Una Desigualdad Trigonometrica, Resuelto por fadeintome Opciones

[Rurouni Kenshin]

Problema
Demuestre que:
sin(α/2)*sin(β/2)*sin(γ/2)<(1/4)
Cuando α,β y γ son los ángulos interiores de un triangulo arbitrario.

Solucion:
α+β+γ=180º
(α/2)=90º – (β+γ)/2<90º – β/2<90º
Entonces:
sen(α/2)<sen(90º – β/2), pues seno es una función creciente en [0º,90º], equivalentemente
sen(α/2)<cos(β/2), multiplicando a ambos lados por sen(β/2)>0º, pues α,β,γ>0º
sen(α/2)sen(β/2)<cos(β/2)sen(β/2)
Sabemos que 2sen(x)cos(x)=sen(2x), entonces
sen(α/2)sen(β/2)<sen(β)/2, y como sen(β)<=1 obtenemos
sen(α/2)sen(β/2)<sen(β)/2<=1/2, lo que implica
sen(α/2)sen(β/2)<1/2 {*}
Este resultado es bastante importante, y decisivo a la hora de mostrar esta solución, pero ahora viene la parte que más me gusta de este problema.
Como 180º/3=60º podemos asegurar que el ángulo menor del triangulo es menor o igual a 60º. Sin perdida de la generalidad, sea γ el ángulo en cuestión, entonces γ/2<=30º, pero como seno es una función creciente en [0º,90º], obtenemos sen(γ/2)<=sen(30º)=1/2, equivalentemente, sen(γ/2)<=1/2 {**}

Ahora multipliquemos las desigualdades {*} y {**}(en las cuales, todos sus miembros son positivos), para obtener:
sen(α/2)sen(β/2)sen(γ/2)<(1/2)(1/2)=1/4, que es lo que queríamos demostrar.

Kenshin nos dijo que sen(α/2)*sen(β/2)* sen(γ/2)<=1/8, cuando α,β y γ son los ángulos interiores de un triangulo. Lo que constituye una mejor cota inferior que ¼. Si logro demostrarlo lo postearé.

Resuelto por fadeintome

[exp]

un extremo absoluto para la funcion f(α/2,β/2,γ/2)= sin(α/2)*sin(β/2)*sin(γ/2) ocurre para, α=β=γ=60 ,el cual se obtiene facilmente por derivadas parciales .

reemplazando :f(α/2,β/2,γ/2)= 1/8 y como f es continua ---> 0<f(α/2,β/2,γ/2)<=1/8