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Propuesto 16, Demostración

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 21 2008, 03:29 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Probar que Probar que , donde es cualquier curva encerrada en el origen Para eso pueden usar la Fórmula de Cauchy Mensaje modificado por neo shykerex el Mar 21 2008, 11:03 PM -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

PaulRS Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 22 2008, 09:37 AM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 156 Registrado: 11-June 07 Miembro Nº: 6.615 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: $$<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Sea }}f\left( z \right) = \frac{{e^{x \cdot z} }}<br />{{z^{n + 1} }}{\text{ demostraremos primero que: res}}_{z = 0} f\left( z \right) = 2\pi \cdot i \cdot \left( {\tfrac{{x^n }}<br />{{n!}}} \right) \hfill \\<br /> {\text{En efecto}}{\text{, usando la expansi\'o n de la exponencial:}} \hfill \\<br /> f\left( z \right) = \frac{{1 + x \cdot z + \tfrac{{x^2 \cdot z^2 }}<br />{2} + ...}}<br />{{z^{n + 1} }} = z^{ - \left( {n + 1} \right)} + x \cdot z^{ - n} + ... + \underbrace {\left( {\tfrac{{x^n }}<br />{{n!}}} \right)}_{{\text{res}}_{z = 0} f\left( z \right)} \cdot z^{ - 1} + ... \hfill \\<br /> {\text{Por lo tanto para cualquier contorno }}\Gamma {\text{ que tenga al cero dentro de \'e l:}} \hfill \\<br /> \to \oint_\Gamma {f\left( z \right)dz} = 2\pi \cdot i \cdot \left( {\tfrac{{x^n }}<br />{{n!}}} \right) \hfill \\<br /> {\text{Ahora multiplicamos por }}\left( {\tfrac{{x^n }}<br />{{n!}}} \right){\text{ amos miembros: }}\oint_\Gamma {\left( {\tfrac{{x^n }}<br />{{n!}}} \right) \cdot \frac{{e^{x \cdot z} }}<br />{{z^{n + 1} }}dz} = 2\pi \cdot i \cdot \left( {\tfrac{{x^n }}<br />{{n!}}} \right)^2 \hfill \\<br /> {\text{Sumando: }}2\pi \cdot i \cdot \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\tfrac{{x^n }}<br />{{n!}}} \right)^2 } = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\oint_\Gamma {\left( {\tfrac{{x^n }}<br />{{n!}}} \right) \cdot \frac{{e^{x \cdot z} }}<br />{{z^{n + 1} }}dz} } = \oint_\Gamma {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\tfrac{{x^n }}<br />{{n!}}} \right) \cdot \frac{{e^{x \cdot z} }}<br />{{z^{n + 1} }}} dz} = \oint_\Gamma {\tfrac{{e^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle x$}<br />\kern-0.1em/\kern-0.15em<br />\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle z$}}} \cdot e^{x \cdot z} }}<br />{z}dz} \hfill \\<br /> {\text{Ahora sea }}\Gamma {\text{ una circunferencia de radio 1 dada por: }}g\left( t \right) = e^{i \cdot t} ,0 \leqslant t \leqslant 2 \cdot \pi \hfill \\<br /> 2\pi \cdot i \cdot \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\tfrac{{x^n }}<br />{{n!}}} \right)^2 } = \oint_\Gamma {\tfrac{{e^{x \cdot z^{ - 1} } \cdot e^{x \cdot z} }}<br />{z}dz} = \int_0^\pi {\tfrac{{e^{x \cdot e^{ - it} } \cdot e^{x \cdot e^{it} } }}<br />{{e^{it} }}\left( {e^{it} } \right)^\prime dt} + \int_\pi ^{2\pi } {\tfrac{{e^{x \cdot e^{ - it} } \cdot e^{x \cdot e^{it} } }}<br />{{e^{it} }}\left( {e^{it} } \right)^\prime dt} \hfill \\<br /> 2\pi \cdot i \cdot \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\tfrac{{x^n }}<br />{{n!}}} \right)^2 } = i \cdot \left[ {\int_0^\pi {\tfrac{{e^{x \cdot e^{ - it} } \cdot e^{x \cdot e^{it} } }}<br />{{e^{it} }}e^{it} dt} + \int_\pi ^{2\pi } {\tfrac{{e^{x \cdot e^{ - it} } \cdot e^{x \cdot e^{it} } }}<br />{{e^{it} }}e^{it} dt} } \right] \hfill \\<br /> 2\pi \cdot \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\tfrac{{x^n }}<br />{{n!}}} \right)^2 } = \left[ {\int_0^\pi {e^{x \cdot \left( {e^{ - it} + e^{it} } \right)} dt} + \int_\pi ^{2\pi } {e^{x \cdot \left( {e^{ - it} + e^{it} } \right)} dt} } \right] \hfill \\<br /> {\text{Ahora recordemos que: }}e^{ - it} + e^{it} = 2 \cdot \cos \left( t \right) \hfill \\<br /> {\text{Entonces:}}{\text{ }}2\pi \cdot \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\tfrac{{x^n }}<br />{{n!}}} \right)^2 } = \int_0^{2\pi } {e^{2 \cdot x \cdot \cos \left( t \right)} dt} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />$$$ Saludos Mensaje modificado por PaulRS el May 22 2008, 09:49 AM -------------------- $TEX: $\sqrt[3]{\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^{3\cdot{\sqrt[]{3}}-1}}}\approx{\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^{\sqrt[]{3}-1}}}$$

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2008, 11:00 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Una respuesta ejemplar, pasar a resueltos. Saludos -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

lori Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2008, 01:17 AM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 8 Registrado: 1-June 08 Miembro Nº: 25.355 Sexo:	Este es un caso especial de $TEX: $\displaystyle\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{2x\cos\alpha}\cos^{2n}\alpha\,d\alpha$$ para cada $TEX: $n=0,1,2,\ldots$$ La demostración del caso general no necesita análisis complejo, existe un camino con herramientas reales.

PaulRS Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 1 2008, 10:41 AM Publicado: #5
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 156 Registrado: 11-June 07 Miembro Nº: 6.615 Nacionalidad: Sexo:	CITA(lori @ Jun 1 2008, 04:08 AM) Este es un caso especial de $TEX: $\displaystyle\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{2x\cos\alpha}\cos^{2n}\alpha\,d\alpha$$ para cada $TEX: $n=0,1,2,\ldots$$ La demostración del caso general no necesita análisis complejo, existe un camino con herramientas reales. A ver... Sea $TEX: $$<br />I_n \left( x \right) = \int_0^{2\pi } {e^{2 \cdot x \cdot \cos \left( \theta \right)} \cos ^n \left( \theta \right)d\theta } <br />$$$ luego (Regla de Leibniz): $TEX: $$<br />I_n ^\prime \left( x \right) = 2 \cdot \int_0^{2\pi } {e^{2 \cdot x \cdot \cos \left( \theta \right)} \cos ^{n + 1} \left( \theta \right)d\theta } = 2 \cdot I_{n + 1} \left( x \right)<br />$$$ Ahora hallaremos la serie de Taylor de $TEX: $$<br />I_0 \left( x \right)<br />$$$ Según lo que acabamos de ver: $TEX: $$<br />I_0 ^{\left( n \right)} \left( 0 \right) = 2^n \cdot \int_0^{2\pi } {\cos ^n \left( \theta \right)d\theta } <br />$$$ Además: $TEX: $$<br />\int_0^{2\pi } {\cos ^n \left( \theta \right)d\theta } = \left\{ \begin{gathered}<br /> 0{\text{ si }}n \ne \dot 2 \hfill \\<br /> \tfrac{{{\text{2}}\pi }}<br />{{2^n }} \cdot \left( {\begin{array}{{20}c}<br /> n \\<br /> {\tfrac{n}<br />{2}} \\<br /><br /> \end{array} } \right){\text{ si }}n = \dot 2 \hfill \\ <br />\end{gathered} \right.<br />$$$ Luego: $TEX: $$<br />\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\tfrac{{I_0 ^{\left( n \right)} \left( 0 \right)}}<br />{{n!}} \cdot x^n } = 2\pi \cdot \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\left( {\begin{array}{{20}c}<br /> {2n} \\<br /> n \\<br /><br /> \end{array} } \right)\tfrac{1}<br />{{\left( {2n} \right)!}} \cdot x^{2n} } = 2\pi \cdot \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\left( {\tfrac{{x^n }}<br />{{n!}}} \right)^2 } <br />$$$ Así es que: $TEX: $$<br />\int_0^{2\pi } {e^{2 \cdot x \cdot \cos \left( \theta \right)} d\theta } = 2\pi \cdot \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\left( {\tfrac{{x^n }}<br />{{n!}}} \right)^2 } <br />$$$ Saludos PD: Los demás casos se pueden hacer de la misma forma -------------------- $TEX: $\sqrt[3]{\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^{3\cdot{\sqrt[]{3}}-1}}}\approx{\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^{\sqrt[]{3}-1}}}$$

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