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Desafíos LABERINTOS. Nº01. Basicos

Cesarator	Feb 6 2006, 06:58 PM Publicado: #1
Invitado	Posteo los desafios de la revista "Laberintos Matem'aticos". Los que quieran figurar como "solvers" de estos problemas en el proximo numero, me pueden envar sus soluciones via MP, en un archivo Word o Latex, con todos los detalles, incluyendo el enunciado del problema que resuelvan. Favor no postear las soluciones hasta el 25 de Febrero! $TEX: <br />{\tt Nivel B\'asico}: <br /><br />\underline{\bf Desaf\'io 1}. Encontrar los \'ultimos 2 d\'igitos de<br />$2^{222}$.<br />$ $TEX: <br />\underline{\bf Desaf\'{\i}o 2}. Hallar una manera eficiente de calcular la suma<br />$$<br />\frac{1}{1\times 3} + \frac{1}{3\times 5} + \frac{1}{5\times 7} +<br />$$<br />$$<br /> ... + \frac{1}{199 \times 201}. <br />$$ <br />$ $TEX: <br />\underline{\bf Desaf\'iio 3}. Se tiene un cuadrado $ABCD$. El punto $E$ est\'a en el interior<br />del cuadrado y el tri\'angulo $ DCE$ es equil\'atero. El punto $F$<br />est\'a sobre el lado $\overline{AB}$ y es tal que $\overline{FE}$ es paralelo a<br />$\overline{AD}$ y $FE = 1$. Encontrar el valor exacto del \'area del cuadrado. <br />$

Corecrasher	Feb 25 2006, 11:17 AM Publicado: #2
Invitado	Desafió 1: -Respuesta: Los últimos $TEX: 2$ dígitos del numero son $TEX: 04$ . -Solución: Sabemos que $TEX: $2^10 \equiv 24(mod 100)$$ , además $TEX: $2^220 \equiv 24^22 \equiv 76(mod 100)$$ , finalmente $TEX: $2^222 \equiv 76 \times 4 \equiv 304 \equiv 4(mod 100)$$ , probando que los últimos dos dígitos son $TEX: 04$ . $TEX: $QED$$

Corecrasher	Feb 25 2006, 11:18 AM Publicado: #3
Invitado	Desafió 2: -Respuesta: $TEX: $\frac{100}{201}$$ -Solución: Sea la sumatoria $TEX: $\mathcal{S}=\frac{1}{1 \times 3}+\frac{1}{3 \times 5}+…+\frac{1}{199 \times 201}$$ , notemos que $TEX: $\frac{1}{k(k+2)}+\frac{1}{(k+2)(k+4)}=\frac{2}{k(k+4)}$$ lo que implica S=2/(15)+2/(59)+…+2/(197201) , también notemos que 2/(k(k+4)+2/((k+4)(k+8))=4/(k(k+8)) , lo que implica S=4/(19)+4/(917)+…+4/(193201) , también notemos que 4/(k(k+8))+4/((k+8)(k+16))=8/(k(k+16)) , lo que implica S=8/(117)+8/(1733)+…+8/(177193)+4/(193201) , también notemos que 8/(k(k+16))+8/((k+16)(k+32)=16/(k(k+32)) , lo que implica S=16/(133)+16/(3365)+…+16/(161193)+ 4/(193201) , también notemos que 16/(k(k+32))+16/((k+32)(k+64))=32/(k(k+64) , lo que implica S=32/(165)+32/(65129)+32/(129193)+4/(193201) y esto es igual a S=64/(1129)+32/(129193)+4/(193201 y esto es igual a S=(64193201+32201+4129)/(129193201) y esto S=(2482752+6432+516)/(129193201)=19300/(193201)=100/201. $TEX: QED$ Proceso de latexeo

Corecrasher	Feb 25 2006, 11:18 AM Publicado: #4
Invitado	Desafió 3: -Respuesta: 4/[7-4sqrt(3)] -Solución: Sea ABCD el cuadrado del enunciado , definimos el punto E y F con las características del enunciado , notemos que EF es perpendicular a AB en F por ser paralelo a AD , ahora tracemos la altura del equilátero DEA que corta a DC en G , notemos que F,E,G son colineales por paralelismo y además EG=[sqrt(3)a]/2 ya que es la altura del triangulo equilátero de lado a (siendo a el lado del cuadrado) ; ahora nos queda que 1+[sqrt(3)a]/2=a lo que implica que 2+sqrt(3)a=2a y entonces a=2/(2-sqrt(3)) elevamos al cuadrado para encontrar el área del cuadrado y entonces a^2=4/[7-4*sqrt(3)]. QED Proceso de latexeo

MasterIN® Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 25 2006, 11:26 AM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 116 Registrado: 14-May 05 Desde: Buin, Santiago Miembro Nº: 26 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ya..acabo de perder lo que había escrito en este mp... , pero..lo básico era que decía uqe no había mandado esto antes por lo que decía del 25 de feb. P1. Traté de hacer una sol . muuuuy simple. Salió esto. Todos sabemos que para ver los último dos dígitos de un número, debemos aplicar congruencia en mod. 100 Ahora, examinemos las potencias de 2 en mod. 100 (con la ayuda de excel ) $TEX: $2^1 \equiv 2 (mod.100) \\<br />2^2 \equiv 4 (mod.100)\\<br />2^3 \equiv 8 (mod.100)\\<br />2^4 \equiv 16 (mod.100)\\<br />2^5 \equiv 32 (mod.100)\\<br />2^6 \equiv 64 (mod.100)\\<br />2^7 \equiv 28 (mod.100)\\<br />2^8 \equiv 56 (mod.100)\\ <br />2^9 \equiv 12 (mod.100)\\<br />2^{10} \equiv 24 (mod.100)\\<br />2^{11} \equiv 48 (mod.100)\\<br />2^{12} \equiv 96 (mod.100)\\<br />2^{13} \equiv 92 (mod.100)\\<br />2^{14} \equiv 84 (mod.100)\\<br />2^{15} \equiv 68 (mod.100)\\<br />2^{16} \equiv 36 (mod.100)\\<br />2^{17}\equiv 72 (mod.100)\\<br />2^{18} \equiv 44 (mod.100)\\<br />2^{19} \equiv 88 (mod.100)\\<br />2^{20} \equiv 76 (mod.100)\\<br />2^{21} \equiv 52 (mod.100)\\<br />2^{22} \equiv 4 (mod.100)\\<br />2^{23} \equiv 8 (mod.100)\\<br />2^{24} \equiv 16 (mod.100)\\<br />2^{25} \equiv 32 (mod.100)\\<br />2^{26} \equiv 64 (mod.100)$$ Como se ve claramente, tenemos un ciclo de 20 términos (desde $TEX: $2^2$$ hasta $TEX: $2^{21}$$ ). Entonces, para saber los dos últimos dígitos de [tex=]$2^{2222}$[/tex] hay que ver su correspondencia en el ciclo. Esto es: . PD... sol al estilo peñe jejejeje-..- (brute force xD ) -------------------- "Lo que no entiendes hoy lo comprenderás mañana"

MasterIN® Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 25 2006, 11:35 AM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 116 Registrado: 14-May 05 Desde: Buin, Santiago Miembro Nº: 26 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	p2. En este problema el concepto de inducción es claro. Luego de probar algunos pasos, descubrimos que: $TEX: $\displaystyle\frac{1}{13} + \frac{1}{35}+ ..... + \frac{1}{(n-2)n}= \frac{n-1}{2n}$$ Para $TEX: $n=3$$ se cumple. Asumimos que para $TEX: $n=k$$ igual, se cumple. Veamos para $TEX: $n=k+1$$ Ahh!! importante, k y n son impares y naturales. Tenemos que: $TEX: $\displaystyle\frac{1}{13}+\frac{1}{35}+ ..... +\frac{1}{(k-2)k}+\frac{1}{k(k+2)}=\frac{k-1}{2k}+\frac{1}{k(k+2)}$$ $TEX: $\displaystyle\frac{1}{13}+\frac{1}{35}+ ..... +\frac{1}{(k-2)k}+\frac{1}{k(k+2)}=\frac{(k-1)(k+2)+2}{2k(k+2)}=\frac{k^2+2k-2+2}{2k(k+2)}=\frac{k(k+1)}{2k(k+2)}=\frac{k+1}{2k+4}$$ Quedando así demostrada la inducción. Por tanto la suma equivale a $TEX: $\frac{201-1}{201*2}=\frac{100}{201}$$ -------------------- "Lo que no entiendes hoy lo comprenderás mañana"

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 25 2006, 11:46 AM Publicado: #7
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Bueno, mi solucion al P2: Solucion $TEX: \noindent Notemos que:\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\frac{1}{1\cdot 3}&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)\\<br />\frac{1}{3\cdot 5}&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)\\<br />\frac{1}{5\cdot 7}&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)\\<br />\vdots\ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \vdots\\<br />\frac{1}{109\cdot 201}&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{109}-\frac{1}{201}\right)<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />\\<br />Sumando estas igualdades y cancelando terminos, tendremos que:\\<br />$\displaystyle \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots +\frac{1}{199\cdot 201}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{201}\right)=\frac{100}{201}$\\<br />\\<br />La generalizacion a partir de esto es evidente, asi que lo dejo propuesto.$ -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

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