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Jensen con todo, Resuelto por Caetano y Kenshin [medio]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2006, 12:10 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Sean $TEX: $\displaystyle a_0,a_1,a_2,...,a_n\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$ tales que: $TEX: $\displaystyle tg\left(a_0-\frac{\pi}{4}\right)+tg\left(a_1-\frac{\pi}{4}\right)+...+tg\left(a_n-\frac{\pi}{4}\right)\ge n-1$$ Probar que $TEX: $tg(a_0)tg(a_1)\cdots tg(a_n)\ge n^{n+1}$$ Fuente: Olimpiada Matematica Estadounidense, 1998 -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2006, 12:04 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Primero, haremos un cambio de variable: Sea $TEX: $y_i=tg(a_i)$$ y $TEX: $x_i=tg\left(a_i-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)$$ Ahora despejemos $TEX: $y_i$$ en funcion de $TEX: $x_i$$ $TEX: $x_i=tg\left(a_i-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)$$ $TEX: $\Rightarrow$ $x_i=\displaystyle\frac{tg(a_i)-1}{tg(a_i)+1}$$ $TEX: $\Rightarrow$ $x_i=\displaystyle\frac{y_i-1}{y_i+1}$$ $TEX: $\Rightarrow$ $y_i=\displaystyle\frac{1+x_i}{1-x_i}$$ Por lo tanto podemos enunciar el problema de la siguiente forma: Sean $TEX: $x_0,x_1,...,x_n$ $\in$ $]-1,1[$$ tales que: $TEX: $x_0+x_1+\ldots+x_n\ge n-1$$ Probar que: $TEX: $\left(\displaystyle\frac{1+x_0}{1-x_0}\right)\left(\displaystyle\frac{1+x_1}{1-x_1}\right)\cdots \left(\displaystyle\frac{1+x_n}{1-x_n}\right)\ge n^{n+1}$$ Esta ultima desigualdad la podemos transformar mas todavia aplicando $TEX: $log$$ y luego dividiendo por $TEX: $n+1$$ , para que quede como: $TEX: $\mathcal{A}=\displaystyle\frac{1}{n+1}\left(log\left(\displaystyle\frac{1+x_0}{1-x_0}\right)+log\left(\displaystyle\frac{1+x_1}{1-x_1}\right)+\ldots+log\left(\displaystyle\frac{1+x_n}{1-x_n}\right)\right)\ge log(n)$$ Esta forma del enunciado nos da mas luces sobre como enfrentarlo. Utilizaremos desigualdad de jensen. Para esto, consideremos la funcion $TEX: $f(x)=log\left(\displaystyle\frac{1+x}{1-x}\right)$$ la cual es convexa en el intervalo $TEX: $[0,1[$$ y concava en el intervalo $TEX: $]-1,0]$$ , puesto que $TEX: $f''(x)=\displaystyle\frac{4x}{(1-x^2)^2}$$ . Por el sentido de la desigualdad que nos piden demostrar, ocuparemos la convexidad de la $TEX: $f(x)$$ . Ahora distinguiremos 2 casos: $TEX: $a)$$ Todos los $TEX: $x_i$$ pertenecen al intervalo $TEX: $[0,1[$$ En este caso se puede aplicar directamente la desigualdad de jensen para concluir lo pedido, teniendo en cuenta que $TEX: $f(x)$$ es creciente en $TEX: $[0,1[$$ puesto que $TEX: $f'(x)=\displaystyle\frac{2}{1-x^2}>0$$ . Por lo tanto: $TEX: $\mathcal{A}\ge f\left(\displaystyle\frac{x_0+x_1+\ldots+x_n}{n+1}\right)$$ $TEX: $\Rightarrow$ $\mathcal{A}\ge f\left(\displaystyle\frac{n-1}{n+1}\right)=log(n)$$ $TEX: $b)$$ Existe(n) $TEX: $x_i$$ que pertenecen a $TEX: $]-1,0[$$ Lo que haremos primero, sera probar que de existir, tan solo existe uno en el intervalo en cuestion, al que llamaremos $TEX: $x_0$$ .(sin perdida de generalidad pues podriamos reordenar y renombrar las variables) Supongamos que existen otros. En el mejor de los casos, solo hay otro $TEX: $x_i$$ en el intervalo en cuestion, que llamaremos $TEX: $x_1$$ (sin perdida de generalidad pues de no ser $TEX: $x_1$$ , podriamos reordenar y renombrar las variables). En este caso tendriamos que $TEX: $x_0+x_1+x_2+\ldots+x_n<0+0+1+\ldots+1=n-1$$ lo cual es una contradiccion, puesto que $TEX: $x_0+x_1+\ldots+x_n\ge n-1$$ por enunciado. Lo que probaremos ahora es que existe al menos un $TEX: $x_j$$ tal que $TEX: $x_0+x_j\ge 0$$ . Notemos que de no ser asi se tendria que: $TEX: $x_0+x_1+x_0+x_2+\ldots+x_0+x_n<0$$ $TEX: $\Rightarrow$ $nx_0+x_1+x_2+\ldots+x_n<0$$ $TEX: $\Rightarrow$ $nx_0+n-1-x_0<0$$ $TEX: $\Rightarrow$ $x_0(n-1)+(n-1)<0$ $\Rightarrow$ $x_0<-1$$ lo cual contradice el hecho de que $TEX: $x_0$ $\in$ $]-1,0[$$ (ojo que aca estoy suponiendo $TEX: $n\not=1$$ , por lo cual dejo propuesto convencerse que en este caso la desigualdad original se demuestra sin mayores complicaciones) Dado que $TEX: $x_0+x_j\ge 0$$ , entonces $TEX: $\displaystyle\frac{x_0+x_j}{2}\ge 0$$ , es decir, $TEX: $\displaystyle\frac{x_0+x_j}{2}$ $\in$ $[0,1[$$ , que es el intervalo que nos agrada. Llamemos $TEX: $x'_0=x'_j=\displaystyle\frac{x_0+x_j}{2}$$ , y notemos que $TEX: $x_0+x_j=x'_0+x'_j$$ , y que $TEX: $x_ox_j\le \displaystyle\frac{(x_0+x_j)^2}{4}=x'_0x'_j$$ . Por lo tanto se tiene que: $TEX: $\left(\displaystyle\frac{1+x_0}{1-x_0}\right)\left(\displaystyle\frac{1+x_j}{1-x_j}\right)\ge\left(\displaystyle\frac{1+x'_0}{1-x'_0}\right)\left(\displaystyle\frac{1+x'_j}{1-x'_j}\right)$$ Notese que si se trabaja un poco la expresion $TEX: $\left(\displaystyle\frac{1+x_0}{1-x_0}\right)\left(\displaystyle\frac{1+x_j}{1-x_j}\right)$$ se llega a que es igual a $TEX: $1+\displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac{1-(x_0+x_j)}{x_o+x_j}+\displaystyle\frac{x_0x_j}{x_0+x_j}}$$ , y si la suma $TEX: $x_0+x_j$$ se mantiene constante pero el producto $TEX: $x_0x_j$$ se agranda, entonces la segunda expresion se achica. Con esto, y teniendo en cuenta que $TEX: $log(x)$$ es creciente, podemos decir que: $TEX: $\mathcal{A}=\displaystyle\frac{1}{n+1}\left(log\left(\displaystyle\frac{1+x_0}{1-x_0}\right)+log\left(\displaystyle\frac{1+x_1}{1-x_1}\right)+\ldots+log\left(\displaystyle\frac{1+x_j}{1-x_j}\right)+\ldots+log\left(\displaystyle\frac{1+x_n}{1-x_n}\right)\right)$$ $TEX: $=\displaystyle\frac{1}{n+1}log\left(\left(\displaystyle\frac{1+x_0}{1-x_0}\right)\left(\displaystyle\frac{1+x_1}{1-x_1}\right)\cdots \left(\displaystyle\frac{1+x_j}{1-x_j}\right)\cdots \left(\displaystyle\frac{1+x_n}{1-x_n}\right)\right)$$ $TEX: $\ge \displaystyle\frac{1}{n+1}log\left(\left(\displaystyle\frac{1+x'_0}{1-x'_0}\right)\left(\displaystyle\frac{1+x_1}{1-x_1}\right)\cdots \left(\displaystyle\frac{1+x'_j}{1-x'_j}\right)\cdots \left(\displaystyle\frac{1+x_n}{1-x_n}\right)\right)$$ $TEX: $=\displaystyle\frac{1}{n+1}\left(log\left(\displaystyle\frac{1+x'_0}{1-x'_0}\right)+log\left(\displaystyle\frac{1+x_1}{1-x_1}\right)+\ldots+log\left(\displaystyle\frac{1+x'_j}{1-x'_j}\right)+\ldots+log\left(\displaystyle\frac{1+x_n}{1-x_n}\right)\right)$$ $TEX: $=\mathcal{A'}$$ Pero a esta ultima le podemos aplicar jensen, porque todos los $TEX: $x_i$$ estan en el intervalo $TEX: $[0,1[$$ que es el de la convexidad, y por lo tanto se tiene que: $TEX: $\mathcal{A}\ge \mathcal{A'}\ge f\left(\displaystyle\frac{x'_0+x_1+\ldots+x'_j+\ldots+x_n}{n+1}\right)=f\left(\displaystyle\frac{x_0+x_1+\ldots+x_j+\ldots+x_n}{n+1}\right)\ge f\left(\displaystyle\frac{n-1}{n+1}\right)$$ $TEX: $\Rightarrow$ $\mathcal{A}\ge \mathcal{A'}\ge f\left(\displaystyle\frac{n-1}{n+1}\right)=log(n)$$ y por lo tanto se concluye que $TEX: $\mathcal{A}\ge log(n)$$ --------------------

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2006, 02:07 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	esto será para medalla de bronce APMO!! -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Kane Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2006, 04:17 PM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 194 Registrado: 13-May 05 Desde: jojo! Miembro Nº: 4 Nacionalidad: Sexo:	Dios mio santo....

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 7 2006, 04:36 PM Publicado: #5
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Caetano @ Feb 7 2006, 02:04 PM) Primero, haremos un cambio de variable: Sea $TEX: $y_i=tg(a_i)$$ y $TEX: $x_i=tg\left(a_i-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)$$ Ahora despejemos $TEX: $y_i$$ en funcion de $TEX: $x_i$$ $TEX: $x_i=tg\left(a_i-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)$$ $TEX: $\Rightarrow$ $x_i=\displaystyle\frac{tg(a_i)-1}{tg(a_i)+1}$$ $TEX: $\Rightarrow$ $x_i=\displaystyle\frac{y_i-1}{y_i+1}$$ $TEX: $\Rightarrow$ $y_i=\displaystyle\frac{1+x_i}{1-x_i}$$ Por lo tanto podemos enunciar el problema de la siguiente forma: Sean $TEX: $x_0,x_1,...,x_n$ $\in$ $]-1,1[$$ tales que: $TEX: $x_0+x_1+\ldots+x_n\ge n-1$$ Probar que: $TEX: $\left(\displaystyle\frac{1+x_0}{1-x_0}\right)\left(\displaystyle\frac{1+x_1}{1-x_1}\right)\cdots \left(\displaystyle\frac{1+x_n}{1-x_n}\right)\ge n^{n+1}$$ Esta ultima desigualdad la podemos transformar mas todavia aplicando $TEX: $log$$ y luego dividiendo por $TEX: $n+1$$ , para que quede como: $TEX: $\mathcal{A}=\displaystyle\frac{1}{n+1}\left(log\left(\displaystyle\frac{1+x_0}{1-x_0}\right)+log\left(\displaystyle\frac{1+x_1}{1-x_1}\right)+\ldots+log\left(\displaystyle\frac{1+x_n}{1-x_n}\right)\right)\ge log(n)$$ Esta forma del enunciado nos da mas luces sobre como enfrentarlo. Utilizaremos desigualdad de jensen. Para esto, consideremos la funcion $TEX: $f(x)=log\left(\displaystyle\frac{1+x}{1-x}\right)$$ la cual es convexa en el intervalo $TEX: $[0,1[$$ y concava en el intervalo $TEX: $]-1,0]$$ , puesto que $TEX: $f''(x)=\displaystyle\frac{4x}{(1-x^2)^2}$$ . Por el sentido de la desigualdad que nos piden demostrar, ocuparemos la convexidad de la $TEX: $f(x)$$ . Ahora distinguiremos 2 casos: $TEX: $a)$$ Todos los $TEX: $x_i$$ pertenecen al intervalo $TEX: $[0,1[$$ En este caso se puede aplicar directamente la desigualdad de jensen para concluir lo pedido, teniendo en cuenta que $TEX: $f(x)$$ es creciente en $TEX: $[0,1[$$ puesto que $TEX: $f'(x)=\displaystyle\frac{2}{1-x^2}>0$$ . Por lo tanto: $TEX: $\mathcal{A}\ge f\left(\displaystyle\frac{x_0+x_1+\ldots+x_n}{n+1}\right)$$ $TEX: $\Rightarrow$ $\mathcal{A}\ge f\left(\displaystyle\frac{n-1}{n+1}\right)=log(n)$$ $TEX: $b)$$ Existe(n) $TEX: $x_i$$ que pertenecen a $TEX: $]-1,0[$$ Lo que haremos primero, sera probar que de existir, tan solo existe uno en el intervalo en cuestion, al que llamaremos $TEX: $x_0$$ .(sin perdida de generalidad pues podriamos reordenar y renombrar las variables) Supongamos que existen otros. En el mejor de los casos, solo hay otro $TEX: $x_i$$ en el intervalo en cuestion, que llamaremos $TEX: $x_1$$ (sin perdida de generalidad pues de no ser $TEX: $x_1$$ , podriamos reordenar y renombrar las variables). En este caso tendriamos que $TEX: $x_0+x_1+x_2+\ldots+x_n<0+0+1+\ldots+1=n-1$$ lo cual es una contradiccion, puesto que $TEX: $x_0+x_1+\ldots+x_n\ge n-1$$ por enunciado. Lo que probaremos ahora es que existe al menos un $TEX: $x_j$$ tal que $TEX: $x_0+x_j\ge 0$$ . Notemos que de no ser asi se tendria que: $TEX: $x_0+x_1+x_0+x_2+\ldots+x_0+x_n<0$$ $TEX: $\Rightarrow$ $nx_0+x_1+x_2+\ldots+x_n<0$$ $TEX: $\Rightarrow$ $nx_0+n-1-x_0<0$$ $TEX: $\Rightarrow$ $x_0(n-1)+(n-1)<0$ $\Rightarrow$ $x_0<-1$$ lo cual contradice el hecho de que $TEX: $x_0$ $\in$ $]-1,0[$$ (ojo que aca estoy suponiendo $TEX: $n\not=1$$ , por lo cual dejo propuesto convencerse que en este caso la desigualdad original se demuestra sin mayores complicaciones) Dado que $TEX: $x_0+x_j\ge 0$$ , entonces $TEX: $\displaystyle\frac{x_0+x_j}{2}\ge 0$$ , es decir, $TEX: $\displaystyle\frac{x_0+x_j}{2}$ $\in$ $[0,1[$$ , que es el intervalo que nos agrada. Llamemos $TEX: $x'_0=x'_j=\displaystyle\frac{x_0+x_j}{2}$$ , y notemos que $TEX: $x_0+x_j=x'_0+x'_j$$ , y que $TEX: $x_ox_j\le \displaystyle\frac{(x_0+x_j)^2}{4}=x'_0x'_j$$ . Por lo tanto se tiene que: $TEX: $\left(\displaystyle\frac{1+x_0}{1-x_0}\right)\left(\displaystyle\frac{1+x_j}{1-x_j}\right)\ge\left(\displaystyle\frac{1+x'_0}{1-x'_0}\right)\left(\displaystyle\frac{1+x'_j}{1-x'_j}\right)$$ Notese que si se trabaja un poco la expresion $TEX: $\left(\displaystyle\frac{1+x_0}{1-x_0}\right)\left(\displaystyle\frac{1+x_j}{1-x_j}\right)$$ se llega a que es igual a $TEX: $1+\displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac{1-(x_0+x_j)}{x_o+x_j}+\displaystyle\frac{x_0x_j}{x_0+x_j}}$$ , y si la suma $TEX: $x_0+x_j$$ se mantiene constante pero el producto $TEX: $x_0x_j$$ se agranda, entonces la segunda expresion se achica. Con esto, y teniendo en cuenta que $TEX: $log(x)$$ es creciente, podemos decir que: $TEX: $\mathcal{A}=\displaystyle\frac{1}{n+1}\left(log\left(\displaystyle\frac{1+x_0}{1-x_0}\right)+log\left(\displaystyle\frac{1+x_1}{1-x_1}\right)+\ldots+log\left(\displaystyle\frac{1+x_j}{1-x_j}\right)+\ldots+log\left(\displaystyle\frac{1+x_n}{1-x_n}\right)\right)$$ $TEX: $=\displaystyle\frac{1}{n+1}log\left(\left(\displaystyle\frac{1+x_0}{1-x_0}\right)\left(\displaystyle\frac{1+x_1}{1-x_1}\right)\cdots \left(\displaystyle\frac{1+x_j}{1-x_j}\right)\cdots \left(\displaystyle\frac{1+x_n}{1-x_n}\right)\right)$$ $TEX: $\ge \displaystyle\frac{1}{n+1}log\left(\left(\displaystyle\frac{1+x'_0}{1-x'_0}\right)\left(\displaystyle\frac{1+x_1}{1-x_1}\right)\cdots \left(\displaystyle\frac{1+x'_j}{1-x'_j}\right)\cdots \left(\displaystyle\frac{1+x_n}{1-x_n}\right)\right)$$ $TEX: $=\displaystyle\frac{1}{n+1}\left(log\left(\displaystyle\frac{1+x'_0}{1-x'_0}\right)+log\left(\displaystyle\frac{1+x_1}{1-x_1}\right)+\ldots+log\left(\displaystyle\frac{1+x'_j}{1-x'_j}\right)+\ldots+log\left(\displaystyle\frac{1+x_n}{1-x_n}\right)\right)$$ $TEX: $=\mathcal{A'}$$ Pero a esta ultima le podemos aplicar jensen, porque todos los $TEX: $x_i$$ estan en el intervalo $TEX: $[0,1[$$ que es el de la convexidad, y por lo tanto se tiene que: $TEX: $\mathcal{A}\ge \mathcal{A'}\ge f\left(\displaystyle\frac{x'_0+x_1+\ldots+x'_j+\ldots+x_n}{n+1}\right)=f\left(\displaystyle\frac{x_0+x_1+\ldots+x_j+\ldots+x_n}{n+1}\right)\ge f\left(\displaystyle\frac{n-1}{n+1}\right)$$ $TEX: $\Rightarrow$ $\mathcal{A}\ge \mathcal{A'}\ge f\left(\displaystyle\frac{n-1}{n+1}\right)=log(n)$$ y por lo tanto se concluye que $TEX: $\mathcal{A}\ge log(n)$$ Solucion claramente correcta Sin embargo es probable que no todo el mundo pueda entenderla, y el que la entienda no comprenda como se le ocurrio esto a Victor(Caetano). Pues si es asi, es comprensible y no hay motivo para asustarse. Un buen punto de partida es leerse el capitulo de Desigualdad de Jensen que se encuentra aca: http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=1436 Felicito a Victor por mostrar este grado de progreso y espero que sigas asi mejorando y subiendo aun mas tu nivel. A seguir adelante y mucha suerte en lo que se viene. Respuesta correcta -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 9 2006, 05:08 PM Publicado: #6
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Bueno,ahora la idea es ir completando ciertas cosas y en particular dar soluciones alternativas a los problemitas. En este caso tenemos la siguiente solucion alternativa: Seguiremos llamando: $TEX: $y_i=tg(a_i)$$ y $TEX: $x_i=tg\left(a_i-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)$$ Asi el enunciado del problema seria: Sean $TEX: $x_0,x_1,...,x_n$ $\in$ $]-1,1[$$ tales que: $TEX: $x_0+x_1+\ldots+x_n\ge n-1$$ Probar que: $TEX: $\left(\displaystyle\frac{1+x_0}{1-x_0}\right)\left(\displaystyle\frac{1+x_1}{1-x_1}\right)\cdots \left(\displaystyle\frac{1+x_n}{1-x_n}\right)\ge n^{n+1}$$ Hasta aca vamos igual que en la solucion anterior. Notemos que la desigualdad $TEX: $x_0+x_1+\ldots+x_n\ge n-1$$ nos permite decir que: $TEX: $\displaystyle \left(\forall i\in\{0,1,...,n\}\right) (1+x_i)\ge \sum_{j=0,\ j\not=i}^{n} (1-x_j)$$ Usando que $TEX: $A\ge G$$ y que $TEX: $\displaystyle \left(\forall j\in\{0,1,...,n\}\right)(1-x_j)\ge 0$$ se tiene que: $TEX: $\displaystyle\left(\forall i\in\{0,1,...,n\}\right)\frac{1}{n}\left[\sum_{j=0,\ j\not=i}^{n} (1-x_j)\right]\ge \sqrt[n]{\prod_{j=0,\ j\not=i}^{n}(1-x_j)}$$ $TEX: $\displaystyle \left(\forall i\in\{0,1,...,n\}\right) (1+x_i)\ge n\sqrt[n]{\prod_{j=0,\ j\not=i}^{n}(1-x_j)}$$ [] Multiplicando las n+1 desigualdades que se extraen de [], entonces se obtiene que (ojo que $TEX: $\left(\forall i\in\{0,1,...,n\}\right) (1+x_i)\ge 0$$ ): $TEX: $\displaystyle \prod_{i=0}^{n}(1+x_i)\ge n^{n+1}\sqrt[n]{\prod_{j=0}^{n}(1-x_j)^n}=n^{n+1}{\prod_{j=0}^{n}(1-x_j)}$$ que es equivalente a la desigualdad que se pide. -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

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