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Desigualdad Vietnamita, de utilidad

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Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 7 2008, 11:32 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sean $x,y>0$; pruebe que:\\<br />\\<br />$(1+x)^{-2}+(1+y)^{-2}\ge (1+xy)^{-1}$\\<br />\\<br />Y determine cuando se obtiene la igualdad.$ Saludos

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 28 2008, 10:13 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \noindent $\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{x^2}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{y^2}{2}\right)+\left(\dfrac{x^2+y^2}{2}\right)\ge \sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}+xy\ge 2+xy$\\<br />\\<br />$\Longrightarrow \ \dfrac{1}{xy}+x^2+y^2=\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{x^2}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{y^2}{2}\right)+\left(\dfrac{x^2+y^2}{2}\right)\ge 2+xy$\\<br />\\<br />La igualdad se cumple con $x=y=1$\\<br />\\<br />$\dfrac{1}{xy}+x^2+y^2\ge 2+xy$\\<br />\\<br />$\Longrightarrow \ \dfrac{2}{xy}+\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+2+2x+2y+x^2+y^2\ge $\\<br />$\ge \dfrac{1}{xy}+\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+4+2x+2y+xy$\\<br />\\<br />$\Longrightarrow \ (2+2x+2y+x^2+y^2)\left(\dfrac{1}{xy}+1\right)\ge \dfrac{1}{xy}(1+2x+x^2)(1+2y+y^2)$\\<br />\\<br />$\Longrightarrow \ \left[(1+x)^2+(1+y)^2\right](1+xy)\ge (1+x)^2(1+y)^2$\\<br />\\<br />$\Longrightarrow \ (1+x)^{-2}+(1+y)^{-2}\ge (1+xy)^{-1}$$ -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 28 2008, 10:52 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Respuesta correcta, ahora úsela Saludos

tebas Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 5 2008, 11:35 AM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 85 Registrado: 9-January 08 Desde: Guatemala Miembro Nº: 14.478 Sexo:	Otra parecida Sea $TEX: $p=xy$$ y $TEX: $s=x+y$$ . Tenemos que $TEX: $s^2\ge 4p$$ con igualdad si y solo si $TEX: $x=y$$ , (porque es equivalente a $TEX: $(x-y)^2\ge 0$$ ). Por esto $TEX: $ps^2-3p^2+1-2p\ge p^2-2p+1=(p-1)^2\ge 0$$ De donde $TEX: $ps^2-3p^2+1-2p\ge 0$$ con igualdad si y solo si $TEX: $x=y$$ y $TEX: $p=1$$ , osea $TEX: $x=y=1$$ Ahora $TEX: $(1+xy)((1+x)^2+(1+y)^2)-(1+x)^2(1+y)^2=$$ $TEX: $(1+xy)(2+2x+2y+x^2+y^2)-(1+x+y+xy)^2=$$ $TEX: $(1+p)(2+2s+s^2-2p)-(1+s+p)^2=$$ $TEX: $2+2s+s^2-2p+2p+2ps+ps^2-2p^2-(1+s^2+p^2+2s+2p+2ps)=$$ $TEX: $ps^2-3p^2-2p+1\ge 0$$ De donde que $TEX: $\displaystyle\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\ge\frac{1}{1+xy}$$ con igualdad solo cuando $TEX: $x=y=1$$

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 5 2008, 12:01 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Excelente, ahora a resolver el verdadero Desafío

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