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La Desigualdad de la Semana, Del 5 Febrero al 11 de Febrero (2006) Resuelto por Jaime_sscc [básico]

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 6 2006, 03:25 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Probar que si $TEX: $a,b,c\in\mathbb{R}^+$$ se cumple que: $TEX: $\displaystyle \frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}-1\le \frac{a^3+b^3+c^3}{6}$$ Quien lo resuelva sube un rango dentro del foro(respecto a numero de post) Veamos quien sera el o la afortunada -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Jaime sscc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 14 2006, 09:58 AM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 167 Registrado: 17-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 38 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Demostrar lo pedido es equivalente a demostrar lo siguiente: $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{ab}{(a+b)} + \frac{bc}{(b+c)} + \frac{ca}{(c+a)} \le \frac{a^3+b^3+c^3}{6} + 1$$ Si multiplicamos por 2, obtendremos la siguiente desigualdad equivalente: $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{2ab}{(a+b)} + \frac{2bc}{(b+c)} + \frac{2ca}{(c+a)} \le \frac{a^3+b^3+c^3}{3} + 2$$ Por $TEX: $H \le G$$ tenemos $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2}{\frac{(a+b)}{ab}} = \frac{2ab}{(a+b)} \le \sqrt{ab}$$ Analogamente $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{2bc}{(b+c)} \le \sqrt{bc}$$ $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{2ca}{(c+a)} \le \sqrt{ca}$$ Sumando $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{2ab}{(a+b)} + \frac{2bc}{(b+c)} + \frac{2ca}{(c+a)} \le \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$$ Entonces nos gustaría demostrar que: $TEX: \noindent $\displaystyle \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \le \frac{a^3+b^3+c^3}{3} + 2$$ Por Desigualdad $TEX: $A \ge G$$ $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{a^3+b^3+4}{6} = \frac{a^3+b^3+1+1+1+1}{6} \ge \sqrt[6]{a^3b^3} = \sqrt{ab}$$ Tenemos asi que: $TEX: \noindent $\displaystyle \sqrt{ab} \le \frac{a^3+b^3+4}{6}$$ $TEX: \noindent $\displaystyle \sqrt{bc} \le \frac{b^3+c^3+4}{6}$$ $TEX: \noindent $\displaystyle \sqrt{ca} \le \frac{c^3+a^3+4}{6}$$ Sumando $TEX: \noindent $\displaystyle \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \le \frac{2a^3+2b^3+2c^3}{6} + \frac{12}{6} = \frac{a^3+b^3+c^3}{3} + 2$$ Demostrando asi que: $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{2ab}{(a+b)} + \frac{2bc}{(b+c)} + \frac{2ca}{(c+a)} \le \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \le \frac{a^3+b^3+c^3}{3} + 2$$ salu2 ^^ --------------------

Cesarator	Feb 14 2006, 10:09 AM Publicado: #3
Invitado	Mi opinión: Excelente y creativo! Felicitaciones! Veamos que dice el "juez" Kenshin.

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 14 2006, 10:11 AM Publicado: #4
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Jaime sscc @ Feb 14 2006, 11:58 AM) Demostrar lo pedido es equivalente a demostrar lo siguiente: $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{ab}{(a+b)} + \frac{bc}{(b+c)} + \frac{ca}{(c+a)} \le \frac{a^3+b^3+c^3}{6} + 1$$ Si multiplicamos por 2, obtendremos la siguiente desigualdad equivalente: $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{2ab}{(a+b)} + \frac{2bc}{(b+c)} + \frac{2ca}{(c+a)} \le \frac{a^3+b^3+c^3}{3} + 2$$ Por $TEX: $H \le G$$ tenemos $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2}{\frac{(a+b)}{ab}} = \frac{2ab}{(a+b)} \le \sqrt{ab}$$ Analogamente $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{2bc}{(b+c)} \le \sqrt{bc}$$ $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{2ca}{(c+a)} \le \sqrt{ca}$$ Sumando $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{2ab}{(a+b)} + \frac{2bc}{(b+c)} + \frac{2ca}{(c+a)} \le \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$$ Entonces nos gustaría demostrar que: $TEX: \noindent $\displaystyle \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \le \frac{a^3+b^3+c^3}{3} + 2$$ Por Desigualdad $TEX: $A \ge G$$ $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{a^3+b^3+4}{6} = \frac{a^3+b^3+1+1+1+1}{6} \ge \sqrt[6]{a^3b^3} = \sqrt{ab}$$ Tenemos asi que: $TEX: \noindent $\displaystyle \sqrt{ab} \le \frac{a^3+b^3+4}{6}$$ $TEX: \noindent $\displaystyle \sqrt{bc} \le \frac{b^3+c^3+4}{6}$$ $TEX: \noindent $\displaystyle \sqrt{ca} \le \frac{c^3+a^3+4}{6}$$ Sumando $TEX: \noindent $\displaystyle \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \le \frac{2a^3+2b^3+2c^3}{6} + \frac{12}{6} = \frac{a^3+b^3+c^3}{3} + 2$$ Demostrando asi que: $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{2ab}{(a+b)} + \frac{2bc}{(b+c)} + \frac{2ca}{(c+a)} \le \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \le \frac{a^3+b^3+c^3}{3} + 2$$ salu2 ^^ Tal como dijo Cesarator...excelente solucion....quizas la consideremos despues para soluciones destacadas...jejejejeje Mis Felicitaciones -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 14 2006, 08:31 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Este es del día... una manera para acortar la solución, luego de esto continuaré revisando el foro, e iré al sector de jugoseo a ver qué ha pasado Tenemos que demostrar que $TEX: $\displaystyle{\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}-1\leq\frac{a^3+b^3+c^3}{6}}$$ . Esta desigualdad es equivalente con: $TEX: $\displaystyle{\frac{2ab}{a+b}+\frac{2bc}{b+c}+\frac{2ca}{c+a}\leq\frac{a^3+b^3+c^3}{3}+2}$$ Recordamos la desigualdad $TEX: $MH\leq MA$$ para obtener que $TEX: $\displaystyle{\frac{2xy}{x+y}\leq\frac{x+y}{2}}$$ , toda vez que $TEX: $x,y>0$$ (cosa que también puede deducirse de la desigualdad CSB). Entonces $TEX: $\displaystyle{\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\leq\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=a+b+c}$$ Basta establecer que $TEX: $\displaystyle{a+b+c\leq\frac{a^3+b^3+c^3}{3}+2}$$ , equivalente con la desigualdad $TEX: $f(a)+f(b)+f©\geq 0$$ , definiendo $TEX: $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ por $TEX: $f(x)=x^3-3x+2=(x+2)(x-1)^2$$ . Pero $TEX: $a,b,c>0$$ , por lo tanto la desigualdad pedida es obvia ( $TEX: $a+2>0,(a-1)^2\geq 0\Rightarrow f(a)\geq 0$$ , y lo mismo con $TEX: $b,c$$ ). La conclusión que $TEX: $f(x)>0$$ cuando $TEX: $x>0$$ también puede deducirse de $TEX: $MG(1,1,x^3)\leq MA(1,1,x^3)$$ Esto sería todo por ahora... Salu -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Virus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 16 2007, 02:10 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 107 Registrado: 14-October 07 Desde: La prisión de vidrio Miembro Nº: 11.284 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Jaime sscc @ Feb 14 2006, 10:58 AM) $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{2ab}{(a+b)} + \frac{2bc}{(b+c)} + \frac{2ca}{(c+a)} \le \frac{a^3+b^3+c^3}{3} + 2$$ Por $TEX: $H \le G$$ tenemos $TEX: \noindent $\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2}{\frac{(a+b)}{ab}} = \frac{2ab}{(a+b)} \le \sqrt{ab}$$ Alguien que me explique por favor con qué propiedad llegaron de la primera desigualdad a la segunda indicada aquí. Saludos. -------------------- Felipe Vera A. Ingeniería Civil Electrónica 2009 UTFSM y Ayudante de MAT022 Agradecer no cuesta nada. Es más, entusiasma para seguir aportando. ;)

Farfan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 16 2007, 02:59 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 392 Registrado: 23-September 06 Desde: Talca, Chile. Miembro Nº: 2.326 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Virus @ Oct 16 2007, 04:10 PM) Alguien que me explique por favor con qué propiedad llegaron de la primera desigualdad a la segunda indicada aquí. Saludos. La segunda desigualdad es la que dice que la media armonica de un grupo de numeros, es menor que la media geometrica de ese mismo grupo de numeros. el lo que hizo fue demostrar 2 desigualdades, que si se cumplen, necesariamente se cumple la desigualdad propuesta por kenshin. no es que haya llegado de la primera desigualdad a la segunda saludos -------------------- si 2+2=3...(La Renga) "Pobre del que tiene miedo de correr riesgos, porque quizás ese no se decepcione nunca, ni tenga desilusiones, ni sufra como los que persiguen un sueño"

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