Propuesto sqrt{2} - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Consultas > Banco de Problemas Resueltos > Álgebra > Aritmética

Reply to this topic

Start new topic

Propuesto \sqrt{2}

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2008, 05:01 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	No sabía donde dejar este propuesto, ojalá algun moderador de foro lo pueda mover donde corresponda Demostrar que $TEX: $\sqrt{2}$$ es irracional Historia Interesante: Me acordé de este clasico propuesto, porque una persona que hacia practicas en la U, dijo: " Miren, el mundo matemático es uno, y el mundo real es otro..por ejemplo, uno trabaja con $TEX: $\sqrt{2}$$ a cada rato en matemáticas, pero en el mundo real ¿Qué significa? Nada! ..es un nuemro irracioal, por lo tanto, no podemos concebirlo en su magnitud" Y yo levanté la mano, y le dije que se equivocaba " Falso, señor. El numero $TEX: $\sqrt{2}$$ si lo podemos concebir, y de manera muy simple. Suponga usted que está caminando por una plaza, la cual tiene diagonal. Los lados de la plaza, miden una cuadra, por lo tanto, y gracias al teorema de pitagoras, al caminar por la diagonal de la plaza, ud camina exactamente $TEX: $\sqrt{2}$$ cuadras". saludos Mensaje modificado por jorgeston el Mar 11 2008, 05:03 PM

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2008, 06:56 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent Suponga que $\sqrt{2}$ es racional. Entonces $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$(1), donde MCD$(a,b)=1$. De (1) tenemos $\frac{a^2}{b^2}=2\to a^2=2b^2$, donde se sigue que $a^2$ es par, lo que implica que $a$ es par (es facilmente verificable poniendose en dos casos, $a$ par o $a$ impar). Luego $a=2t$ para algun $t$. Evaluando en (1) se tiene $\frac{4t^2}{b^2}=2\to 2b^2=4t^2\to b^2=2t^2$ lo que implica que $b$ es par, luego $2\|a$ y $2\|b$, contradiccion pues teniamos que MCD$(a,b)=1$. Se sigue que $\sqrt{2}$ es irracional, como se pedia. Saludos$ Igual parece qe me salte varios pasos Mensaje modificado por Felipe_ambuli el Mar 11 2008, 06:59 PM

Jorgeston Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2008, 07:16 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Baneado Mensajes: 2.588 Registrado: 7-November 06 Miembro Nº: 2.747	correcto!

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2008, 08:56 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kenshin @ Jan 28 2006, 07:37 PM) Razonemos por contradiccion, o sea supongamos que $TEX: $\sqrt{2}$$ es un racional, o sea que $TEX: $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$$ para algunos enteros $TEX: $a,b$$ , con $TEX: $b\not=0$$ (sin perdida de generalidad podemos suponer $TEX: $a,b>0$$ ) Esto implica que el conjunto: $TEX: $\mathbb{S}=\{m\sqrt{2}\ /\ m\in\mathbb{Z}^+,\ m\sqrt{2}\in\mathbb{Z}^+\}\not=\phi$$ [pues $TEX: $a=b\sqrt{2}\in\mathbb{S}$$ ] Como ademas $TEX: $S\subseteq\mathbb{N}^$$ , debe tener un menor elemento que llamaremos " $TEX: $p$$ ". Luego " $TEX: $p=q\sqrt{2}$$ " para algun $TEX: $q\in\mathbb{Z}$$ . Notemos que $TEX: $0<p(\sqrt{2}-1)=p\sqrt{2}-p=(p-q)\sqrt{2}$$ [] pero $TEX: $p\sqrt{2}\in\mathbb{Z}$$ y $TEX: $p\in\mathbb{Z}$$ , por lo cual $TEX: $(p-q)\sqrt{2}=p\sqrt{2}-p\in\mathbb{Z}^+$$ [por ] Finalmente notemos que: $TEX: $(p-q)\sqrt{2}=q(2-\sqrt{2})<q\sqrt{2}=p$$ [] Pero $TEX: $r=(p-q)\sqrt{2}\in\mathbb{Z}^+$$ , $TEX: $r\sqrt{2}=2(p-q)\in\mathbb{Z}^+$$ , por lo que $TEX: $r\in\mathbb{S}$$ . Pero $TEX: $r<p$$ , lo cual es una contradiccion con el hecho de que " $TEX: $p$$ " sea el menor elemento de $TEX: $\mathbb{S}$$ [] Pues $TEX: $\sqrt{2}>1$$ [**] Esto pues: 1) $TEX: $2<2\sqrt{2}\Rightarrow 2-\sqrt{2}<\sqrt{2}$$ 2) $TEX: $q>0$$ 3) $TEX: $p\sqrt{2}=2q$$ Saludos

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 10 2009, 10:55 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Por aquí pueden encontrarse unas cuantas pruebas más para este bonito resultado. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

« Posterior · Aritmética · Anterior »

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 6th March 2025 - 09:10 PM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.