este punto es donde se considera "no evidente". para quien se complique aun la existencia con dicha afirmacion note simplemente que el cuadrilatero tiene dos angulos opuestos suplementarios. ¿Costaba tanto decir eso? -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 12 2010, 01:05 PM Publicado: #9
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	De hecho ni siquiera costaba decirlo, pues está en la segunda línea de la solución de Tela.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 29 2010, 12:15 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Tela @ Mar 11 2010, 06:32 PM) Teorema del Incentro: Buscandolo... $TEX: $ $\\<br />No es la gran cosa despu\'es que se comprende bien la demostraci\'on por paralelismo del teorema de la bisectriz.\\<br />\color{blue}\textbf{\textsf{Teorema}}:\color{black} (\textit{del inscentro}) Sea $\Delta ABC$ cualquiera y sea $D\in\overline{AB}$ tal que $\overline{CD}$ bisecta a $\angle ACB$ y sea $I\in\overline{CD}$ el inscentro de $\Delta ABC$, entonces<br />\begin{eqnarray}<br />\dfrac{\overline{CI}}{\overline{ID}}=\dfrac{\overline{AC}+\overline{BC}}{\overline{AB}}<br />\end{eqnarray}<br />\color{blue}\textbf{\textsf{Demostraci\'on}}:\color{black} Proyectamos $\overline{BC}$ m\'as all\'a de $C$ hasta un punto $X$ tal que $\overline{AX}\|\|\overline{CD}$, de este modo tenemos que $\angle DCB=\angle AXB$ y como<br />\begin{eqnarray}<br />\angle XAB\underbrace{=}_{(1)}\angle CDB\underbrace{=}_{\textrm{(2)}}\angle CAB+\angle ACD\underbrace{=}_{(3)}\angle CAB+\angle DCB<br />\end{eqnarray}<br />donde\\<br />(1) es por paralelismo.\\<br />(2) es por \'angulo exterior no adyacente\\<br />(3) es porque $\overline{CD}$ es bisectriz de $\angle ACB$\\<br />podemos deducir que <br />\begin{eqnarray}<br />\angle XAC&=&\angle XAB-\angle CAB\\<br />&=&(\angle CAB+\angle DCB)-\angle CAB\\<br />&=&\angle DCB=\angle AXB<br />\end{eqnarray}<br />por tanto $\Delta XAC$ es is\'osceles en $C$.\\<br />El teorema de Thales nos dice por un lado que $\color{red}\dfrac{\overline{BC}}{\overline{BD}}=\color{black}\dfrac{\overline{BX}}{\overline{BA}}=\dfrac{\overline{BC}+\overline{AC}}{\overline{BA}}$.\\<br />Pero tambi\'en, notando que $\overline{BI}$ bisecta a $\angle ABC$ tenemos que el teorema de la bisectriz nos dice adem\'as que $\dfrac{\overline{BC}}{\overline{CI}}=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{DI}}\Longleftrightarrow \color{red}\dfrac{\overline{BC}}{\overline{BD}}=\color{black}\dfrac{\overline{CI}}{\overline{DI}}$.\\<br />Juntando los lados derechos de cada igualdad tenemos al fin que $\dfrac{\overline{CI}}{\overline{ID}}=\dfrac{\overline{AC}+\overline{BC}}{\overline{AB}}$, lo cual demuestra el teorema.<br />$ -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

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