Teorema Fundamental del Álgebra Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

Si recordamos los teoremas del resto y del factor, entenderemos el vínculo que existe entre factorizar un polinomio, y encontrar sus raíces o ceros (o sea, los valores donde el polinomio[*] se anula).

Ahora bien, si un polinomio con coeficientes complejos, tiene grado y es una raíz, entonces existe un polinomio , con coeficientes complejos, tal que

[**]

Podemos plantear la misma idea sobre , y seguir descomponiendo como producto de factores lineales[***]. Ahora bien:

Nosotros dependemos de hallar una raíz compleja para descomponer un polinomio. ¿Cómo podemos asegurar que siempre hay una raíz compleja, para así factorizar?

La respuesta es afirmativa, viene dada por lo siguiente...

Proposición: Toda polinomio no constante con coeficientes complejos admite una raíz compleja.

No comentemos por ahora la demostración de este teorema, que es de un nivel superior al colegial. Sé de una demostración con argumentos de Variable Compleja y otra (¿O acaso será la misma? Creo que no) con argumentos de Espacios Métricos. Ambos temas son cursos universitarios de licenciatura.

Pero esta proposición puede ser usada reiteradas veces para obtener más y más factores lineales. Mientras haya un polinomio de grado mayor o igual que 2. Al final conseguimos (como un simple corolario) el siguiente:

Teorema Fundamental del Álgebra: Dado un polinomio con coeficientes complejos y grado , existen números complejos (no necesariamente distintos) tales que

Donde, por cierto, es el coeficiente dominante del polinomio

Observación: La descomposición es única, salvo por el orden de los factores. Usualmente, luego de factorizar se agrupan los factores lineales repetidos

Hoy se conocen muchas formas de decudir este teorema. La primera (rigurosa) se debe a Gauss, en 1799. Además de lo esbozado luego de la proposición, sé de una demostración netamente algebraica, salvo por un par de "lemas" ( ) no algebraicos.

El Teorema Fundamental del Álgebra se resume (en lenguaje elegante) como sigue: El cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado

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[*] No olvidemos que "polinomio" y "función polinomial" no son sinónimos, sin embargo, muchas veces se cometen abusos de lenguaje. La diferencia "rigurosa" es: los polinomios son entes que no conocen de evaluación. Sí pueden ser sumados y multiplicados entre sí, determinarse su grado, etc. Más tarde se prueba que existe una única evaluación bien definida, acercándonos a lo que hemos denominado "función polinomial".

Incluso en este mensaje, cometimos abusos de lenguaje, de este tipo

[**] Cuando los polinomios se estudian como entes algebraicos (sin interesarnos su evaluación, como función polinomial), es costumbre escribirlos como (observamos que la letra es mayúscula). . Hablamos en este caso de "polinomio en una indeterminada", y dicha "indeterminada" es la letra ""

Cuando se estudian como funciones polinomiales, si el dominio es se suele denotar la variable por (minúscula), y si el dominio es , se suele denotar la variable por .

Nosotros estamos considerando funciones polinomiales sobre , aún así estamos preservando la letra para indicar la variable.

[***] Esto nos debe recordar un proceso parecido en el conjunto de los números enteros (para no complicarnos, pongamos mayores que 1): Si el número es compuesto, descompongo como producto dos números mayores que 1. Este proceso y la misma "idea morbosa" de seguir mientras se pueda, inspira el "Teorema Fundamental de la Aritmética", o sea la descomposición en factores primos.

[S. E. Puelma Moy...]

A continuación dos ejercicios que debe ser respondido en forma elegante (en este caso, elegancia implica brevedad). A veces, el segundo es parte de la demostración del teorema fundamental del álgebra, pero aquí haremos algo distinto. Deben responder el segundo en "no más de dos líneas"

I. Si es una función polinomial de grado con coeficientes reales, entonces admite una factorización absoluta en factores lineales y cuadráticos con coeficientes reales. Los factores cuadráticos se consideran irreducibles sobre , y pueden ser reconocidos porque su discriminante es negativo.

II. Sin ayuda del cálculo diferencial, deduzca que toda función polinomial de grado impar, con coeficientes reales, debe tener una raíz real.

[sitronco]

Disculpa por las molestias.
Tengo una duda para la solucion.

Es valido evaluar el polinomio en infinito o menos infinito, pues creo necesitariamos limites para definir estas evaluaciones.
Por ello, no estoy seguro si es factible para la solucion desea o no?.

[sitronco]

Tengo una segunda duda, que es sobre el primer problema propuesto. Puedo ocupar el teorema fundamental del algebra como conocido.

[S. E. Puelma Moy...]

En el primer problema, ocupa el teorema fundamental del álgebra como hecho conocido. Precisamente de eso se trata el problema

En el segundo problema, no puedes evaluar el polinomio en o . Recuerda que esos entes no son números reales, y cuando digo "sin ayuda del cálculo diferencial" estoy evitando la noción de límite. Dedúcelo como consecuencia de todos los resultados anteriores

[hpoincare]

Son de más de dos líneas al menos la idea es de una línea).

0)
Todo polinomio, de grado , con coefs. complejos es el producto de factores lineales, i.e., de la forma .
Se prueba por inducción sobre el grado de los polinomios.
El teorema es trivialmente cierto si el polinomio es de primer grado (en realidad, ya sabemos que vale para polinomios de segundo grado --menos conocido es saber cómo resolver ecs. cúbicas y cuárticas--).
Supongamos que nuestro resultado es cierto para polinomios de grado ; probaremos que vale para los polinomios de grado .
En efecto, sea pues un polinomio de grado . Por el TFA, sabemos que tiene una raíz compleja que llamaremos . Bueno, por el Teorema del Factor, o de Descartes-Harriot (o como le llamen), sabemos que existe un polinomio tal que . Aplicando la HI a (es obvio que es de grado ), resulta donde los (no necesariamente distintos). Es fácil concluir.

1) Puse el 0) porque me equivoqué; pensé que pedían eso y no este resultado; ya que lo había escrito, no lo borré... Esta proposición también se prueba por IC, en el grado del polinomio.
El caso de los polinomios de primer grado es trivial. También es conocido el caso de los polinomios de segundo grado (usar la fórmula).

Idea clave (*): si un polinomio a coefs. reales admite una raíz compleja, entonces admite su conjugada y con la misma multiplicidad. Esto se demostraría como Lema, si se quiere y es la base del argumento. Se puede hacer la prueba también por IC.

Lo dejo por acá, sin les parece mal. La idea de la demostración de 1) es análoga a 0), usando, como escribí (*).

2) "Sín cálculo" (vamos en rigor, ya sabemos que no es cierto, pero...).
Como las raíces de un polinomio, si son complejas (no reales) aparecen de a pares, se cumple el teorema. En más detalle. Supongamos que un polinomio, de grado impar , con coefs. reales y que no admite ninguna raíz real. Por 0) tiene raíces que, puesto que no son reales, son complejas no-reales. A cada raíz compleja se le asocia su conjugada . El polinomio tien sus coefs. reales. Luego vemos que nuestro polinomio original es el producto de polinomios cuadráticos con coefs. reales, por otro factor no real: una contradicción. Observar que hallamos, bajo nuestra suposición, la descomposición 2).

Disculpen que 2) sea tan entreverado: es mucho más fácil verlo que decirlo...