APMO 2008 - Foro fmat.cl

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APMO 2008, Ssp: 1,3,4,5

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 26 2011, 09:40 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Dec 11 2009, 06:16 PM) No se que hay de mal en esta solucion pal problmea 5 parece muy facil $TEX: $(b,c)=mcd(b,c)$. Suponga $\{r_0,r_1,...,r_a\}= \{0,1,...,a\}\Rightarrow c\mid ib$ para cierta $0\le i\le a<c-1$. Supongamos $(b,c)=1\Rightarrow c\mid i\Rightarrow c\le i<c-1$, que es contradiccion, entonces $1<(b,c)$ Es obvio que $(b,c)\mid r_0,r_1,...,r_a\Rightarrow (b,c)\mid 1$ contradiccion.$ hay un error en tu razonamiento, $TEX: $c\mid i \Rightarrow c\le i \vee i=0$$ luego concluyes que $TEX: $i$$ debe ser cero. A seguir intentando

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 26 2011, 09:42 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(makmat @ Apr 2 2010, 05:55 PM) $TEX: Sean $C$ el conjunto de todos los estudiantes de la clase. Sea $\|N\|$ definido como sigue:$ $TEX: $\|N\|=max\{A \subseteq C: \ A$ no contiene grupos completos $\}$.$ $TEX: Si $\|N\|\ge 10$, estamos listos, suponga entonces que $\|N\|=n \le 9$, sea $N$ entonces el conjunto con el máximo de elementos tal que ningún grupo está completamente contenido. Debido a que $n\le 9$, si agregáramos uno más a $N$ habría un grupo completo contenido en $N$, luego existe un grupo para cada persona en $C \setminus N$ tal que $2$ de sus elementos están en $N$ y el otro fuera de $N$, ahora note que $\displaystyle \binom{\|N\|}{2}\le \binom{9}{2}=36$, es decir, que se pueden escoger a lo más $36$ parejas en $N$ tal que forman a lo más $36$ grupos con sólo dos miembros dentro de $N$. Fuera de $N$ hay a lo menos $46-9=37$ estudiantes, es decir, que hay a lo menos un estudiante fuera de $N$ que no forma un grupo con otros dos en $N$, es decir, que $N$ se puede ampliar para contener a este estudiante, lo que contradice la maximalidad de $n$. $\square$$ Saludos a todos y vean la solución xDDD Perfecto nada que decir, impecable

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 26 2011, 10:01 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Pedantic Anarchy @ Jul 23 2011, 10:35 PM) Bueno, después de mucho tiempo me salio el P3 xd. Problema 3: Sean: S la segunda intersección de LH y el circumcirculo del ABC, P la intersección de DE y AB, y S´ la segunda intersección de PC con el circumcirculo del ABC. Como HSA=ABH=ADE se tiene que el cuadrilátero LSDA es cíclico. También tenemos que PD.PE=PA.PB=PS´.PC de donde el S´EDC es cíclico y por ende S´DE=S´CE=LAS´ de donde el cuadrilátero LADS´ es cíclico y por ende S´=S, a raíz de esto concluimos que LH, el circumcirculo del ABC y el circumcirculo de ADE concurren, pero análogamente se concluye tambien que MG, el circumcirculo del ABC y el circumcirculo de ADE concurren, de donde tenemos que LH y MG concurren en el circumcirculo del ABC, que es lo que queríamos demostrar. Creo que definiste mal algunos puntos ya que no puedo seguir tu demostracion , fijate que $TEX: $E\in AB$$ luego el $TEX: $P$$ que defines debe ser igual a $TEX: $E$$ , y luego el $TEX: $S'=H$$ revisa de nuevo tu solucion o dime que estoy pensando mal porfavor. Saludos

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