Propuesto 227 - Foro fmat.cl

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Propuesto 227, Una delicia milenaria

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Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 10 2008, 09:11 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Evaluar $TEX: $$\int_0^1 {\ln \left( x \right)\ln \left( {1 - x} \right)} dx$$$ -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2008, 01:24 PM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	¡Que lindo problema! Aquí la solución que le di al mismo: $TEX: \begin{eqnarray}<br /> \int_0^1 {\ln (x)\ln (1 - x)\,dx} &=& - \int_0^1 {\int_0^x {\frac{{\ln x}}<br />{{1 - y}}\,dy} \,dx} \hfill \\<br /> &=& - \int_0^1 {\underbrace {\int_y^1 {\ln x\,dx} }_{ - \,y\ln y \,+ \,y \,- \,1}\,\frac{{dy}}<br />{{1 - y}}} \hfill \\<br /> &=& \int_0^1 {\frac{{y\ln y + (1 - y)}}<br />{{1 - y}}\,dy} \hfill \\<br /> &=& \int_0^1 {\frac{{y\ln y}}<br />{{1 - y}}\,dy} + 1 \hfill \\<br /> &=& - \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left\{ {\int_0^1 {\int_y^1 {\frac{{y^{k + 1} }}<br />{z}\,dz} \,dy} } \right\}} + 1 \hfill \\<br /> &=& - \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left\{ {\int_0^1 {\underbrace {\int_0^z {y^{k + 1} \,dy} }_{z^{k + 2} \cdot (k + 2)^{ - 1} }\,\frac{{dz}}<br />{z}} } \right\}} + 1\hfill \\<br /> &=& - \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left\{ {\frac{1}<br />{{(k + 2)^2 }}} \right\}} + 1 = - \sum\limits_{k = 2}^\infty {\left\{ {\frac{1}<br />{{k^2 }}} \right\}} + 1 = - \left( {\frac{{\pi ^2 }}<br />{6} - 1} \right) + 1\hfill \\<br />&=& 2 - \frac{{\pi ^2 }}<br />{6}.<br />\end{eqnarray}$ Para el cálculo de la última suma, ver el siguiente ----- No hay nada mejor que resolver un lindo problemita después de haber sido cashorreado Saludos

Jean Renard Gran... Jean Renard Granier Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2008, 03:06 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.920 Registrado: 19-August 06 Desde: DIM, DCC Beauchef Miembro Nº: 1.989 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Respuesta impecable, pasar a resueltos. -------------------- Miembro de Anime No Seishin Doukokai, podrías ser el próximo.

Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2011, 10:24 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Algo tarde, pero aquí coloco otra solución: $TEX: <br /><br />El segundo logaritmo natural se expande en su serie de taylor, quedando:<br />\[ \int_{0}^{1}\ln(x)\ln(1-x)dx = \int_{0}^{1}\ln(x)\Big[\ln(1-x)\Big]dx = \int_{0}^{1}\ln(x)\left[-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\right]dx = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_{0}^{1}x^{n}\ln(x)dx \]<br /><br />Se recurre a integración por partes, teniendo así:<br />\begin{align}<br /> \int_{0}^{1}\ln(x)\ln(1-x)dx &= -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left[ \frac{x^{n}\ln(x)}{n+1}\Big\|_{0}^{1} - \frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}x^{n}dx \right]\\<br /> &= -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left[ \frac{1}{n+1}\left(0-\underbrace{\lim_{x\to0}x^{n}\ln(x)}_{0, \forall n\in \mathbb{N}}\right) - \frac{1}{n+1} \frac{x^{n+1}}{n+1}\Big\|_{0}^{1} \right]\\<br /> &= -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left[-\frac{1}{n+1}\left(\frac{1}{n+1}-0\right) \right] = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)^2}<br />\end{align}<br /><br />$ $TEX: <br /><br />Mediante fracciones parciales, la serie obtenida se separa en 3 términos:<br />\[ \int_{0}^{1}\ln(x)\ln(1-x)dx = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^2} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^2} \]<br />La serie de la izquierda es una telescópica, cuyo valor es $1$. La de la derecha es casi la función zeta de riemann. Finalmente, <br />\begin{align}<br /> \int_{0}^{1}\ln(x)\ln(1-x)dx &= 1-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^2}=1-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+1 = 2-\zeta(2) \\<br /> &= 2-\frac{\pi^2}{6}<br />\end{align}<br /><br />$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2011, 10:45 AM Publicado: #5
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Yo iba a hacer eso, haciendo $TEX: $$\int_{0}^{1}{{{x}^{n}}\ln x\,dx}=-\int_{0}^{1}{\int_{x}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{t}\,dt}\,dx}=-\frac{1}{{{(n+1)}^{2}}}.$$$ Pero preferí ahorrarme pasos usando más integrales. xD

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