Desafíos LABERINTOS. Nº01. Medio

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Desafíos LABERINTOS. Nº01. Medio

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Cesarator	Feb 6 2006, 09:17 PM Publicado: #1
Invitado	Posteo los desafios de la revista "Laberintos Matem'aticos". Los que quieran figurar como "solvers" de estos problemas en el proximo numero, me pueden enviar sus soluciones via MP, en un archivo Word o Latex, con todos los detalles, incluyendo el enunciado del problema que resuelvan. Favor no postear las soluciones hasta el 25 de Febrero! $TEX: <br />\underline{\bf Desaf\'io 4}. La suma de 2 enteros positivos es 2310. Demostrar<br />que su producto no puede ser divisible por 2310.\\<br /><br />\underline{\bf Desaf\'io 5}. Considerar un paralelogramo $ABCD$. Sea $P$ un punto al interior<br />del paralelogramo tal que $\angle APB + \angle CPD =180$. Demostrar que<br />$\angle PBC = \angle PDC$. <br />$

†Alucard† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 8 2006, 09:18 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 519 Registrado: 22-April 06 Desde: Concepción Miembro Nº: 925 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Cesarator @ Feb 6 2006, 10:17 PM) Favor no postear las soluciones hasta el 25 de Febrero! $TEX: <br />\underline{\bf Desaf\'io 4}. La suma de 2 enteros positivos es 2310. Demostrar<br />que su producto no puede ser divisible por 2310.\\<br />$ Ya estamos claramente fuera de la veda impuesta por Cesarator, así que intentaré hacer ese problema: Sean $TEX: $n$$ y $TEX: $2310-n$$ los enteros positivos ( $TEX: $0<n<2310$$ ), que suman 2310. Su producto es $TEX: $2310n-n^2$$ , que es divisible por 2310 ssi $TEX: $n^2$$ lo es. Pero $TEX: $2310=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11$$ es el MCD de estos factores primos, luego a cualquier n menor que 2310 le falta alguno de esos factores, y $TEX: $n^2$$ no podrá ser divisible por 2310. QED Saludos -------------------- There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the Universe is for and why is it here, it will instantly disappear and be replaced by something even more bizarre and inexplicable. There is another theory which states that this has already happened. - Adams, The Restaurant at the End of the Universe ----------------------------------- Existe una teoría que postula que si alguien alguna vez llega a descubrir exactamente para qué es el Universo y por qué está aquí, éste desaparecerá instantáneamente y será reemplazado por algo aún más extraño e inexplicable. Existe otra teoría que dice que esto ya ha ocurrido. - Adams, el Restorán al Final del Universo

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 31 2009, 07:33 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ahora si pasamos el tiempo limite por mucho, asi que posteare la solucion al desafio 5, el cual es un clasico ultra-conocido de traslaciones. CITA(Cesarator @ Feb 6 2006, 10:17 PM) $TEX: \underline{\bf Desaf\'io 5}. Considerar un paralelogramo $ABCD$. Sea $P$ un punto al interior<br />del paralelogramo tal que $\angle APB + \angle CPD =180$. Demostrar que<br />$\angle PBC = \angle PDC$. <br />$ $TEX: Sea $P'$ el punto al exterior del $ABCD$ tal que $\triangle P'AB\cong \triangle PDC$. Como $\measuredangle APB+\measuredangle AP'B=\measuredangle APB+\measuredangle DPC=180º$, se sigue que el $APBP'$ es un cuadrilatero ciclico. Trazando la recta $\overline{PP}'$, podemos observar que $\measuredangle PDC=\measuredangle P'AB=\measuredangle P'PB$. Por otra parte, como $\overline {P'B}=\overline {PC}$ y $\overline {P'B}//\overline {PC}$, podemos deducir que el cuadrilatero $PCBP'$ es un paralelogramo y entonces $\measuredangle P'PB=\measuredangle PBC$, y por lo tanto $\measuredangle PDC=\measuredangle PBC$, demostrando lo pedido.$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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