Seccion I.3 - Foro fmat.cl

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Sector Olímpico > Teoría de Números > Material de Entrenamiento

3 Páginas:

< 1 2 3 >

Seccion I.3, Induccion Matematica

Opciones

Chad Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 14 2006, 07:28 AM Publicado: #11
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 14-July 06 Miembro Nº: 1.653	CITA(caf_tito @ Mar 13 2006, 06:29 AM) Cómo factorizas?? $TEX: $27\cdot 3^{3n}-26n-27$$ $TEX: $27(3^{3n}-26n-1)+676n$$ Otra cosa creo que hay un pequeño error de tipeo donde N=1.... Y de donde uno saca el 676n?

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 14 2006, 09:54 AM Publicado: #12
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Chad @ Jul 14 2006, 08:28 AM) Y de donde uno saca el 676n? El $TEX: $-26n$$ se escribe truculentamente como $TEX: $27\cdot (-26n) +676n$$ (desarrolla esto ultimo y verifica que es igual a $TEX: $-26n$$ ) Con esta pista quizas comprendas como se razono despues...sin embargo si la duda persiste...no dudes en preguntar nuevamente. Saludos -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

pelao_malo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 17 2007, 04:59 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 878 Registrado: 14-May 07 Desde: Talcahuano Miembro Nº: 5.845 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	no entendi como sacaron ese de los Buenos Mensaje modificado por pelao_malo el Sep 17 2007, 04:59 PM -------------------- $TEX: $\sqrt{5}=41$$

†Sasuke† Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 11 2007, 01:46 AM Publicado: #14
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 21 Registrado: 20-April 07 Desde: santiago Miembro Nº: 5.344 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	muy buen guia de induccion quede cn muxas enseñansas muy wena

Crimeeee Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 21 2010, 08:23 PM Publicado: #15
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 74 Registrado: 18-December 10 Desde: ... Miembro Nº: 81.848 Nacionalidad: Sexo:	.. Mensaje modificado por Crimeeee el Sep 13 2014, 03:14 PM

Emi_C Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 21 2010, 09:08 PM Publicado: #16
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 234 Registrado: 5-April 10 Desde: Arg Miembro Nº: 67.793 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Crimeeee @ Dec 21 2010, 09:23 PM) Te felicito por esta guía porque la verdad que está perfecta, de 10!! . Yo no sabía nada pero nada encerio sobre inducción y quería aprender que es lo que era. Sigo sin saber nada, pero aunque sea sé un poquito gracias a esta guia. Solamente me quedó sin entender el último problema, el de "un número es bueno..." Ahi lo que se hiso es demostrar que si n es bueno, entonces 2n+8 y 2n+9 tambien son perfectos. Entonces por ejemplo 233+8=66+8=74 y 75 son perfectos 234+8=68+8=76 y 77 son perfectos 235+8=70+8=78 y 79 son perfectos 236+8=72+8=80 y 81 son perfectos 237+8=74+8=82 y 23 son perfectos 238+8=76+8=84 y 85 son perfectos Fijate como se abarcan todos los enteros positivos mayores a 33 sabiendo q todo entero entre 33 y 73 son buenos. -------------------- $TEX: $\sqrt{a \cdot b} \le \frac{a+b}{2}$$

Crimeeee Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 21 2010, 11:04 PM Publicado: #17
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 74 Registrado: 18-December 10 Desde: ... Miembro Nº: 81.848 Nacionalidad: Sexo:	.. Mensaje modificado por Crimeeee el Sep 13 2014, 03:14 PM

josezero07 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 23 2010, 02:46 PM Publicado: #18
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 79 Registrado: 27-April 10 Desde: Talagante Miembro Nº: 69.788 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kenshin @ Feb 22 2006, 01:36 PM) Ejemplo 2 Probar que: $TEX: $(1+\sqrt{2})^{2n}+(1-\sqrt{2})^{2n}$$ es un entero par y que ademas: $TEX: $(1+\sqrt{2})^{2n}-(1-\sqrt{2})^{2n}=b\sqrt{2}$$ para algun $TEX: $b\in\mathbb{Z}^+$$ , para todo entero $TEX: $n\ge 1$$ . <span style='color:blue'>Solucion</span>: $TEX: \noindent Definamos:\\<br />$A_n=(1+\sqrt{2})^{2n}+(1-\sqrt{2})^{2n}$\\<br />$B_n=(1+\sqrt{2})^{2n}-(1-\sqrt{2})^{2n}$\\<br />\\<br />Llamemos $P(n)$ a la proposicion:\\<br />``$A_n$ es un entero par y $B_n=b\sqrt{2}$ para algun $b\in\mathbb{Z}^+$"\\<br />\\<br />\underline{$Caso\ n=1$}\\<br />$A_1=(1+\sqrt{2})^{2}+(1-\sqrt{2})^{2}=6$ que efectivamente en un entero par.\\<br />$B_1=(1+\sqrt{2})^{2}-(1-\sqrt{2})^{2}=4\sqrt{2}$ que es de la forma $b\sqrt{2}$ con $b\in\mathbb{Z}^+$.\\<br />Por lo tanto $P(1)$ es cierto.\\<br />\\<br />\underline{$Hipotesis\ de\ Induccion$}\\<br />Asumamos que $P(n)$ es cierto para ``algun $n$"\\<br />O sea:\\<br />``$A_n$ es un entero par y $B_n=b\sqrt{2}$ para algun $b\in\mathbb{Z}^+$"\\<br />( Esto significa que $A_n=2k$ para algun $k\in\mathbb{Z}$ )\\<br />\\<br />\underline{Pdq}\\<br />$P(n+1)$ tambien es cierto.\\<br />O sea:\\<br />``$A_{n+1}=(1+\sqrt{2})^{2(n+1)}+(1-\sqrt{2})^{2(n+1)}$ es un entero par\\<br />y\\<br />$B_{n+1}=(1+\sqrt{2})^{2(n+1)}-(1-\sqrt{2})^{2(n+1)}=c\sqrt{2}$ para algun $c\in\mathbb{Z}^+$"\\<br />\\<br />\underline{$Demostracion$}\\<br />Notemos que:\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />A_{n+1}&= (1+\sqrt{2})^{2n+2}+(1-\sqrt{2})^{2n+2}\\<br />&=(1+\sqrt{2})^2(1+\sqrt{2})^{2n}+(1-\sqrt{2})^2(1-\sqrt{2})^{2n}\\<br />&=(3+2\sqrt{2})(1+\sqrt{2})^{2n}+(3-2\sqrt{2})(1-\sqrt{2})^{2n}\\<br />&=3A_n+2\sqrt{2}B_n\\ <br />&=3(2k)+2\sqrt{2}(b\sqrt{2})\\<br />&=6k+4b\\<br />&=2(3k+2b)<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Luego $A_{n+1}$ es un entero par ( pues $k,b\in\mathbb{Z}$ )$ $TEX: \noindent De manera analoga, tenemos que:\\<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />B_{n+1}&=(1+\sqrt{2})^{2n+2}-(1-\sqrt{2})^{2n+2}\\<br />&=(1+\sqrt{2})^2(1+\sqrt{2})^{2n}-(1-\sqrt{2})^2(1-\sqrt{2})^{2n}\\ <br />&=(3+2\sqrt{2})(1+\sqrt{2})^{2n}-(3-2\sqrt{2})(1-\sqrt{2})^{2n}\\<br />&=3B_n+2\sqrt{2}\cdot A_n\\<br />&=3(b\sqrt{2})+2\sqrt{2}(2k)\\<br />&=(3b+4k)\sqrt{2}<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />Luego $B_{n+1}$ es de la forma $c\sqrt{2}$ con $c=3b+4k\in\mathbb{Z}$ ( pues $k,b\in\mathbb{Z}$ )<br />$ Hola, muchas gracias por este post, me ha ayudado bastante para introducirme, siendo que queda aún mucho mucho por aprender. Tengo una duda en la demostración que todavia me tiene pensando... Donde dice A(n+1) = ... (ocuparé la letra "v" como raiz :$ ) Llega a un punto donde dice A(n+1)= (3+2v2)(1+v2)^2n + (3-2v2)(1-v2)^2n Lo que no entiendo cómo llega a ser 3An + 2v2Bn Muchas gracias -------------------- "Sería absurdo que nosotros, que somos finitos, tratásemos de determinar las cosas infinitas". René Descartes

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2011, 04:53 PM Publicado: #19
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	¿Es idea mia o en otras palabras en el ejemplo que da kenshin (de los cuadraditos) hay que demostrar que $TEX: $\dfrac{{2^{2006} \times 2^{2006} - 1}}{3}$$ resulta un número entero? o sea, que $TEX: ${2^{2006} \times 2^{2006} - 1}$$ es múltiplo de 3 ¿? Saludos. Mensaje modificado por El Geek el Jan 19 2011, 05:04 PM -------------------- Me voy, me jui.

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2011, 05:05 PM Publicado: #20
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(El Geek @ Jan 19 2011, 06:53 PM) ¿Es idea mia o en otras palabras en el ejemplo que da kenshin (de los cuadraditos) hay que demostrar que $TEX: $\dfrac{{2^{2006} \times 2^{2006} - 1}}{3}$$ resulta un número entero? Saludos. La verdad no, si $TEX: $\dfrac{2^{2006}\times 2^{2006}-1}{3}$$ no fuera entero entonces seria imposible llenar el cuadriculado, pero la implicacion reciproca no es correcta. saludos -------------------- blep

« Posterior · Material de Entrenamiento · Anterior »

3 Páginas:

< 1 2 3 >

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 25th April 2025 - 11:58 PM