 Demostracion Ley de De Morgan, En teoria y conjunto |
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 Mar 19 2008, 09:29 PM
Publicado:
#1
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 Staff FMAT  Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.787 Registrado: 2-January 08 Desde: Templo Uchiha Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
Hola , El profe propuso esta demostracion de las propiedades de De Morgan , entoces lo quise hacer y quisiera saber si me podrian ayudar a ver si esta correcto porfavor :
Enunciado : ![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Demuestre que se cumple lo siguiente :}} \hfill \\<br /> \left( {A \cap B} \right)^c = A^c \cup B^c \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/82c31e0f62363d07a57738923ee294e3.png) Entonces lo que hice fue lo siguiente : De antemano gracias P.D: Se que hay maneras mas cortas , pero el profesor dijo que hicieramos esto con este metodo , que para migusto es largo 
Mensaje modificado por Uchiha Itachi el Mar 19 2008, 10:04 PM -------------------- Estudiante de magíster en matemáticas. UdeSantiago
Profesor de estado en matemáticas y computación Licenciado en educación matemáticas y computación USACH Docencia universitaria de Pregrado Ayudante de cátedra:  |
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![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Sabiendo que si dos conjuntos son iguales }}{\text{, se cumple :}} \hfill \\<br /> \left( {A = B} \right) \Leftrightarrow \left( {A \subseteq B} \right) \wedge \left( {B \subseteq A} \right) \hfill \\<br /> {\text{Ocupando esto }}{\text{, quedaria : }} \hfill \\<br /> \left[ {\left( {A \cap B} \right)^c = A^c \cup B^c } \right] \Leftrightarrow \left[ {\underbrace {\left( {A \cap B} \right)^c \subseteq \left( {A^c \cup B^c } \right)}_{verdadero}} \right] \wedge \left[ {\underbrace {\left( {A^c \cup B^c } \right) \subseteq \left( {A \cap B} \right)^c }_{verdadero}} \right] \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/0efed221bffa04461dd41a765b13ee2c.png)
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Por tanto debemos demostrar que se cumple : }} \hfill \\<br /> i)\left( {A \cap B} \right)^c \subseteq \left( {A^c \cup B^c } \right) \hfill \\<br /> ii)\left( {A^c \cup B^c } \right) \subseteq \left( {A \cap B} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Empezare demostrando (i)}} \hfill \\<br /> Sea:x \in \left( {A \cap B} \right)^c /{\text{Por def}}{\text{.de complemento}} \hfill \\<br /> {\text{entonces se cumple:}} \hfill \\<br /> \left[ {\left( {x \in U} \right) \wedge x \notin \left( {A \cap B} \right)} \right]{\text{Por propiedad : }}\left( {{\text{x}} \in {\text{A}}} \right) = \sim \left( {x \notin A} \right) \hfill \\<br /> \left[ {\left( {x \in U} \right) \wedge \sim \left[ {\left( {x \in \left( {A \cap B} \right)} \right)} \right]} \right]/{\text{Por definicion de interseccion}} \hfill \\<br /> \left[ {\left( {x \in U} \right) \wedge \sim \left[ {\left( {x \in A \wedge x \in B} \right)} \right]} \right] \hfill \\<br /> {\text{Usando proposiciones:}} \hfill \\<br /> {\text{Sea:}} \hfill \\<br /> p = x \in U \hfill \\<br /> q = x \in A \hfill \\<br /> s = x \in B \hfill \\<br /> entonces: \hfill \\<br /> \left[ {p \wedge \sim \left( {q \wedge s} \right)} \right]/{\text{Ley de De Morgan}} \hfill \\<br /> \left[ {p \wedge \left( { \sim q \vee \sim s} \right)} \right] \hfill \\<br /> \left[ {\left( {p \wedge \sim q} \right) \vee \left( {p \wedge \sim s} \right)} \right] \hfill \\<br /> restituyendo \hfill \\<br /> \left[ {x \in U \wedge x \notin A} \right] \vee \left[ {\left( {x \in U \wedge x \notin B} \right)} \right]/{\text{Por propiedad}} \hfill \\<br /> \left[ {\left[ {x \in A^c } \right] \vee \left[ {x \in B^c } \right]} \right]/{\text{def de union}} \hfill \\<br /> \boxed{x \in \left( {A^c \cup B^c } \right)} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Luego concluimos que se cumple : }} \hfill \\<br /> \boxed{\left( {A \cap B} \right)^c \subseteq \left( {A^c \cup B^c } \right)} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/a3227d1a86d09e38fabcb4d6caad1540.png)
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Falta por demostrar : }} \hfill \\<br /> \left( {A^c \cup B^c } \right) \subseteq \left( {A \cap B} \right)^c \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Sea : }}x \in \left( {A^c \cup B^c } \right)/{\text{Por propiedad de union}} \hfill \\<br /> \left[ {\left( {x \in A^c } \right) \vee \left( {x \in B^c } \right)} \right]/def.complemento \hfill \\<br /> \left[ {\left( {x \in U \wedge x \notin A} \right) \vee \left( {x \in U \wedge x \notin B} \right)} \right] \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{usando proposiciones:}} \hfill \\<br /> p = x \in U \hfill \\<br /> q = x \in A \hfill \\<br /> s = x \in B \hfill \\<br /> quedaria: \hfill \\<br /> \left[ {\left( {p \wedge \sim q} \right) \vee \left( {p \wedge \sim s} \right)} \right]/distributividad \hfill \\<br /> \left[ {\left( {p \wedge \sim q} \right) \vee p} \right] \wedge \left[ {\left( {p \wedge \sim q} \right) \vee \sim s} \right]/{\text{Ley de absorcion}} \hfill \\<br /> \left( p \right) \wedge \left[ {\left( {p \wedge \sim q} \right) \vee \sim s} \right] \hfill \\<br /> restituyendo: \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/81f38862941309c0ffec055ed073c006.png)
![TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> x \in U \wedge \left[ {\left( {x \in U \wedge x \notin A} \right) \vee \left( {x \notin } \right)} \right]{\text{/por propiedad de universo interseccion}} \hfill \\<br /> x \in U \wedge \left[ {x \notin A \vee x \notin B} \right]/{\text{Por propiedad}} \hfill \\<br /> x \in U \wedge \sim \left[ {x \in A \wedge x \in B} \right]{\text{/def}}{\text{.interseccion}} \hfill \\<br /> x \in U \wedge \sim \left[ {x \in A \cap B} \right]/{\text{Por propiedad}} \hfill \\<br /> x \in U \wedge \left[ {x \notin A \cap B} \right]/def.complemento \hfill \\<br /> \boxed{x \in \left( {A \cap B} \right)^c } \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Concluimos que se cumple : }} \hfill \\<br /> \left( {A^c \cup B^c } \right) \subseteq \left( {A \cap B} \right)^c \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Por tanto si se cumplen : }} \hfill \\<br /> \left( {A^c \cup B^c } \right) \subseteq \left( {A \cap B} \right)^c \wedge \left( {A \cap B} \right)^c \subseteq \left( {A^c \cup B^c } \right) \hfill \\<br /> Se{\text{ Cumple : }}\left[ {\left( {A \cap B} \right)^c = A^c \cup B^c } \right] \Leftrightarrow \left[ {\left( {A \cap B} \right)^c \subseteq \left( {A^c \cup B^c } \right)} \right] \wedge \left[ {\left( {A^c \cup B^c } \right) \subseteq \left( {A \cap B} \right)^c } \right] \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> q.e.d \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]](./tex/ca9bf6bf1fcd53d115c6b68fedab5828.png)
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Mar 19 2008, 09:42 PM
Publicado:
#2
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 Staff FMAT  Grupo: Moderador Mensajes: 2.562 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
uuf vi conjuntos en tercer medio, a ver si rte puedo ayudar en algo... te segui muy bien hasta cuando definiste p, q y s, pero de ahi ocupaste la ley de morgan que es algo que quieres demostrar... quizas ahi haya un error
 saludos! -------------------- Bachiller en Ciencias Exactas
Estudiante de 5º año, Ingeniería Civil en Biotecnología  “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti ![TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />](/tex-image/662cf378c88b8d7170f7919ce7dc427a.png) |
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 Mar 19 2008, 09:47 PM
Publicado:
#3
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Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.787 Registrado: 2-January 08 Desde: Templo Uchiha Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
CITA(naxoobkn @ Mar 20 2008, 01:36 AM)  uuf vi conjuntos en tercer medio, a ver si rte puedo ayudar en algo... te segui muy bien hasta cuando definiste p, q y s, pero de ahi ocupaste la ley de morgan que es algo que quieres demostrar... quizas ahi haya un error saludos! mmm , es que por lo que recuerdo , el profe para usar la asociatividad , transitividad y esas leyes de De Morgan en proposiciones , ocupaba justamente proposiciones , entonces yo creo que quizas se pueden ocupar leyes de De Morgan en proposiciones , porque estoy demostrando las leyes de De morgan en conjuntos . Creo yo 
-------------------- Estudiante de magíster en matemáticas. UdeSantiago
Profesor de estado en matemáticas y computación Licenciado en educación matemáticas y computación USACH Docencia universitaria de Pregrado Ayudante de cátedra: |
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Mar 20 2008, 09:50 PM
Publicado:
#4
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 817 Registrado: 28-May 06 Desde: maipú, santiago. Miembro Nº: 1.210 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad:  Sexo: |
CITA(Uchiha Itachi @ Mar 19 2008, 09:41 PM) mmm , es que por lo que recuerdo , el profe para usar la asociatividad , transitividad y esas leyes de De Morgan en proposiciones , ocupaba justamente proposiciones , entonces yo creo que quizas se pueden ocupar leyes de De Morgan en proposiciones , porque estoy demostrando las leyes de De morgan en conjuntos . Creo yo La demostración es correcta. Las proposiciones y los conjuntos son abstracciones muy distintas entre sí, y por lo tanto sus propiedades no significan lo mismo para ambas. Saludos. -------------------- Estudiante de 5º año de Ingeniería Civil Industrial en la U. de Chile
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Mar 20 2008, 11:14 PM
Publicado:
#5
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 Dios Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 307 Registrado: 28-July 07 Desde: Copiapó-Santiago Miembro Nº: 7.899 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
Creo que está bien
podemos decir que  Así que puedes omitirla D: --------------------    |
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Mar 20 2008, 11:36 PM
Publicado:
#6
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Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 4.787 Registrado: 2-January 08 Desde: Templo Uchiha Miembro Nº: 14.268 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
Muchisimas gracias amigos .
 
-------------------- Estudiante de magíster en matemáticas. UdeSantiago
Profesor de estado en matemáticas y computación Licenciado en educación matemáticas y computación USACH Docencia universitaria de Pregrado Ayudante de cátedra: |
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Mar 20 2008, 11:36 PM
Publicado:
#7
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 753 Registrado: 25-November 05 Desde: Algun lugar de la V region Miembro Nº: 415 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
me parece correcta , a a resueltos entonces
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